数学学习方法讲座

1、数学学习方法讲座数学学习方法讲座（三）第三层为会学一、 学生学习现状的三个层次（一）第一层为苦学（二）第二层为好学二、 学生中的三种学习习惯（一）总是站在系统的高度把握知识 学习成绩的好坏，往往取决于是否有良好的学习习惯，特别是思考习惯。（二）追根溯源，寻求事物之间的内在联系（三）发散思维，养成联想的思维习惯（一）学习知识方面，狠抓联系形成知识结构，以少胜多，以不变应万变。三、 怎样学习数学（二）重过程轻结果（三）探究“字母代式”实质（四）重视复习时培养规范简洁的表达，这样既省时间又准确四、 怎样解题首先是精选题目，做到少而精 数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方

2、法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的。其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。其次是分析题目最后，题目总结 对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结:在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法。(sin )0(2cos )0.(1)ffff2例1：已知 (x)=x +bx+c(b、cR),不论 、为何实数，恒有和求

3、证：b+c=-1；（2）c3；（3）若 (sin )的最大值为8，求b、c的值.122例2：定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：（1）对任意x、y （-1，1），都有：x+y f(x)+f(y)=f();1+xy(2)当x (-1,0)时，f(x)0.1111求证：f( )+f()+f()+f()f( ).51119n +3n+1 11212( )1( )2( )( )().1(1)( )12(2),();2111125(3)( )()()2nnnnnnf xfxyxyf xf yfxyf xxxxxf xxnf xf xf xn例3已知函数在（，）上有定义，且满足 、 （，）有：证明：在

4、（，）上是奇函数；对数列满足：求求证：步步骤骤怎怎 样样 解解 题题? ?模式识别1要求解（证）的问题是什么？它是哪种类型的问题？ 2已知条件（数据、图形、事项及其与结论部分的联系方式）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？3所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题表示出来？能否在图上加上适当的记号？4有什么隐含条件？联想化归1这个题以前见过吗？在哪里见过？以前做过吗？见过类似的问题吗？当时是怎样想的？2题中的一部分（条件，或结论，或式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过？3题中所给出的式子，图形与记忆中的什么式子，图形相似？它们之间可

5、能有什么联系？4解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较简便？试一试如何？联想化归5由已知条件能推得哪些可知的事项和条件？推出求知结论需要知道哪些条件（需知）？6与这个问题有关的知识（基本概念、定 理、公式等）有哪些？7能否将题中复杂的式子简化？能否对条件进行划分，将大问题化为几个小问题？8能否将问题化归为基本命题？能否进行变量替换？恒等变换或几何变换？能否将形式变得较为明显一些？联想化归9能否数形互化，利用几何方法来解代数问题，利用代数（解析）方法来解几何问题？10利用命题等价性（如逆否命题律）或其它方法，可否将问题转化为熟悉的等价问题？11对你的解题计划进行通盘考虑：比较各种解法的优点；

6、预见解题中的困难（如计算量的大小），选择你最熟悉的解法！规范解题1每一步骤是否充分(或等价)?2你能否清楚看出这一步是正确的?你能否证明这一步是正确的?3尚未成功不等于彻底失败,你能找出没有成功的原因吗?检验反思1检验运算是否正确？2检验解题步骤是否必要？3你的解题方法能否进行有长远意义的推广？4适当改变条件或结论,你能证明它吗?五、 平时学习中需要注意的13项 第二项：正方体是高考立体几何命题的重点。高考所涉及的数学思想方法主要有函数与方程的思想方法；数形结合与分离的思想方法；分类讨论的思想方法；化归与转化的思想方法；归纳、猜想、论证的思想方法；运动与变化的思想方法；有限与无限逼近的思想方法

7、；特殊与一般的思想方法；对称的思想方法；主元的思想方法等。第一项：要重视掌握数学思想方法。第三项：估值法能大大提高运算速度。第四项：二面角的平面角的各种做法和论证一定要过关第六项：要培养不同学科之间的联结能力第五项：要注意初中与高中、高中与大学衔接知识的复习第七项：平时复习几何时要做到：（1）动手制作一些具体的数学模型（如折纸、火柴梗拼图、三视图等）；（2）广泛使用数学作图（利用几何画板可以把数学课上成实验课）；（3）编制计算机学习程序；（4）认真开展研究性学习。这些都是新课程理念下高考内容改革所追求的。 第八项：关注新教材更新的数学内容第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。第十项：

8、近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容易，深入困难。第十一项：加强原理复习第十三项：高考将仍然“坚持多角度，多层次考查”的命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、数学归纳法、构造法。第十二项：加强不等式复习 在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到较大的作用六、 注意易错问题的分析和纠正4 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 1求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2函数与其反函数之间的一个有用的结论： 函数图象关于直线y=x对称3原函数在区间 上单调递增，则一定

9、存在反函数，且反函数 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 5根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 6. 你知道双勾函数的单调区间吗？（该函数在 或 上单调递增；在 或 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 7.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀!9.“实系数一元二次方程 有实数解”转化为“ ”，你是否注意到必须 ；当a=0时，“方程有解”不能转化为 若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 8.你知道判断对数 符号的快捷方法吗

10、？10.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 11.在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用 12.你还记得三角化简的通性通法吗？13. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？14. 在用三角函数值表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是什么?直线的倾斜角、直线到直线的角、 与 的夹角的取值范围分别是? 15. 分式不等式 的一般解题思路是什么？（移项通分） 16. 解指对不

11、等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）17. 利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时，你是否注意到a，b 大于0（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和ab其中之一应是定值？ 18. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底数）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是 20. 等差数列中的重要性质：若 ，则 ； 等比数列中的重要性质：若 ，则 21. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论?22. 等差数列的一个性质：设 是数列 的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a. 23

12、. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，求 的前n项的和） 24. 用 求数列的通项公式时，你注意到 了吗？ 25. 你还记得裂项求和吗？26. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 27. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法28. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见. 29. 求点到面的距离的常规方法是什么

13、？（直接法、体积法） 30. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 31. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见 33. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及 值可要搞清） 32. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点 ，且被圆 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.） 35. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 36. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距

14、离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷 37. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 40.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p, 的意义吗？ 41. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？ 42离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？ 43. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式 的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 38. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形. 39.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？ 44. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b