连续多维信号与系统

1、page1Chapter 2 连续多维信号与系统连续多维信号与系统 Analog Multi-dimensional Signal and System 自然的图像或多维信号通常是连续的，自然的图像或多维信号通常是连续的，因此，研究连续信号具有重要意义。因此，研究连续信号具有重要意义。 信号可分为：确定信号和不确定信号。信号可分为：确定信号和不确定信号。对于确定信号的描述，就是建立数学函数式，对于确定信号的描述，就是建立数学函数式，讨论其自变量域、函数值域及其对应关系；讨论其自变量域、函数值域及其对应关系；对于不确定信号，还需研究其各类取值事件对于不确定信号，还需研究其各类取值事件的随机描述、

2、概率与矩特性。的随机描述、概率与矩特性。 而研究多维信号通过系统，就是研究系而研究多维信号通过系统，就是研究系page2系统对信号的响应，从数学上可以将其表述系统对信号的响应，从数学上可以将其表述为信号的变换或信号之间的运算。为信号的变换或信号之间的运算。2.1 连续多维信号连续多维信号Continuous Multi-dimensional Signal 2.1.1 图像信号的入射图像信号的入射-反射模型反射模型Incident-reflect Model of Image Signal 图像在很多情况下由电磁波的反射形图像在很多情况下由电磁波的反射形成，其反射模型如下：成，其反射模型如下：

3、),(),(),(0tyxrtyxityxf，page3其中，其中， 为观测能量在图像空间的分布，为观测能量在图像空间的分布， 为照射能量分布，为照射能量分布， 为反射系数。为反射系数。 表示全反射表示全反射 表示无反射表示无反射 在阳光照射下入射光强度和部分物体的在阳光照射下入射光强度和部分物体的反射特性如表反射特性如表2-1所示。所示。 1 , 0),(tyxr),(0tyxi),(tyxr),(tyxf1),(tyxr0),(tyxrpage4 表表2-1 光源照射下某些典型的光源照射下某些典型的i0、 r 值值天鹅绒天鹅绒不锈钢不锈钢表面表面油漆墙壁油漆墙壁镀银金属丝镀银金属丝雪地雪地

4、 条条 件件0.010.650.800.900.93反射系数反射系数r太阳直射太阳直射地球地球雾天太阳雾天太阳照射照射晴天月下晴天月下室内标准照明室内标准照明 条条 件件 可能超过可能超过 9000 可减至可减至 1000 0.01 100 入射能量入射能量强度强度i0（烛光）（烛光）page52.1.2 某些特殊图像函数记号某些特殊图像函数记号 Some Special Image Function Notes 下面讨论一些特殊图像及其函数记号，下面讨论一些特殊图像及其函数记号，据此容易研究图像特性并推广用于更高维据此容易研究图像特性并推广用于更高维的情况。的情况。一、单位亮块图像及其函数记

5、号一、单位亮块图像及其函数记号 Unit Bloc Image and its Func.Notes (一一)单位亮块图像及其函数单位亮块图像及其函数 单位亮块图像及其函数示如图单位亮块图像及其函数示如图2-1。page6图图2-1单位亮块图像及其函数单位亮块图像及其函数),(yxrectxy2121011亮度为亮度为1的单位亮块的单位亮块g0灰度级灰度级尺寸尺寸page7其中，其中，rect(x,y)是单位亮块图像函数记号。是单位亮块图像函数记号。（二）基本性质（二）基本性质 1、单位亮块图像函数的可分离性、单位亮块图像函数的可分离性其他021|2121|1)(xxxrect一维单位矩形函数

6、为一维单位矩形函数为)()(),(yrectxrectyxrect),(),(yxrectyxfrect单位亮块图像函数单位亮块图像函数),(yxfrectpage8单位块状单位块状 图像图像两正交长条状图两正交长条状图像的乘积像的乘积=)()(),(yrectxrectyxrectxyxyaba/2b/22、任意矩形图像、任意矩形图像 g rect(x-x0)/a,(y-y0)/b)gX0,y0g1/2g1/2page93、矩形亮条图像、矩形亮条图像 g rect(x-x0)/a) - I1(x,y) 沿沿y方向，宽方向，宽a,中心中心 x=x0，灰度灰度 g 的的 亮条图像亮条图像 g r

7、ect(y-y0)/b) - I2(x,y) 沿沿x方向，宽方向，宽b,中心中心y=y0，灰度灰度 g 的的 亮条图像亮条图像xyX0,y0abgI1(x,y)I2(x,y)page10二、二维滤波或插入图像函数二、二维滤波或插入图像函数 Two-dimensional /Interpolate Image Func.yyxxyxcsinsin),(sin式中式中)(sinxc)(sin)(sin),(sinycxcyxcxxxcsin)(sin使用一维滤波或插入函数记号使用一维滤波或插入函数记号二维滤波或插入图像函数二维滤波或插入图像函数page11 三、点图像与二维冲激或三、点图像与二维冲

8、激或Dirac函数函数 Point Image and 2-d Impulse /Dirac Func.),(yx点图像与二维冲激或点图像与二维冲激或Dirac函数函数 广泛广泛用于图像取样、变换及有关系统分析。其定用于图像取样、变换及有关系统分析。其定义如下：义如下：其他00, 0),(yxyx和和1),(dxdyyxpage12点图像的影像及其函数图形形式可示点图像的影像及其函数图形形式可示如下：如下：xyxy强度为强度为101),( yx点图像的影像点图像的影像点图像函数图形点图像函数图形page13基本性质基本性质 /Basic Property1、可分离性、可分离性 /Seperab

9、ility )()(),(yxyx 一维冲激函数一维冲激函数 和和 在二维系统在二维系统中表示平板函数图形，如图中表示平板函数图形，如图2-2)(x)(y)(y)(x0yx图图2-2 二维点图像及二维点图像及 其平板函数图形其平板函数图形 点图像点图像xypage142、函数族的极限与工程模型、函数族的极限与工程模型 ),(lim),(2ayaxrectayxa)(lim),(222yxacircayxa矩形域灰度均矩形域灰度均匀点化匀点化圆形域灰度均圆形域灰度均匀点化匀点化lim),()(2222yxaaeayx灰度高斯分布灰度高斯分布点化点化),(sinlim),(2ayaxcayxa灰度

10、灰度 分布点化分布点化),(sinayaxcpage15 上述函数族如图上述函数族如图2-3所示所示图图2-3 的极限形式的极限形式 ),(yx矩形域灰度均匀矩形域灰度均匀点化点化圆形域灰度圆形域灰度均匀点化均匀点化page16图图2-3 的极限形式的极限形式 ),(yx灰度高斯灰度高斯分布点化分布点化灰度灰度 分布分布 且点化且点化),(sinayaxcpage173、筛选特性、筛选特性 sift property若图像若图像 在在 点连续，则点连续，则),(yxf),(00yx),(),(),(0000yxfddyxf4、函数的复制特性、函数的复制特性 copy property),(),

11、(),(),(*),(00yxfddyxfyxyxf 图像图像f与冲激函数的相关运算。与冲激函数的相关运算。page185、图像取样特性、图像取样特性 sampling property),(),(),(000,000yyxx)yf(xyyxxyxf6、线条图像及其函数记号、线条图像及其函数记号 （1）灰度）灰度 g0，沿沿x 方向的亮线图像方向的亮线图像)(),(01ygyxfx1g0g0(X0 y0)(X0 y0)0g0 xypage19(2)、亮线段图像、亮线段图像 line segment image)/)()(),(0002axxrectyygyxfy0 xyx0g0长为长为a(3)

12、、任意方向的亮线图像、任意方向的亮线图像bxabybxabygyxf)/()/(),(03xy-abg00page20四、矩形网格分布的点图像函数四、矩形网格分布的点图像函数/2D梳状图梳状图 像函数像函数Rectangular Pattern Point Image Function Notes/2D Comb(x,y)Pattern-Point Image1xyabPhoto form3-D Function Plotpage21Function NotesmnbanbymaxyxComb),(),(,), 2, 1, 0(,),(2 nmZnm或性质与应用性质与应用/Property a

13、nd Applications1、 等间隔亮线条图像与等间隔亮线条图像与 可分离可分离性性),(yxCombpage22)()(),(,yCombxCombyxCombbaba)()()(mamaxxComb)()()(nbnbyxComb图像意义：图像意义：)(xComba沿沿y轴平行的，轴平行的，x方向间隔为方向间隔为a的亮线条的亮线条a1xy0page23 )(yCombb沿沿y轴平行的，轴平行的，x方向间隔为方向间隔为a的亮线条的亮线条1xyb0page24例题：例题： 1. 试给出域试给出域内，沿内，沿 y 轴方向，轴方向，x 轴方向间距均为轴方向间距均为 a 的的亮线族示图及函数记

14、号表示，其中一条亮亮线族示图及函数记号表示，其中一条亮线过原点，灰度级为线过原点，灰度级为g 。解：解： 图像函数式图像函数式)2,2(),2,2(DDyCCx),()(.),(DyCxrectxCombgyxfapage252C2C2D2D xy0灰度级灰度级g),()(.),(DyCxrectxCombgyxfapage26例题：例题： 2. 试给出区间试给出区间 内，沿内，沿 x 轴方向的亮点分布图像。点间间距为轴方向的亮点分布图像。点间间距为 a ，其中一点为坐标原点其中一点为坐标原点,灰度级为灰度级为g 。 解：解： 二维图像函数图形二维图像函数图形)2,2(CCx0aaa2 2C2

15、C xy灰度级灰度级 gpage272|)()(),(),()()()()(),(CnannaynaxynaxCxrectyxCombCxrectyxfpage282、图像函数按网格取样、图像函数按网格取样若图像若图像 ，取样网格函数为，取样网格函数为 ，则取样后的图像函数，则取样后的图像函数及图像表示如下及图像表示如下：),(yxf),(,yxCombbamnbasnbymaxnbmafyxCombyxfyxf),(),(),(),(),(,page29xy0取样网格支持域图像),(yxf像素点取样后的图像),(yxfspage303、 图像函数按网格重复图像函数按网格重复mnbacnbym

16、axfyxCombyxfyxf),(),(),(),(,),(yxf),(,yxCombba),(yxfc卷积运算卷积运算按网格按网格 重复重复page31示图如下示图如下),(yxfxy0 xy0重复网格abpage32Note 若网格基元若网格基元 ，图像支持域，图像支持域 ，则，则 时，时，使用网格重复建立的新图像，没有基元图使用网格重复建立的新图像，没有基元图像重迭（混迭）发生。否则，新图像中将像重迭（混迭）发生。否则，新图像中将有基元图像混迭。有基元图像混迭。ba,DC2| ,2|DyCxDbCa,page332.2 二维图像（函数）的付立叶变换二维图像（函数）的付立叶变换 2-D

17、Image Fourier Transformation引言引言 将图像分解为某个基元函数组（空间）将图像分解为某个基元函数组（空间）的函数和是我们研究图像的一种重要方法。的函数和是我们研究图像的一种重要方法。 前面讨论了前面讨论了 分解为分解为的函数和，即的函数和，即),(yxf),(nbymax),(),(),(),(),(),(),(nbymaxnbmafddyxfyxfnmpage34 如果基元函数是如果基元函数是 则这种分则这种分解就是付立叶变换。为什么要分解？解就是付立叶变换。为什么要分解？ 基元函数基元函数 或或 有许多优良特性，便于对有许多优良特性，便于对信号进一步研究，解决科

18、技，工程中的问信号进一步研究，解决科技，工程中的问题。题。2.2.1 二维傅立叶变换二维傅立叶变换/2-D Fourier Transformation 将将 表示为表示为 则当则当满足一定条件时，有满足一定条件时，有vuevyuxj,)(2nmnbymax,),(vuevyuxj,)(2),(yxf,)(2vyuxje),(yxfpage35dudvevuFyxfvyuxjvu)(2),(),(),(其中，其中， dxdyeyxfvuFvyuxjyx)(2),(),(),( 可见，上述关系式若固定，可见，上述关系式若固定， 结结构已知，则构已知，则 一一对应，彼一一对应，彼此决定，这种关系称

19、为此决定，这种关系称为Fourier Trans. )(2vyuxje),(),(vuFyxf与),(),(vuFyxfpage36图像图像Fourier Trans. 存在条件，称为赫维存在条件，称为赫维赛得赛得Heaviside 条件，可表示为：条件，可表示为： 绝对可积绝对可积 ),(yxf),(yxf在其定义域中具有有限个在其定义域中具有有限个有限间断点或极点有限间断点或极点使用算子使用算子表示：1,FFOOOperator),(),(1vuFOyxfF),(),(yxfOvuFFpage370 xy),(yxf0uv),(vuFFO1FOpage38二、二、Fourier Tans.

20、 的图像意义的图像意义/Meaning of the F.T. in the View of Image Processing 图像图像 ，若满足一定条件，则它可，若满足一定条件，则它可用周期图像系列用周期图像系列 u,v 的线的线性组合表示。线性组合中的加权因子性组合表示。线性组合中的加权因子 表示相应基元表示相应基元 对对 的贡献。因的贡献。因此，此，F(u,v) 称为图像称为图像 的频谱，的频谱，(u,v)称为空间频率。称为空间频率。三、三、F.T.域的代数式与指数式域的代数式与指数式/实虚谱实虚谱/复相复相谱谱/AlgebraForm,ExponentialForm,Real/Imag

21、inary Spectrum,Complex/Phase Spectrum),(yxf)(2expvyuxj),(vuF),(yxfvu,),(yxfpage39 式中，式中， 分别称为图像分别称为图像f(x,y) 的实、虚频谱。的实、虚频谱。 式中，式中， 分别称为图像分别称为图像f(x,y) 的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。),(),(),(vujIvuRvuF),(),(vuIvuR和),(),(),(vujevuMvuF),(),(vuvuM和2/122),(),(| ),(|),(vuIvuRvuFvuM),(/ ),(),(tanvuRvuIvupage40四、其他四、其他F.

22、T.形式形式/Other F.T.FormsdxdyeyxfvuFvyuxj)(),(21),(dudvevuFyxfvyuxj)(2),()2(1),(dudvevuFyxfvyuxj)(),(21),(dudvevuFyxfvyuxjvu)(),(),(),(page41三种三种F.T之间的变换关系。之间的变换关系。这里讨论第一种与其他两种的变换关系这里讨论第一种与其他两种的变换关系若第一种若第一种F.T对对 f(x,y) F(u,v)则有第二、则有第二、 三种三种F.T f(x,y) F(u/2,v/2) 第一种第一种F.T.第三种第三种F.T.第二种第二种F.T.)2/,2/(yxf)

23、2/,2/(vuFpage42例题例题 ：三种：三种F.T对对yx,1(1)yx,1(2) yx,2(3)1rect(x,y)(1)Sinc(u,v)(2)(3)page432.2.2 二维付立叶变换的性质二维付立叶变换的性质/Property of 2-d F.T.一、一、2DFT的二步算法的二步算法/Two-step Algorithm of 2DFTDFTxyOOyxfOOyxfOOyxfOvuFFxFyFxFyFyFxF1),(),(),(),(111111进行和分别表示对与式中，如果图像如果图像 是空间可分离的，即是空间可分离的，即),(yxf)()(),(21yfxfyxfpage

24、44 1 2 n-1 x 1 2 n-1 u 1 2 n-1 u0 1 2 0 1 20 1 2yyN-1N-1N-1vO1fxO1fyf(x,y)F1(u,y)F(u,v)F(u,v)F1(u,y)f(x,y) 二维二维F.T的两步算法：的两步算法：1、沿、沿x方向做一维方向做一维F.T，一维，一维F.T次数为次数为y的点数，每个一维的点数，每个一维F.T的点的点数为数为x的点数。的点数。2、沿、沿y方向做一维方向做一维F.T，一维，一维F.T次数为次数为u的点数，每个一维的点数，每个一维F.T的点的点数为数为y的点数。的点数。page45则其则其2DFT可以简单地表示为可以简单地表示为)(

25、)(),(),(2111yfOxfOyxfOvuFFFF二、用二、用2DFT作作2DIFT/Implementing of 2DIFT with 2 DFT*),(),(vuFOyxfF三、其他付立叶变换性质与常用三、其他付立叶变换性质与常用FT对对 见书表见书表2-1/Property of F.T. and Common F.T. Pairs (referred to table-2 in the related reference) page462.3 二维系统二维系统/ 2-dimensional System 一、一、N输入输入-M输出的输出的2-D 系统系统 一般形式如下图：一般形

26、式如下图：),(yxfN),(1yxf),(1yxg),(yxgM1O2O),(yxgk一般一般2D系统系统page47系统输可表示为：系统输可表示为： gk(x,y)=Ok(f1(x,y),fN(x,y)其中，（其中，（x,y）Rg，实数集合，实数集合，gk，fkR, k(1,M)。上式还可表示为：。上式还可表示为： （gk(x,y),k=1,2,M）=(Ok(fL(x,y),L1,2,N),k=1,2,.M,)通常，通常，M,N=1,系统具有一个输入，一个输出时，上式变为：系统具有一个输入，一个输出时，上式变为： g(x,y)=O(f(x,y)二、一般的线形图像系统二、一般的线形图像系统/

27、General Linear Image Sys.page48若图像系统若图像系统O满足下述特性，则该系统称为线性图满足下述特性，则该系统称为线性图像系统，像系统， O( aifi(x,y) ) =aiO(fi(x,y) 例如，例如，O为线性系统，且为线性系统，且O(fi(x,y)=gi(x,y) i=1,2试求下述输入时，系统输出，试求下述输入时，系统输出，a1, a2为常数，为常数， 1, a1f1(x,y) 2, a1f1(x,y)+a2f2(x,y) （一）、线性图像系统（一）、线性图像系统 冲击响应式冲击响应式若有线性图像系统若有线性图像系统O,其冲击响应为，其冲击响应为， h(x,

28、y,w,z )=O( ) (i)(i),(zywxpage49此图像系统对任意图像输入此图像系统对任意图像输入f(x,y)，其响应可表示，其响应可表示为为 g(x,y)=O(f(x,y) =f(w,z)h(x,y,w,z) dwdz 证明：证明： 图像图像f(x,y)有点图像分解式，有点图像分解式， f(x,y) f(w,z) dwdz则图像系统输出则图像系统输出g(x,y)(w,z),(zywx(w,z)page50 g(x,y)=O(f(x,y) =O(f(w,z) )dwdz = f(w,z) O( )dwdz = f(w,z) h(x,y,w,z) dwdz（二）、线性图像系统的非因果

29、性（二）、线性图像系统的非因果性/No-causalityOf the Linear Image Sys. 定义因果性与非因果性定义因果性与非因果性 对于编序的自变元，在某个编序位置上，若系统对于编序的自变元，在某个编序位置上，若系统输出仅由系统函数和该编序位置及其已前系统的输入决定输出仅由系统函数和该编序位置及其已前系统的输入决定则此系统为因果系统，系统的这一特性称为因果性；但是则此系统为因果系统，系统的这一特性称为因果性；但是),(zywx(w,z),(zywx(w,z)(w,z)page51若系统输出还与该编序位置以后的输入函数有关，这该系若系统输出还与该编序位置以后的输入函数有关，这该

30、系统是非因果系统，此种特性称为非因果性。统是非因果系统，此种特性称为非因果性。举例：举例： 有一维系统有一维系统O ,其输入其输入f(t),若其输出若其输出g(t)为，为， g(ti)O(f(t),tti ) 则此系统为因果系统，这种特性称为因果性。否则，系统则此系统为因果系统，这种特性称为因果性。否则，系统为非因果系统。为非因果系统。应该特别注意到：对于图像系统多为非因果系统，比如，应该特别注意到：对于图像系统多为非因果系统，比如，前面分析的线性系统为非因果系统，注意式子前面分析的线性系统为非因果系统，注意式子 g(x,y)= = f(w,z) h(x,y,w,z) dwdzpage52二、线性、空间位移不变图像系统二、线性、空间位移不变图像系统/Linear Spatial Shift- invariant Image Sys.定