函数的定义域与值域

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五节 函数的定义域与值域归纳·知识整合1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)(6)ytan x的定义域为.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a>0时，值域为； 当a<0时，值域为.(

2、3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a>0且a1)的值域是y|y>0(5)ylogax(a>0且a1)的值域是R.(6)ysin x，ycos x的值域是 1,1(7)ytan x的值域是R.探究1.若函数yf(x)的定义域和值域相同，则称函数yf(x)是圆满函数，则函数y；y2x；y ；yx2中是圆满函数的有哪几个？2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 自测·牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)的定义域为()A，4 B4，) C(，4) D(，1)(1,42下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0<x<55x&l

3、t;1010x<1515x20y2345A2,5BNC(0,20D2,3,4,53若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B. C. D(0，)4(教材改编题)函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的定义域为_，值域为_5(教材改编题)若有意义，则函数yx26x7的值域是_求函数的定义域例1(1)(2012·山东高考)函数f(x) 的定义域为()A2,0)(0,2B(1,0)(0,2 C2,2 D(1,2(2)已知函数f(x21)的定义域为0,3，则函数yf(x)的定义域为_本例(2)改为f(x)的定义域为0,3，求yf(x21)的定义域简单函数定义域的类型及求法(1

4、)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域1(1)(2012·江苏高考)函数f(x) 的定义域为_(2)已知f(x)的定义域是2,4，求f(x23x)的定义域求函数的值域例2求下列函数的值域：(1)y；(2)yx；(3)yx.若将本例(3)改为“yx”，如何求解？求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通

5、过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxb±(a，b，c，d均为常数，且a0)的函数常用换元法求值域，形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如y(a0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2求下列函数的值域(1)yx22x，x0,3； (2)y； (3)ylog3xlogx31.与定义域、值域有关的参数问题例3已知函数f(x).若至少存在一个正实数b，

6、使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围3(2013·温州模拟)若函数f(x)在区间a，b上的值域为，则ab_.1种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识4个注意求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数

7、式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0；对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分

8、段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解. 易误警示与定义域有关的易错问题典例(2013·福州模拟)函数f(x)的定义域为_1本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)(x1)后求定义域，会误认为其定义域为(，1事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围2在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用 1若函数f(x)的值域是，则函数F(x)f(x)的值域是()A.B. C. D.2已知函数f(2)x2，则函数f(x)的值域为_一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知a

9、为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()Af(x)x2aBf(x)ax21 Cf(x)ax2x1 Df(x)x2ax12已知等腰ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为()AR Bx|x>0 Cx|0<x<5 D.3设Mx|2x2，Ny|0y2，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()4(2013·南昌模拟)函数y lg的定义域为()Ax|x>0 Bx|x1 Cx|x1，或x<0 Dx|0<x15函数y2的值域是()A2,2 B1,2 C0,2 D， 6设函数g(x)x22(

10、xR)，f(x)则f(x)的值域是()A.(1，) B. C. D.(2，)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7函数y的定义域是_8设x2，则函数y的最小值是_9(2013·厦门模拟)定义新运算“”：当ab时，aba；当a<b时，abb2.设函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2，则函数f(x)的值域为_三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10若函数f(x)x2xa的定义域和值域均为1，b (b>1)，求a，b的值11设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在x轴的正半轴上移动，l(x)表示的长，求函数y的值域12已知函

11、数f(x)x24ax2a6.(1)若函数f(x)的值域为0，)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)2a|a3|的值域1下列函数中，与函数y有相同定义域的是()Af(x)ln x Bf(x) Cf(x)|x| Df(x)ex2函数y的定义域为()A4，1)B(4,1) C(1,1) D(1,13若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1) C0,1)(1,4 D(0,1)4已知函数f(x)x，x1,1，函数g(x)f2(x)2af(x)3的最小值为h(a)(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：m&g

12、t;n>3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由 探究1. 提示：y的定义域和值域都是(，0)(0，)，故函数y是圆满函数；y2x的定义域和值域都是R，故函数y2x是圆满函数；y 的定义域和值域都是0，)，故y 是圆满函数；yx2的定义域为R，值域为0，)，故函数yx2不是圆满函数2提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集自测·牛刀小试1解析：选D要使函数f(x)有意义，只需即所以函数的定义域为(，1)(1,42解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为2,3,4,53解析：选A根据题意得log (

13、2x1)0，即02x11，解得<x<0，即x.4解析：由图象可知，函数yf(x)的定义域为6,03,7)，值域为0，)答案：6,03,7)0，)5解析：有意义，x40，即x4. 又yx26x7(x3)22，ymin(43)22121.其值域为1，)答案：1，)例1自主解答(1)x满足即解得1<x<0或0<x2.(2)0x3，0x29，1x218. 函数yf(x)的定义域为1,8答案(1)B(2)1,8 解：yf(x)的定义域为0,3，0x213，解得2x1或1x2，所以函数定义域为2，11,2 1解析：(1)由12log6x0解得log6x0x，故所求定义域为(0

14、， 答案：(0， (2)f(x)的定义域是2,4，2x23x4，由二次函数的图象可得，1x1或2x4.定义域为1,12,4.例2自主解答(1)法一：(分离常数法)y1.因为0，所以11，即函数的值域是y|yR，y1法二：由y得yxyx3. 解得x，所以y1，即函数值域是y|yR，y1(2)法一：(换元法)令t，则t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)容易判断函数yf(x)为增函数，而其定义域应满足12x0，即x.所以yf，即函数的值域是.(3)法一：(基本不等式法)当x>0时，x2 4，当且仅当x2时“”成立；当x<0时，x(x)4，当

15、且仅当x2时“”成立 即函数的值域为(，44，)法二：(导数法)f(x)1. x(，2)或x(2，)时，f(x)单调递增，当x(2,0)或x(0,2)时，f(x)单调递减故x2时，f(x)极大值f(2)4；x2时，f(x)极小值f(2)4. 即函数的值域为(，44，)解：易知函数yx在(，0)和(0，)上都是增函数，故函数yx的值域为R. 2解：(1)(配方法)yx22x(x1)21，0x3，1x14.1(x1)216.0y15，即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1，x2x12，0<，y<1，即值域为.(3)ylog3x1，令log3xt，则yt1(t0)，当x&

16、gt;1时，t>0，y2 11，当且仅当t即log3x1，x3时，等号成立；当0<x<1时，t<0，y1213.当且仅当t即log3x1，x时，等号成立综上所述，函数的值域是(，31，).例3 自主解答若a0，则对于每个正数b，f(x)的定义域和值域都是0，)，故a0满足条件；若a>0，则对于正数b，f(x)的定义域为Dx|ax2bx00，)，但f(x)的值域A0，)，故DA，即a>0不符合条件；若a<0，则对于正数b，f(x)的定义域D，由于此时f(x)maxf，故f(x)的值域为，则a4. 综上所述，a的值为0或4.3解析：由题意知x1>0，

17、又xa，b，a>1.则f(x)在a，b上为减函数，则f(a)1且f(b)，a2，b4，ab6. 答案：6易误警示与定义域有关的易错问题典例 解析要使函数f(x)有意义，则函数f(x)的定义域为x|x1，且x1答案(，1)(1,11解析：选C令tf(x)，则t3. 易知函数g(t)t在区间上是减函数，在1,3上是增函数又因为g，g(1)2，g(3). 可知函数F(x)f(x)的值域为.2解析：令2t，则x(t2)2(t2)f(t)(t2)22(t2)t22t(t2)f(x)x22x(x2)f(x)(x1)21(21)210，即f(x)的值域为0，)答案：0，)一、选择题(本大题共6小题，每

18、小题5分，共30分)1解析：选C当a0时，f(x)ax2x1x1为一次函数，其定义域和值域都是R.2解析：选D由题意知即<x<5.3解析：选AA中定义域是2,2，值域为0,2；B中定义域为2,0，值域为0,2；C不表示函数；D中的值域不是0,24解析：选B由得x1.5解析：选Cx24x(x2)244，02，20，022，0y2.6解析：选D令x<g(x)，即x2x2>0，解得x<1或x>2；令xg(x)，即x2x20，解得1x2，故函数f(x)当x<1或x>2时，函数f(x)>f(1)2；当1x2时，函数ff(x)f(1)，即f(x)0，故

19、函数f(x)的值域是(2，)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7解析：由函数解析式可知6xx2>0，即x2x6<0，故3<x<2. 答案：(3,2)8解析：y，设x1t，则t3，那么yt5，在区间2，)上此函数为增函数，所以t3时，函数取得最小值即ymin. 答案：9解析：由题意知，f(x) 当x2,1时，f(x)4，1；当x(1,2时，f(x)(1,6，故当x2,2时，f(x)4,6答案：4,6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10解：f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即1，b为f(x)的单调递增区间f(x)minf(1)a1， f(x)maxf(b)b2bab. 由解得11解：依题意有x0，l(x)，所以y. 由于1252，所以 ，故0y. 即函