高等流体力学第7讲修改

1、理想流体动力学理想流体动力学 (1)(2) 流函数与势函数流函数与势函数(1)无旋流动无旋流动理想流体理想流体实际流体实际流体理想不可压缩流动理想不可压缩流动NS方程方程 速度旋度处处为零的流动定义为无旋流动，其所在流场速度旋度处处为零的流动定义为无旋流动，其所在流场称为无旋流场。该条件又可写为：称为无旋流场。该条件又可写为：0 Vyuxvxwzuzvyw下面通过示意图的方法进一步解释无旋运动和下面通过示意图的方法进一步解释无旋运动和有旋运动的区别有旋运动的区别 无旋流动无旋流动 在无旋流中，公式在无旋流中，公式(8.6)表明速度的交叉偏导数相等，因此，在流场中表明速度的交叉偏导数相等，因此，

2、在流场中必然存在着这样一个函数必然存在着这样一个函数 ，它对于某一坐标的偏导数等于速度它对于某一坐标的偏导数等于速度在该坐标方向的分速度，即在该坐标方向的分速度，即 式中函数式中函数 称为势函数或速度势称为势函数或速度势, ,因此因此),(tzyxVgrad)(wzvyuxV0)()()()(:0)(:222222 kyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkjigradgrad 证证明明试试证证这说明如果存在势函数这说明如果存在势函数, ,那么场必定无旋那么场必定无旋; ;反之也基本成反之也基本成立立, ,即如果场无旋即如果场无旋, ,那么那么“保守力保守力”或或“速度速度” 可以用可以用势

3、函数的梯度来表示势函数的梯度来表示 定理定理1:1:如果流场存在势函数如果流场存在势函数, ,即即 , ,其中其中u,v在整个区域上都有一阶偏导数在整个区域上都有一阶偏导数, ,那么在整个区域那么在整个区域上上, ,场必定无旋场必定无旋, ,即可推出即可推出: :jyixj viuF xvyu 定理定理2: :设设 是一个在单连通区域是一个在单连通区域D上的场上的场, ,其中其中u,v在整个区域上都有一阶偏导数在整个区域上都有一阶偏导数, ,且且 在整个区域上都成立在整个区域上都成立( (无旋条件无旋条件),),即可推出即可推出: : F F是有势场是有势场, , j viuF xvyu jy

4、ixj viuF 非常重要的条件非常重要的条件:单连通区域单连通区域单连通区域单连通区域非单连通区域非单连通区域AByx12(A)(B)如果流动无旋如果流动无旋, ,则速度可以表示成则速度可以表示成势函数的梯度势函数的梯度做功做功犹如在重力场或电场中犹如在重力场或电场中积分与路径与关积分与路径与关表示成表示成那么可以把速度那么可以把速度如果如果,)()()()(02211ABdssdVABdssdVkwj viukzjyixVVBABABABA 0 V V单连通区域单连通区域1 2 3 4 5 U流动方向流动方向势函数势函数无旋无旋有势有势单连通区域单连通区域无旋条件与势函数的相互依存关系为无

5、旋条件与势函数的相互依存关系为: : yuxyyxyxxv)()(2若流动是定常的，那么势函数只是空间坐标的函若流动是定常的，那么势函数只是空间坐标的函数，因此势函数的全微分可以表示为：数，因此势函数的全微分可以表示为：rdVwdzvdyudxdzzdyydxxd如果能够找出描写该流动特征的势函数，那么就可以利用势函如果能够找出描写该流动特征的势函数，那么就可以利用势函数的性质求出这一流动的各点速度，再利用伯努利方程求出全数的性质求出这一流动的各点速度，再利用伯努利方程求出全场的压力分布。场的压力分布。 C.流函数流函数 在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为在平面流动中，不可压缩流动的连续

6、性方程为: yvxuyvxu )(:0或者写成或者写成上式成为某一函数上式成为某一函数（x，y，t）全微分的充分全微分的充分必要条件，即必要条件，即udydxvd)(的全微分为的全微分为:流函数的特性流函数的特性1.1.沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数2.平面流动中通过两条流线间平面流动中通过两条流线间(单位厚度单位厚度)的流量等的流量等于两条流线上的函数值的差值于两条流线上的函数值的差值3. .在有势流动中流函数是一调和函数在有势流动中流函数是一调和函数特性特性1 1流函数等值线流函数等值线: :vdyudxudyvdxtyxudyvdxdyydxxd0:,),(可得常数令此

7、为流线方程的平面形式此为流线方程的平面形式, ,这说明流函数的等值这说明流函数的等值线就是第三章中所述的流线线就是第三章中所述的流线udydxv)(12 设设1、 2是两条相邻流线，作其间一曲线是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通，求通过过AB两点间单位厚度的流量两点间单位厚度的流量? 特性特性2ddxxdyyvdxudydQ且沿且沿AB线积分线积分: :等于两点流函数之差两点任意连线的流量此式表明流过BAddQQABBABA,AB udy -vdx dQ x y流动流动流动流动2 1112 0）：流体从一点均匀地流向各方向）：流体从一点均匀地流向各方向 点汇（点汇（Q 0）：流体从各方向均

8、匀地流入一点）：流体从各方向均匀地流入一点当源汇位于原点当源汇位于原点O，势函数和流函数为，势函数和流函数为:速度分布式为速度分布式为:以点源为例以点源为例, ,由于各同由于各同心圆流量相等心圆流量相等: :02vrQvr势函数为势函数为(极坐标极坐标):rQrvr2rQln2流函数为流函数为(极坐标极坐标):rQrvr212Q把笛卡尔坐标表达式化成极坐标把笛卡尔坐标表达式化成极坐标: :(x,y) )(,(122xyarctgyx (u,v) (dr/dt, d/dt) tyyftxxfxydtd )(tan1例例3 点涡点涡物理背景物理背景 与平面垂直的直涡线（旋涡强度为与平面垂直的直涡线

9、（旋涡强度为）诱导的流场）诱导的流场当点涡位于原点当点涡位于原点O，势函数和流函数为，势函数和流函数为:常数rvdrv2可得速度分布式为可得速度分布式为:rv2rvrvrr2102势函数势函数rvvrrr201rln2流函数流函数自由涡自由涡(无旋流动无旋流动)受迫涡受迫涡(有旋流动有旋流动)例例4 偶极子偶极子物理背景物理背景 一个一个源和一个汇源和一个汇, 点源放在点源放在(- , 0)处处, 点汇放在点汇放在(0,0)处处. rMsin2:流函数是rQXPrQsin2-0sin-)(2-:1111，即有：时，当轴的夹角与源和汇的连线和正分别是流场点和流函数是rMcos2-:势函数是势流概

10、念是极重要势流概念是极重要,由于满足无旋和不可压缩条件由于满足无旋和不可压缩条件,就可引入就可引入流函数和势函数流函数和势函数,这大大方便了计算这大大方便了计算,形成了应用广泛的势流形成了应用广泛的势流体系体系由于拉普拉斯方程应用如此广泛由于拉普拉斯方程应用如此广泛, 对它的求解方法已经非常对它的求解方法已经非常成熟成熟,伯努利方程的求解也比微分方程简单伯努利方程的求解也比微分方程简单求解步骤求解步骤:先分网格先分网格,求势函数求势函数分布分布:(1)基本函数的迭加基本函数的迭加;(2)数值分析数值分析;(3)保角变换保角变换(复变函数复变函数);(4)电学等价法电学等价法zwyvxu再由伯努

11、利方再由伯努利方程求得压力分程求得压力分布布.321xxxxvx.321yyyyvy.321.321不可压缩平面无旋流动的叠加不可压缩平面无旋流动的叠加.321vvvv 几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新无旋流动的速度势函数和流函数。无旋流动的速度势函数和流函数。 新无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。新无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。 yx平行流绕圆柱体的无环量绕流平行流绕圆柱体的无环量绕流sin)2-(cos)2(22rrMvrrMv平行流绕圆柱体的无环量绕流平行流绕圆柱体的无环量绕流圆柱体的总压力圆柱体的总压力x方向的分力

12、（阻力）方向的分力（阻力）y方向的分力（升力）理想流体无环量绕流圆柱体，圆柱体不受阻力，也不产理想流体无环量绕流圆柱体，圆柱体不受阻力，也不产生升力生升力0cos)sin41 (2122200dvprFFxD0sin)sin41 (2122200dvprFFyL平行流绕圆柱体的有环量绕流平行流绕圆柱体的有环量绕流 由平行流绕圆柱体的无环量绕流和纯环流（点涡诱导由平行流绕圆柱体的无环量绕流和纯环流（点涡诱导产生）叠加而成。产生）叠加而成。yxBAOyxO AOByxrrrrvrrrvln2cos)12cos)1220220（平行流绕圆柱体的有环量绕流平行流绕圆柱体的有环量绕流圆柱体的总压力圆柱体的总压力x方向的分力（阻力）方向的分力（阻力）y方向的分力（升力）方向的分力（升力）理想流体有环量绕流圆柱体，圆柱体不受阻力，但产生理想流体有环量绕流圆柱体，圆柱体不受阻力，但产生升力。升力