不定积分计方法

1、第一讲定积分的概念教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质难点：无限细分和累积的思维方法重点：微元法思想和定积分的基本性质教学内容：定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的.定积分在各种实际问题中有着广泛的应用.在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用.一、问题的提出1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函

2、数yf(x)在a,b上连续.由曲线yf(x)与直线xa、xb、x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图).为讨论方便，假定f(x)0.由于函数yf(x)上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间a,b分成n个小区间，即插入分点ax0x1x2xnb在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小区间的长度为x,x,x,1,i1,2,n.由于f(x)连续，故当xj很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间x,xj上任取一点i,则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(J,因此，这个小曲边梯形的面积Aif(i)Xi.用这样的

3、方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和，即得整个大曲边梯形面nn积的近似值AAif(i)Xi.i1i1可以看出：对区间a,b所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A.记maxXi,则当0时，误差也趋于零.因此，所求面积1innAlim0f(i)Xi.(1)i12、变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度v(t)是时间t的连续函数，且v(t)0.求物体在时间问隔a,b内所经过的路程s.由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式路程=速度时间来计算物体作变速运动的路程.但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等

4、速运动.又时间区间a,b可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程.(1)分割：用分点at0t1t2tnb将时间区间a,b分成n个小区间ti1,ti(i1,2,n),其中第i个时间段的长度为tititi1,物体在此时间段内经过的路程为si.(2)求近似：当ti很小时，在ti1上任取一点i,以v(i)来替代tr,ti上各时刻的速度，则Siv(i)ti.(3)求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得nnsSiv(i)ti.i1i1取极限：令maxti,则当1in0时，上式右端的和式作为S近似值的

5、误差n会趋于0,因此slimv(i)ti.0.i1以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究.、定积分的定义定义设函数f(x)在区间a,b上有定义，任意用分点ax0x1x2Xnb将a,b分成n个小区间，用xixixi1表示第i个小区间的长度，在为1,4上任取一n点i,作乘积f(i)xi,i1,2,n.再作和f(i)xi.i1若当maxxj0时，上式的极限存在，则称函数”刈在区间口,3上可.积.，并称此1inb极限值为f(x)在a,b上的定

6、积分,记作af(x)dx.即bnf(x)dxlimf(i)xi.(3)a0.i1其中f(x)称为被积函数一，f(x)dx称为被积表达式,x称为积0变量,a,b称为积分区何a,b分别称为积分上限和上限、许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为v(t),则在时间b区间a,b上，物体经过的路程为sv(t)dt.(4)a同理，上图所示的曲边梯形面积可表为bAf(x)dx(5)对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明：1、f(x)在a,b可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i在小区问x,xj上如何选取，只要0,极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？可以证明(证明略)：定

7、理在闭区间a,b上连续的函数必在a,b上可积；在区间a,b上有界且只有有限个间断点的函数也必在a,b上可积.2、定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即bbbf(x)dxf(u)duf(t)dt.aaa此等式的正确性在几何上是显然，因为对非负函数f,这三个积分表示同一个平面图形.3、定义定积分时已假定下限a小于上限b,为便于应用，规定当ba时,baaf(x)dxbf(x)dx.af(x)dx0.a此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号.4、下面讨论定积分的几何意义：b(1)、若f(x)0,则积分f(x)dx表示如图所示的曲边梯形的面积，即abf(x)dx

8、A.ab(2)、若f(x)0,则积分af(x)dx表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即bf(x)dxA.这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是f(x)而不是f(x).b(3)、如果在a,b上f(x)的值有正也有负,如下图，则积分af(x)dx表示介于x轴、曲线yf(x)及直线aa三、定积分的基本性质以下介绍定积分的基本性质，假定所列定积分都是存在的，以下不一一说明.性质1函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和.即bag(x)dx.bbf(x)g(x)dxf(x)dxaa这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前bkf(x)dxkf(x)dx(k为常

9、数).a性质3不论a,b,c三点的相互位置如何，恒有af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx.这性质表明定积分对于积分区间具有可加性.b性质4若在区间a,b上，f(x)0,则f(x)dx0.a推论1若在区间a,b上，f(x)g(x),则f(x)dxag(x)dx.bb推论2af(x)dxa|f(x)|dx.,、，2v2例1比较下列je积分edx和xdx的大小.ooAY-0解令f(x)ex,x2,0,则f(x)0.故2f(x)dx0,0即2(exx)dx0.2exdx0xdx,211,f(x)>f(0)1>0.从而原不等式成立.注f'(x)ex1<0,x2,0f(0)

10、性质5(估值定理)设函数f(x)在区间a,b上的最小值与最大值分别为m与M,bm(ba)f(x)dxM(ba).a证因为mf(x)M,由性质4推论1得bbmdxf(x)dxaabdxabbmdxf(x)dxMaab_m(ba)f(x)dxM(ba).a利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.例2估计定积分一dx的值o32sin2x3解当x0,时，0sinx1,0sin2x1,由此有于是由估值定理有sin2x3,1313-sin2x_13032sin2xdx2c34例3估计定积分exxdx的值.1解设f(x)2x3x4,x1,2,则f(x)6x24x3，

11、令f(x)又,3-2X得,O一一327-f1,叫)短0,27.所以f(x)在1,2内的最大值为,最小值为160,于是由估值定理有02x3x41ee22x3x41edx127e%27e16.性质6(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间a,b上连续，则在a,b内至少存在b一点，使下式成立：f(x)dxf()(ba),a,b.a这个公式称为积分中值公式.1b证把性质5的不等式各除以ba,得mf(x)dxM.baa1b由于f(x)在闭区间a,b上连续，而f(x)dx介于f(x)的最小值m最大值Mbaa之间，故根据连续函数的介值定理(第2章)，在a,b上至少存在一点,使1bbf()f(x)dx,即f(

12、x)dxf(baaa显然，积分中值公式不论ab或ab都1 b_.是成立的.公式中，f()f(x)dx称baa为函数f(x)在区间a,b上的平均值，这个定理有明显的几何意义：对曲边连)(ba).续的曲边梯形，总存在一个以ba为底，以a,b上一点的纵坐标f()为高的矩形，具面积就等于曲边梯形的面积.四、总结：1 .定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法.b2 .定积分的几何意义：若f(x)0,则积分f(x)dx表示如图5-2所示的曲边梯ab形的面积；若f(x)0,则积分f(x)dx表示如图5-3所示的曲边梯形面积的负值；a若在a,b上f(x)的值有正也有负，积分bf(x)dx表示介于

13、x轴、曲线yf(x)及直线axa、xb之间各部分面积的代数和.即在x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积.3 .可积性定理：在a,b上连续的函数比在a,b上可积.4 .定积分的基本性质(上述性质16).五、作业：练习3、4、5、6第二节微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质难点：变上限积分的性质与应用重点：牛顿-莱布尼兹公式教学内容：由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的.因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法.不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为v(t),路程为s(t),则在时间区

14、间丁1斤2内运动的距离为s(T2)s(Ti);另一方面，由上节的分析可知，该距离应为“v(t)dt.由此有“v(t)dtsQ)s(Ti)(1)TiTi即：v(t)在Ti，T2上的积分等于它的一个原函数在Ti,T2的增量.这一结论是否具有普遍意义呢？下面来回答这个问题.、变上限的积分设函数f(x)在区间a,b上连续，xa,b,x则f(x)在a,x上连续，故积分f(x)dx存在,a称为变上限的积分.为避免上限与积分变量混x浴，将匕改记为f(t)dt.显然，对a,b上任一a点x,都有一个确定的积分值与之对应(图5-6),所以它在a,b上定义了一个函数，记作(x).即(2)x(x)f(t)dt(axb

15、).a函数(x)具有如下重要性质:定理1如果f(x)在区间a,b上连续，则由(2)式定义的积分上限的函数(x)在a,b上可导,且有x(x)af(t)dtf(x).(3)aX证当上限在点X处有增量x(aXXb)时，XXXXX(XX)(X)af(t)dtaf(t)dtxf(t)dt.aax由于f在此区间连续，由积分中值定理得f()X(介于X与XX之间).故f().X当X0时，X.再由f(X)的连续性得(x)limlimf()f(X).Xf(t)dt是f(x)在a,b上的aX0XX推论若函数f(X)在区间a,b连续，则变上限的函数一个原函数.由推论可知：连续函数必有原函数.由此证明了上一章给出的原函

16、数存在定理.求下列函数的导数:1 2,2 2)xcostdt.xt(1)0etdt12costdtXX2costdt2cosX.设a(X),b(X)均可导，求db(x)df(t)dtdxa(x)dxddxb(X)a(X)0f(t)dt的导数.f(t)dta(x)a(x)0f出b(x)0f出b(x)0f出1_1_b(x)fb(x)a(x)fa(x).a(x)uof(t)dt是X的复合函数，它由°f(t)dt,ua(x)复合而成，求导时要用复合函数求导公式计算,b(x)f(t)dt的导数计算与a(x)f(t)dt完全相似.2x例3求极限lim一x0X22costdt010X解此极限为0型

17、,0用洛必达法则求解，故2x2xcostdtl|m0x0x42x2xcosxlim9x010xlim1x04cosx5x818.2X1limx05x810、牛顿-莱布尼茨公式现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立.定理2牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则bf(x)dxF(b)F(a)(4)ax证由于F(x)与f(t)dt均为f(x)的原函数，由原函数的性质知axF(x)f(t)dtC.a上式中令xa,得CF(a);再令xb,得F(b)bf(t)dtF(a).ab即f(x)dxF(b)F(a).a公式称

18、为生顿二莱布尼茨公式.牛顿-莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理.这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法.在运用时常将公式写出如下形式：bbf(x)dxF(x)aF(b)F(a)(5)a例4计算1dx.2x解41dxlnx：ln4ln2ln2.2 x21计算e02x.dx2x.(dxe2xd(2x)1-e22x2(e21).计算20-1dx.2x一xdx1.1x22(11x2)5d(1xdx.x,x2,x2,2.由区间可加性，得xdx21(2x)dx32(x2)dx2x2x5.求正弦曲线ysinx在0

19、,围成的平面图形(如图)的面积.解这个曲边梯形的面积Asin0xdxcosx0上与x轴所(coscos0)2.例9设f(x)1f(x)dx,求°f(x)dx.一-、1解因为定积分0f(x)dx是一个常数，所以，可设10f(x)dx=A,故f(x)1-7x3A.1x2上式两边在0,1上积分得111A=f(x)dx7dx001x201x3AdxarctanxA,3 i移项后，得A，所以Af(x)dx一.4 403三、总结：1.变上限的积分如果f(x)在区间a,b上连续，则有x(x)af(t)dtf(x).axb2.牛顿莱布尼茨公式f(x)dxF(b)F(a),其中F(x)是f(x)的一个

20、原函数,a而原函数可以用不定积分的方法求得.四、作业：练习3、5第三节定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法教学内容：由牛顿-莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数.在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.一、定积分换元法定理假设(1)函数f(x)在区间a,b上连续;(2)函数x(t)在区间,上有连续且不变号的导数；(3)当1在,变化时，x(t)的值在a,b上变化，且()a,()b,b则有f(x)dxf(

21、t)dt.(1)a本定理证明从略.在应用时必须注意变换x(t)应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.,.2例1计算1且dx.x解令v'xt,则x1t2,dx2tdt,当x1时,t0;当x2时，t1.于是2x11dx2tdt1t2J?dt例2计算0aa2x2dx(a解令xasint,贝dxacostdt.当dx02asstacostdt(1cos2t)dt1sin2t2x0时，t显然，这个定积分的值就是圆a2在第一象限那部分的面积（如上图）.例3计算50解法一令t5cosxsinxdx.sinxdx.当x0时，t1;当x时，t20,于是25.2cosxs

22、inxdx0t5dt6t6解法二也可以不明显地写出新变量这样定积分的上、下限也不要改变.02cos5xsinxdxcos5xdcosx16-cosx6此例看出:定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限.例4计算0Wsinxdx解°1sinxdx0xsin一2xcos-dx2注：去绝对值时注意符号.万/x2(cos02.xsin-)dxxx(sin-cos-)dx222_.xx=2(sincos)22一.x.x.2(cossin)22=4(721).例5计算LSinXdx°.3sin2xsinx3sin2xdx=112arcsin-2时，t1.

23、出1解设tcosx,则当X0时，t1;当x例6设£J）在a,a上连续，证明:a(1)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0;aaa(2)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2cf(x)dx.a0a0a证由于f(x)dxf(x)dxf(x)dx,aa0'对上式右端第一个积分作变换xt,有0f(x)dxa0aaf(t)dt0f(t)dtf(x)dx.aaf(x)dxf(x)f(x)1dx.a0当f(x)为奇函数时，f(x)f(x),故aaf(x)dx0dx0.a0(2)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x),故aaaf(x)dx2f(x)dx2f(x)dx.a00利用例4的结论能很方

24、便地求出一些定积分的值.例如x6sinxdx0.1111(x.4x)dx1(42x4x)dx41dx08.、定积分的分部积分法设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数，由微分法则d(uv)udvvdu,可得udvd(uv)vdu.等式两边同时在区间a,b上积分，有udv(uv)：公式(2)称为定秋父阳分部积分公式二其中a与b是自变量x的下限与上限.,-e例7计算Inxdx.1解令uInx,dvdx,则du1Inxdxxlnx1dx,vxdxx.故(e0)(e1)计算xcos3xdx.0xcos3xdx01xdsin3x1xsin3x3sin3xdx1_3cos3x0计算1cos2x

25、xdx=1cos2x22cosxdx4xdtanx0=1(xtanx2例10计算04sec3xdx.解04sec3xdx04secxsec2xdx04secxdtanxsecxtanx0404tanxsecxtanxdx*2/2(secx1)secxdxxdx04secxdx204sec3xdxln(secxtanx)|；.24sec30xdxln(<21).即204sec3xdxV2ln(<21)注：移项得.故4sec3xdx二ln(<21).022177例11计算e、dx.0解先用换元法，令4反t,则xt2,dx2tdt.11当x0时，t0;当x1时，t1.于是0e、&q

26、uot;dx20tetdt.1-1+11+再用分部积分法，得e"dx2tde2(teedt)00'0072e(e1)2.三、总结：1、定积分换元积分定理：假设(1)函数f(x)在区间a,b上连续；(2)函数x(t)在区间,上有连续且不变号的导数；(3)当1在,变化时，x(t)的值在a,b上变化，且()a,()b.b则有f(x)dxf(t)(t)dt.a2、定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数，则有bbbudv(uv)vdu.aaa3、对称区间上的积分：设£他)在a,a上连续，则有a若f(x)为奇函数，则f(x)dx0；aaa(2)若

27、f(x)为偶函数，则f(x)dx2cf(x)dx.a0四、作业：练习1、2、3、5第五节定积分的应用教学目的：掌握定积分微元法、面积和旋转体体积求法难点：定积分微元法重点：面积和旋转体体积教学内容：在这一节里，我们讨论定积分在几何、物理等方面的一些应用.我们在引入定积分概念时，曾经讨论了求曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际问题，采用的是“微分求和”的方法.我们将区间a,b分成n个小区间，相应地，将所求的量A分割成n份很小的部分量A.在a,b上任取一小区间x,xdx,以f(x)dx近似代替A、当分割无限细，f(x)dx的极限就是所求的量A,即定积分.实质上，所b谓定积分Af(x)dx就是由被积

28、表达式f(x)dx从a到b累积之和.我们把f(x)dx称为a微元素dA.在定积分应用问题中,先求出微元素dA,再求出定积分bdA,即所求A.这a种方法称为元素法，也称微元法.在用元素法求解实际问题时，应注意要根据条件确定被积函数和积分区间.一、平面图形的面积本节中将计算一些比较复杂的平面图形面积.我们只讨论直角坐标系的情形.我们已经知道，在区间a,b上，一条连续曲线yf(x)(0)与直线xa,xb,x轴所围成的曲边梯形面积A就是定积分bf(x)dx.这里，被积表达式f(x)dx就是面积a元素dA.如果求两条曲线f(x)与g(x)之间所夹图形的面积S(图510),在区间a,b上，当bb0g(x)

29、f(x),则有Sf(x)dxg(x)dx.aab或Sf(x)g(x)dx.(1)a公式(1)对于下图所示情况也成立.如果求两条曲线x例1求两条抛物线aObx(y)、x(y)之间所夹图形的面积，也可用类似的方法.y2x,yx2所围成图形的面积.解作两条抛物线的图形，如图所示.解方程组x,2x.得两组解“0,及y01I,.即两抛物线交点为1.(0,0),(1,1).下面求面积元素:取x为积分变量.区间0,1上的任一小区间(1,1)x,xdx的窄条，具面积近似于高为xxx2,底为dx的窄矩形面积.这样就得到面积兀素dA(,反x2)dx.于是，所求图形面积为定积分x2)dx2x3本题也可按(1)式直接

30、求解.例2求抛物线yx2与直线yx,y2x所围图形/y=2x(2,4)的面积(如图).解作出图形，解两个方程组22yx，和yxyxy2xyy=x212Oy=x1SSiS20(2xx)dx例3求抛物线y22x与直线yx4所围成图形的面积.得抛物线与两直线的父点分别为（1,1）与（2,4）.故所求面积为227(2xx)dx一16解作出图形（如图）.解方程组y22x,yx4.得抛物线与直线的交点（2,2）和（8,4）.取y坐标为积分变量，确定积分区问为2,4.于是面积元素dA(y4)122y所求图形面积为4A2(y12.-y)dy24y注：若上下边界均不需分段表示，可对x积分；否则应区分左右边界，对

31、y积分.为便于积分，在上式中利用椭圆的参数方程作换元.令xacost,则bxx+axybsinx,dxasintdt.当x0时，t一；当xa时，t0.于是2bsint(asint)dt0A421cos2t4ab2dt2abab.022特别，当ab时，得圆面积公式Aa2.注当曲边梯形的曲边可用参数方程表示时，可以用例4的方法求其面积.二、体积1、旋转体的体积一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为I.W.圆柱、圆锥、圆台、球体等都是旋转体.现在我们计算由连续曲线yf(x),直线xa,xb与x轴所围成的曲边梯形绕x轴(见上图)，即体积元素为旋转一周所成旋转体的体积.

32、取x为积分变量，a,b为积分区间.用垂直于x轴的一组平行平面将旋转体分割成许多立体小薄片，具断面都是圆，只是半径不同.任取a,b的一个小区间x,xdx上的一小薄片，它的体积近似于以f(x)为底面半径，dx为高的扁圆柱体的体积-2dVf(x)dx.于是，以f(x)2dx为被积表达式，在区间a,b上作定积分，便得所求旋转体体积bbVaf(x)2dxay2dx.(2)这就是以x轴为旋转轴的旋转体体积公式.类似地，由连续曲线x(y),直线yc,yd与y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所围成旋转体的体积为ddVc(y)2dycx2dy.(3)cc22例5求由椭圆与41绕x轴旋转一周而成的旋转体(称旋转椭

33、球体)的体积.ab解旋转椭球体可看作是由上半个椭圆yb21x2a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体.取x为积分变量，积分区间为a,a,则体积元素为dVb212x.-2dx.a于是，旋转椭球体的体积Vb22x.dxab22x.-2dxab2x3x3a23ab2-4当ab时，就是半径为a的球体体积公式V43例6求由抛物线yx2,直线x2与x轴所围成的平面图形（1）绕x轴、（2）绕y轴旋转一周所得立体的体积.（1）积分变量为x,积分区间为0,2.绕x轴旋转而成的旋转体体积（如下图）为y2dx2x4dx0232一x5o5（2）积分变量为y,积分区间为0,4.绕y轴旋转而成的旋转体体积应为圆柱体体积

34、减去杯状的体积.即42V012a(y)2dy422024(,y)2dy4y8202、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体被垂直于某直线(可设此直线为x轴)的平面所截，截面面积A(x)是x的连续函数，立体位于过点xa,xb(ab)且垂直于x轴的两个平面之间(图519).虽然这类立体一般不是旋转体，但它的体积可仿旋转体体积的求法，用定积分来计算.取x为积分变量，积分区间为a,b.体积元素为dVA(x)dx.b于是，该立体的体积为VA(x)dx.a例7平面经过半径为R的圆柱体的底面半径，且与底面交成定角(如图).求此平面截圆柱所得立体(楔形体)的体积.解取底面直径所在直线为x轴，底面上过圆心且垂直

35、于x轴的直线为y轴.则底圆方程为x22R.立体中过点x(x(R,R)且垂直于x轴的截面是直角三角行,A(x)ytan其面积为1y22(R于是，楔形体体积为RVRA(x)dx1ox2,tanRxRtan23r3三、压力与功1、液体的压力在生产实践中，我们常遇到水压力的计算问题，如计算水库闸门所受的压力等.这些都可应用定积分来解决.设闸门oMNa如图所示，当水齐闸门顶时，求闸门所受的压力P.习惯上，我们是这样选取直角坐标系的：设y轴位于液面上即与闸门顶重合，沿水平方向；x轴铅直向下.两坐标轴与闸门位于同一平面上.则闸门为由直线x0（y轴）,xa,x轴与曲线yf（x）所围图形.取水深x为积分变量，区

36、分区间为0,a.设闸门的面积为A,则面积元素dAydx.由物理学知道，在水深x处的压强为pgx（表示水的密度，g表示重力加速度），于是，压力元素dPgxdAgxydxgxf（x）dx.因此，整个闸门所受的水压力为aaPdPgxydx00ogxf(x)dx.(5)例8设某水库的放水闸门为一梯形，如图所示（图中所示闸门尺寸以米为单位）.求水库水齐闸门顶时闸门所受的水压力.解由于闸门关于x轴对称，只要计算一半闸门的水压力，然后再二倍就得闸门所受总的水压力.取水深x为积分变量.由图可知，积分区问1一.、一为0,10,直线万程为y3-x.因此，闸门所5受的总的水压力为10.3P20gxydx(11m)1

37、01052239.83x2一x31529.8_x3-xdx101633.3(kN)02、功我们知道，若物体在不变的力F的作用下沿直线移动了距离s,则此过程中力F所作的功为WFs.如果力是变力F(x),上面的公式显然不适用.但当F(x)连续时，可以在点x附近近似将力看作不变的力F(x),因而在位移x,xdx过程中，功的微元为dWF(x)dx.由此可知，在变力F(x)作用下物体沿x轴由点a到点b过程中，力F所作的功为b(6)WF(x)dx.a在其他情况下功的计算，也可类似地用微元法来处理.把池内的水全部抽出需作多少功?例9半径为1米的半球形水池，池中充满了水，解建立坐标系如图所示，圆的方程为x2y

38、21.选水深x为积分变量，x0,1.在0,1上任意小区间x,xdx上相应小薄圆柱体的水重近似为(1)22一9.8ydx9.8(1x)dx.将这小水柱体提到池口的距离为x,故功微元为2,一-,dW9.8ydxx9.8(x将功的微元在区间0,1上累积，得所求功为四、总结:13W09.8(xx3)dx9.87.7103(J).01、平面图形的面积求法:对x积分：Sbf(x)ag(x)dx（上边界-下边界再积分）;b对y积分：Saf(y)g(y)dy（右边界-左边界再积分）.2、旋转体的体积:以x轴为一直角边的曲边梯形绕x轴旋转:以y轴为一直角边的曲边梯形绕y轴旋转:3、平行截面面积为已知的立体的体积

39、:4、物理应用：微元法.五、作业：练习2、3、4、6、72f(x)dxf(y)2dybaA(x)dx.2ydx；x2dy.第五节无穷区间上的广义积分教学目的：掌握广义积分的基本概念难点：积分后极限的计算重点：无穷限广义积分教学内容：前面讨论的定积分，事实上有两个前提，一是积分区间是有限的，二是被积函数在该区间是有界的，但在实际问题中，经常遇到积分为无穷区间，或者被积函数为无界函111数的积分，例如：，dx,dx,.它们已经不属于前面所说的定积分。因1 x11x此，我们对定积分作如下推广(运用极限概念)，从而形成广义积分的概念。一、无穷区间上的广义积分定义设函数f(x)在区间a,+°°)上连续，取b>a,极限limbf(x)dx存在，则称ba此极限为f(x)在a,+°°)上的广义积分，记为f(x)dxab即af(x)dx=Jimaf(x)dx.如果等号右端的极限存在，则称广义积分f(x)dx收敛；如果等号右端极限不存在，a则称此广义积分发散。类似地，可定义函数f(x)在区间(-oo,b上的广义积分为bbf(x)dxlimf(x)dxaa对于f(x)在(-oo,+oo)上的广义积分，定义为cbf(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxaabc其中，c为介于a,b之间的任意实数，a,b各