2020版高考数学一轮复习第7讲离散型随机变量及其分布列讲义理含解析

1、第 7 讲离散型随机变量及其分布列考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2 .能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列.(重点、难点)3 .理解超几何分布，并能进行简单的应用.考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容.预测 2020 年将会考查：与排列组合及统计知识结合的分布列；与独立重复事件结合的分布列.试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.基础知识过关1 .离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为口0101随机变量,常用字母 X,X,Y,I,刀， 表示

2、.所有取值可以一一列出的随机变量，称为口0202离散型随机变量.2 .离散型随机变量的分布列及性质(1) 一般地， 若离散型随机变量X可能取的不同值为Xi,X2,，Xi,，Xn,X取每一个值Xi(i=1,2,，n)的概率P(X=Xi)=pi,则表XX1X2XiXnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的陛概率分布列，简称为X的0202分布列,有时为了表达简单，也用等式ERX：Xi)=pi,i=1,2,，n 表小 X 的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质04piR0(i=1,2,，n);n0505pi=1.i=13.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分

3、布列为X0I，其中称为成功概率.p1-pp(2)超几何分布CkCnT在含有 M 件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=02=：=,:k=0,1,2,，m其中 m=minMn,且 nwN,MeN,n,MNeN.1.概念辨析(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.()(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25则它服从两点分布.(答案(1)，(2)V2.小题热身(1)已知 8 件产品

4、中有E 的可能取值为()A.0,1C.0,1,2答案 C)(3)V(4)X2 件次品，从中任取 3 件,B.D.取到次品的件数为随机变量己，那么1,20,1,2,3解析由于只有 2 件次品，所以己的可能取值为(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数0,1,2.X的分布列为()如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.P0.30.7(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超过 1人的概率是.答案设所选女生人数为 X,则 x 服从超几何分布,N=6,M=2,n=3,则答案解析一，1 一,因为 RX=1)=2,所以 A,

5、B 不正确；又因为RX=0)+RX=1)+P(X=2)=1.所以 D 不正确，故选 C.(3)设随机变量X的分布列如下：X12则p为（）1A-61B.B.3答案解析1111由分布列的性质行，石+6+3+6+p=1，解得1 尸4.解析其中RXW1)=Rx=0)+P(X=1)=135P2己2 的值-P(=n)=;nn+1aaaa.5尹6+&+元=1,a=4Cddd_4cr+cr=5题型离散型随机变量分布列的性质多维探究设随机变量【举例说明】七的分布列P-=ak(k=1,2,3,4,5)5求常数a的值；一，、一 3(2)求 P-;517求Pi0V而.解由已知分布列为:234TTT2a304a

6、(1)由 a+2a+3a+4a+5a=1,得 a=.153343454(2)P:5=pE=5+PE=5+P(E7 亍 5或PE|=1-P-2=1-55124十=1515517123(3)因为而己记只有七=5，55 两足，1 卜 7故P1而=P1+PE=2+P551232=+=1515155条件探究若将举例说明条件变为“抬=坨=-751,2,3,4).”求P：E5=PU=1)+RE=2)=5.226结论探究举例说明条彳下，求 5-1 的分布列.解由举例说明解析得 E 的分布列为P152535r过51F11521515*15_J所以 5-1 的分布列为5e-101234P115_2_151L341

7、5T【据例说法】1 .分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数.2 .随机变量 X 的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合T=aX+b(a,beR)是随机变量.(2)求刀=aX+b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列【巩固迁移】1.设离散型随机变量 E 的分布列如下表所示:则下列各式正确的是()A.PU1)=755答案 C解析由离散型随机变量 E 的概率

8、分布列得，R1)=P(E=2)+P(E=3)=7+-=-,故 B 错误;1051055555一一 2R2V 己4)=R=3)=-,故 C 正确；P(E0.5)=P(E=1)+P(E=0)=5故 D 错误.则q的值为()A.1333C.二一-26答案 C解析由分布列的性质知解得 q=q=3 3-詈26题型二超几何分布【举例说明】(2018 济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问.求:(1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率；(2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解

9、(1)设事件 A:选派的 3 人中恰有 2 人会法语，皿圮 4则 P(A=C=7.CP(2V0,q20,12.-+2-3q+q=1,32.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为:B.|士堂(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为 0,1,2,3C44RX=0)=CT荻C31RX=3)=CT拓,X 的分布列为X0123P43518351235135【据例说法】1 .超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.2 .超几何分布的应用条件(1)考察对象分两类.(2)已知各类对象的个数.(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数己的概率分布.3

10、 .求超几何分布的分布列的步骤验证随机变量服从超几何分布，井确定参数N,M,拄的值根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率用表格的形式列出分布列RX=i)=RX=i)=C4d18PTFC4C3RX=2)=&RX=2)=&12而第二步第三步【巩固迁移】某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为

11、 X,求随机变量 X 的分布列.解(1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”， 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名，6+n2 RA=FTI=,斛得 n=2,205m=4,用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取辑思维能力优秀的学生”，C67C2=12,(2)随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为 0,1,2. 在 20 名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有X 的分布列为X012Pr33481142 名，其中至少有一名逻8 名,012330)=&=函C8C12RX=

12、1)=kC204895?C2吐2)2)= =缶1495959595【举例说明】角度 1 与互斥事件有关的分布列问题1 .已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.解（1）记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品为事件则P(A)=(2)X的可能取值为 200,30

13、0,400.A1RX=200)200)= =A2=而136RX=400)=1-PX=200)P(X=300)=1-=故X的分布列为X200300400P1103106 而13”6 一E（X）=200X+300X+400X=350.101010。角度 2 与统计有关的分布列的求法2 .随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的商品， 每 1 吨亏损 0.3 万元.根据往年的销售经验， 得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨

14、该商品，现以x（单位：吨，100 x120)=P(120 x130)+R130Wx140)+P(140 x150)=0.030X10+0.025X10+0.015X10=0.7.(2)当 xC100,130)时，T=0.5x0.3(130 x)=0.8x39;当 xC130,150时，T=0.5X130=65,0.8x-39,100Wxv130,所以T65,130 x120);提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.【巩固迁移】1.某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,现从这

15、10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.加H是七G1C4+C21解(1)由已知，有 RA)=-.1所以事件A发生的概率为-.3所以随机变量X的分布列为X012P4757T54T52.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪4 元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 5 元，超出 7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单

16、数，得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010(1)现从甲公司记录的 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.RX=0)=C3+C3+C4C20二RX=1)=C3C3+C3c4_C20二RX=2)=C3C4415.70 元，每单抽成40 单的部分每单抽成解(1)记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M则P(M晤送.C100495(2)设乙公司送餐员送餐单数为 a,则当 a=38 时，X=38X5=190,当 a=39 时，X=39X5=195,当 a=40 时，X=40X5=200,当 a=41 时，X=40X5+1X7=207,当 a=42 时，X=40X5+2X7=214