2018年福建高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

1、福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准(考试时间：5 月 11 日上午 8:30-11:00)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1 .已知集合 A=x|x1|0 时，A=(1a,1+a),B=(0,4。由 AcBA知，AJB。41-a*0,解得 0aE1。1a4，-a 的取值范围为(-0%1。2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 冗A 逑冗B.32&C.2727【答案】A【解答】设圆锥底面半径为 R,母线长为21又”/、2”。因此IR圆锥的轴截面是边长为2的正二角形。所以，其内切球半径.1速工2=昱,其体积 V=4nx(电)3=邈兀。32333273.函数 y=x+4-x2

2、的值域为()A.一-2 后,2 石B.一2,2 夜 1C.一-1,四D.尬，尬【答案】B【解答由 y-x=,4-x2,知 y22xy+x2=4x2,2x22yx+y24=0。=4y2-8(y2-4)肛-272y2720又 y 之 x 之2,因此，2MyM2&。值域为-2,2 亚 L的半圆面, 则该圆锥内切球的体积为(l贝（J1M2川=2nR,l=2R。4.给出下列命题:设l,m是不同的直线，a是一个平面，若 l_Lo(,l/m,则 m_Lo(。a,b是异面直线，P为空间一点，过P总能作一个平面与a,b之一垂直，与另在正四面体ABCD中，AC与平面BCD所成角的余弦值为由3其中正确的命题

3、的个数为(设 AB=BC=a,则 CO=?Mea=*a,cos/ACO=323(4)取BD中点 O,则 OA=OC=，3。由O、2故，(4)正确。5 .已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x时，f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间0,6上的零点个数为()A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个【答案】D【解答】由 f(x)=ln(x2x+1)=0 知，x2x+1=1,x=0或x=1。33，-f(x)在区间(0,3)内有唯一零点 1。结合f(x)为奇函数知，f(x)在区间(-一，0)内22有唯一零点-1。39又由f(x+3)=f(x)知，f(x)在区间(3,3)内有唯

4、一零点2;在区间(3,9)内有唯一零点22.、94;在区间(，6)内有唯一零点 5。(1)(2) 一条平行,(3)(4)在空间四边形ABCD中，各边长均为1,若BD=1,则AC的取值范围是(0,万)。A.1 个【答案】CB.2 个C.3 个D.4 个【解答】(1)显然正确。(2)若存在平面 a,使得 alet,b/a,(3)作AO_L平他D成角。于O,则O为正三角形BCD的中心,b是未必垂直。故不正确。NACO是AC与平面BCD所。故，(3)正确。A、C构成三角形知，ACw(0,6)。3f(-2)=f(一332”(2)知,39f(2)=0，2又f(6)=f(3)=f(0)=0。f(x)在区间

5、0,6上的零点个数为 9。6.已知函数 f(x)=Jx2-6x+13-Jx2-10 x+29。给出下列四个判断：(1)f(x)的值域是|0,2;(2)f(x)的图像是轴对称图形；(3)f(x)的图像是中心对称图形；(4)方程 ff(x)=J 西-a3 有解。其中正确的判断有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【解答】设A(3,2),B(5,2),P(x,0),贝 Uf(x)=7(x-3)2+4-7(x-5)2+4=|PAPB。(1)Vf(x)=|PA-PB|AB|=2,AB与x轴不相交(即P、A、B三点不共线)。等号不成立，f(x)的值域是0,2)。(1)不正确。(2)

6、vf(4x)=7(1-x)2+4-V(-1-x)2+4=J(x-1)2+4-J(x+1)2+4,f(4+x)=J(1+x)2+4-J(1+x)2十 4 二 J(x-1)2+4-(x+1)2+4f(4-x)=f(4+x),f(x)的图像关于直线x=4对称。(或从几何图形上看，当Q与P关于点(4,0)对称时，|PA-PB|=|QA|-|QB|)0(2)正确。(3)显然不正确。(若(3)正确，则结合(2)可得f(x)为周期函数，矛盾。)(4)vf(0)=|A病|=729而，又 0 亡 f(x)的值域 10,2),方程 ff(x)=后-而有解(x=4 是方程的解)。(4)正确。、填空题（每小题 6 分

7、，共 36 分）集合A=(x,y)(x-2014)2(y-2014)21:B=（x,y）|x-2014|+2|y-2014|、一,一一一、.一 aa0,且圆心到直线(x2014)+2(y2014)=2的距离=1。1222a:508.如图，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4,D、E分别为AC、AB的中点。 将4ADE沿DE折起， 使得折起后二面角A-DE-B为60支则折起后四棱锥A-DEBC的体积为。【答案】【答案】2,3【解答】【解答】由条件知，在四棱锥A-DEBC中，ED1DA,DE_LDC0/ADC二面角A-DE的平面角，且D 曰曰_ _平面 AD./ADC=60口，且面 ADC，面

8、 DEBC。作AF_LCD 于 F,则 AF，面 DEBC。由DA=DC=2知，4ADC为正三角形，AF=J3。四棱锥A-DEBC的体积V=1父向父2+4父2=2百329.已知函数f(x)=log2(2x-1.）的图像关于点A对称，则点xA的坐标为【解答】1由函数止义域为（-0,0）=（,+*）；值域为（*,1）=（1,+,+叼叼。21猜测点A坐标为A（1,1）。4卜面给出证明:.1-f(4x)%-%-刈刈= =也也( (12x-12二 x4)lOg2(2 一、?-2、-8x-2x）=l0g2（1 之）啕式二）1f(x)的图像关于点A(,1)对称。410.ABC中，已知 AB=4,若CA|=T

9、3|CB，则4ABC面积的最大值为【答案】【答案】43【解答】【解答】以AB中点O为坐标原点，直线AB为 x 轴建立直角坐标系，则A(2,0),B(2,0)设C(x,y)。则由 CA|=73|CB,知J(x+2)2+y2=BJ(x2)2+y2。整理，得(x-4)2+y2=12。点C在以D(4,0)为圆心，半径为 273 的圆(除与 x 轴的交点)上运动。点C到直线AB即 x 轴距离的最大值为2a。ABC面积的最大值为1父父4M2石石= =473。211.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,若对任意 xw0,2均有 f(x)2 成立，则b的最大值为。【答案】8【解答】【解答】f(0)=c,

10、f(1)=a+b+c,f(2)=4a+2b+c,|f(0)|2,|f(1)|2,|f(2)|20,1,3,13b=2f(1卜卜f(2-)f(0)2-2万一万一( (2)-,(与与) )82222f(1)=abc=2a-4当且仅当，f(2)=4a+2b+c=2,即，b=8时，等号成立。、f(0)=c=-2c=-2b的最大值为 8。12.不等式2x-826+logzx的解集为【答案】【答案】(0,IL4,+M)一八一八0: :二二x: :二二3【解答】【解答】不等式化为x8-2-6log2xx3一或x。2-8-6log2x由 8-2x之 6+log2x,得2x+log2x2,f(x)=2+log2

11、x 为增函数，且f(1)=2。=2log21-16x21-16x2所以，不等式的解为0 x1o由 2x8 至 6+log2x,得 2x至 log2x+14。设 g(x)=2x,h(x)=log2x+14。如图，在同一坐标系内作函数y=g(x)与y=h(x)的图像，它们有两个交点 A(x1,y1),B(x2,丫2)(0为x2),其中 0为4o由、可知，不等式的解集为(0,1h14,+8三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分)13.(本题满分 16 分)求二次函数 f(x)=ax2-2x+1 在区间 1,2】上的最小值g(a)的表达式。1c

12、1【解答】【解答】f(x)=a(x-)2-1-。aa1当a0时，00a1若01时，f(x)在区间 1,21 上的最小值为f(1)=a-1。8 分a,111右1WM2,即MaW1时，f(x)在区间 1,21 上的最小值为f(a)=1-。a2a12 分若1A2,即0ca4时，f(x)在区间1,2上的最小值为f(2)=4a-3。a214a-3a114.(本题满分 16 分)已知两个同心圆 G：x2+y2=4 和 C2:x2+y2=16,P圆 C2上一点。过点P作圆 C1 的两条切线，切点分别为A、Bo(1)若 P 点坐标为(272,-272),求四边形 OAPB 的面积。(2)当点P在圆C2上运动时

13、，是否存在定圆包与直线AB相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。【解答】（1）依题意，OA_LAP,OB_LBP,且OA=OB=2,PA=PB=J42_22=2J1SAOAP=SAOBP=乂2父2点=2点。2一四边形OAPB的面积为 4 志。(2)设P(m,n),则m2+n2=16。当点P在圆 C2上运动时，包有PA=PB=,42-22=273。点A、B在以P为圆心，2 曲为半径的圆上。该圆方程为(x-m)2(y-n)2=12。8 分又点A、B在圆G:x2+y2=4 上。联立两圆方程，消二次项，得-2mx2ny+m2+n2=124。即mx+ny4=0。直线AB方程为mx+ny-4

14、=0。圆 x2+y2=1 恒与直线AB相切。存在定圆包与直线AB相切，定圆方程为 x2+y2=1注：本题也可以用平面几何方法求解:设OP与AB的交点为D,则OD_LAB。在4OAP中，由OA_LAP,OA=2,OP=4,知OD=1。12 分以O为圆心，1 为半径的圆恒于直线AB相切。12 分原点O到直线AB的距离d=00-4,m2n2=4=1 为定值。416 分4 分存在定圆包与直线AB相切，定圆方程为 x2+y2=1。16 分15 .（本题满分 16 分）如图，在ABC中，AD为/A的平分线且与BC交于点D,E为AD中点，F、G为BE、CE上的点，且ZAFC=/AGB=90，求证：ZFBG=

15、NGCF。【解答】【解答】如图，过点C作AD的平行线交直线BA于点P,BE于点Q则由E为AD中点知，Q为CP中点AD平分ZBAC,/BAD=/P=/DAC=/ACP。AC=AP,AQ_LCPo结合/AFC=90。知，A、F、C、Q四点共圆。8 分ZAFQ=ZACQ=ZP=ZBAE。AABEs&FAE。ABBEAEAI_2=,AE=EFEBoFAAEFEEF.EB=EGEC,F、B、C、G四点共圆。/FBG=/GCFo同理，DE2-EGEC。16 分12 分16 .(本题满分 16 分)给出 5 个互不相同的实数，若这 5 个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：这 5 个数

16、的平方都是有理数。【解答】设 x 为其中的一个数，依题意，其余的 4 个数为，或 rx 的形式，其中 r 为有x理数。4 分(1)若这 4 个数中至少有 2 个为(rwQ)的形式，设它们为 r1,2(ri=口且 ri,bwQ)。xxx则由条件知，r1十r2WQ与r1M2WQ中至少有 1 个成立。xxxx当r1+2wQ 时，r12wQ,xWQ,x2wQ 成立。xxx当r1M2wQ 时，r?wQ,x2wQ 成立。xxx(2)若这 4 个数中最多只有 1 个为匚(rWQ)的形式，则至少有 3 个数为 r-x(rwQ)x的形式。设这三个数为 r1-x,r2-x,r3-x(r1,r2,3互不相同，且 r

17、1,r2,r3wQ)。下面考虑这三个数的和与积。若(r1-x)+(r2-x),(r2-x)+(r3-x),(r3-x)+(r1-x)中至少有两个为有理数。不妨设(r1-x)+(2-x),(2-x)十(3-x)为有理数，贝汗(r1-x)+(r2-x)+(r2-x)+(r3-x)=r1+2+r3-4xeQ。xWQ,x2wQ 成立。12 分若(r1-x)+(r2-x),(r2-x)+(r3-x),(r3-x)+(r1-x)中最多只有 1 个为有理数，贝 U(r1X)(2-x),(r2X)(3x),(自-x)(r1-x)中至少有两个为有理数。不妨设(r1-x)(r2-x),(r2-x)(r3-x)为有

18、理数。22则(r1-x)(r2-x)=rr2(口+r2)x+x=Q,(r2x)(r3-x)=r2r3-(r2+r3)x+xQ。两式相减，得 rr2r2r3-(r1-r3)xeQ,(r1-r3)xeQ。.xWQ,x2wQ 成立。由、知，止匕时 x2wQ 成立。综上可得，x2WQ。因此，这 5 个数的平方都是有理数。16 分17 .（本题满分 14 分）（1）设集合 A=1,2,3|,13,集合 B 是 A 的子集，且集合 B 中任意两数之差都不等于 6 或 7。问集合 B 中最多有多少个元素？（2）设集合 M=1,2,3|,2014）,集合 N 是 M 的子集，且集合 N 中任意两数之差都不等于 6或 7。问集合 N 中最多有多少个元素？【解答】【解答】（1）构造A的下列13个子集：1,7,2,8,3,9,4,10,5,11,6,12,7,13,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6,13 （A 中每一个数恰好属于 2 个子集）。由于从A中任取 7 个元素，它们分别属于上述 13 个子集中的 14 个子集，由抽屉原理知其中必有 2 个元素属于同一个子集，它们的差为 6 或 7。因此，A中任意 7 个元素都不能同时属于集合B。即B