一元一次方程应用题专题等积变形问题【东湖中学】

1、 愿大家乘风破浪，愿大家乘风破浪， 在数学的海洋里在数学的海洋里 自由翱翔自由翱翔驶向胜利的彼岸等积变形问题等积变形问题名称 图形 正方形三角形 梯形 圆平行四边形用字母表示公式周长（C）面积（S）aahabhrbccdahS21hbaS)(212rSrC2dcbaCcbaCaC42aS 你会填下表中各图形的周长和面积公式吗？你会填下表中各图形的周长和面积公式吗？ahb)( 2baCahS 名称 图形 正方体长方体圆柱体圆锥体用字母表示公式体积（V）a3aV 你会填下表中各图形的体积公式吗？你会填下表中各图形的体积公式吗？abcrhrhabcV hrV2hrV231 一块长、宽、高分别为一块长

2、、宽、高分别为4厘米、厘米、3厘米、厘米、2厘厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米，厘米，=3.14）分析分析：变形过程中体积保持不变，变形过程中体积保持不变，即即 长方形的体积长方形的体积 = 圆柱的体积圆柱的体积例例 如图，用直径为如图，用直径为200200毫米的圆钢，锻造一个毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为长、宽、高分别为300300毫米、毫米、300300毫米和毫米和8080毫毫米的长方体毛坯底板，米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱应截取圆钢多

3、少（圆柱的体积公式：体积的体积公式：体积 = = 底面积底面积 高线长高线长. .计算计算时时 取取3.14.3.14.要求结果误要求结果误差不超过差不超过1 1毫米）？毫米）？200 x 80300300精讲 例题 80300300精讲 例题200 x分 析 思考思考1 1：题目中有哪些已知题目中有哪些已知量和未知量？它们之间有什么关量和未知量？它们之间有什么关系？如何设未知数？系？如何设未知数？ 已知：已知：圆钢直径（圆钢直径（200mm200mm）、）、长方体毛胚的长宽高（长方体毛胚的长宽高（300mm300mm、300mm300mm、80mm80mm） 未知：未知：圆钢的高圆钢的高 相

4、等关系：相等关系：圆钢体积圆钢体积= =长方体毛胚的体积长方体毛胚的体积 设未知数：设未知数：设应截取圆钢设应截取圆钢x毫米。毫米。一、分析题意，找出一、分析题意，找出等量关系，分析题中等量关系，分析题中数量及其关系，用字数量及其关系，用字母（例如母（例如x）, ,表示问表示问题里的未知数；题里的未知数； 80300300精讲 例题200 x分 析 思考思考2 2：如何用字母（未知如何用字母（未知数数x x）表示圆钢的体积？）表示圆钢的体积？圆钢的体积圆钢的体积= = （200/2)200/2)2 2 x 立方毫米立方毫米. .二、二、用含未知数用含未知数x的的一次式表示有关的量；一次式表示有

5、关的量； 80300300精讲 例题200 x分 析 思考思考3 3：如何根据等量关系如何根据等量关系“圆钢体积圆钢体积= =长方体毛胚的体积长方体毛胚的体积”列出方程？列出方程？ 根据等量关系列出方程，根据等量关系列出方程，得：得： （200/2)2 x = 30030080三、三、根据等量关系列根据等量关系列出方程；出方程； 80300300精讲 例题200 x分 析 思考思考4 4：如何解这个方程？如何解这个方程？ （200/2)2 x = 30030080化简的化简的3.14x=720，故，故x230。四、解方程，求出未四、解方程，求出未知数的值；知数的值； 80300300精讲 例题

6、200 x分 析五、检验求得的值五、检验求得的值是否正确和符合实是否正确和符合实际情形，并写出答际情形，并写出答案案. . 答：略。答：略。1.1.将一个底面直径为将一个底面直径为1010厘米，高为厘米，高为3636厘米的厘米的“瘦瘦长长”形圆柱锻压成底面直径是形圆柱锻压成底面直径是2020厘米的厘米的“矮胖矮胖”形圆柱，高变成了多少？形圆柱，高变成了多少？锻压锻压等量关系：变形前的体积等量关系：变形前的体积= =变形后的体积变形后的体积练 习2.2.已知一圆柱形容器底面半径为已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,0.5m,高线长为高线长为1.5m,1.5m,里面盛里面盛有有1m1m深的水，将底

7、面半径为深的水，将底面半径为0.3m0.3m，高线长为，高线长为0.5m0.5m的圆柱形铁的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少块沉入水中，问容器内水面将升高多少? ? 1. 5m5dm0. 5m3dm练 习分析：分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系：根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积水位上升部分的体积= =小圆柱形铁块的体积小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是圆柱形体积公式是_,_, 水升高后的体积水升高后的体积 小铁块的体积小铁块的体积 （_） （_)_) 解：设水面将升高解：设水面将升高x米米, , 根据题意得根据题意得 方程为：方程为：_ 解这个方

8、程：解这个方程：_ 答：答：_ r2h0.52 x0.32 0.5 0.52 x = 0.32 0.5 x =0.18容器内水面将升高容器内水面将升高0.18m0.18m。小结：小结：说说列方程解应用题的一半步骤：说说列方程解应用题的一半步骤：列一元一次方程解应用题的一般步骤：列一元一次方程解应用题的一般步骤：1 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如关系，用字母（例如x）, ,表示问题里的未知数表示问题里的未知数. .2 2、用字母的一次式表示有关的量、用字母的一次式表示有关的量. .3 3、根据等量关系列出方程、根据等量关系

9、列出方程. .4 4、解方程，求出未知数的值、解方程，求出未知数的值. .5 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案出答案. .用一根直径用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直只直径径12厘米的铅球，问应截取多长的铅厘米的铅球，问应截取多长的铅 柱？柱？（ 球的体积球的体积= ）34R3分析分析：变形过程中体积保持不变，变形过程中体积保持不变，即即圆柱形铅柱圆柱形铅柱的体积的体积 = 10只铅球只铅球的体积的体积解：设应截取解：设应截取X 厘米长的铅柱。厘米长的铅柱。根据题意，列方程得根据题意，列方程得解得解得经

10、检验，符合题意。经检验，符合题意。答：应截取答：应截取8080厘米长的铅柱。厘米长的铅柱。80 x x ）（212210 34）（2123在一个底面直径在一个底面直径5厘米、高厘米、高18厘米的圆柱厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径底面直径6厘米、高厘米、高10厘米的圆柱形玻璃厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？内水面离杯口的距离？圆柱形瓶内装满水，则水的体积为圆柱形瓶内装满水，则水的体积为: (立方厘米立方

11、厘米)圆柱形玻璃杯的容积为圆柱形玻璃杯的容积为:(立方厘米立方厘米)因为：因为：答答；圆柱形玻璃杯装不下，圆柱形圆柱形玻璃杯装不下，圆柱形瓶内仍剩余部分的水瓶内仍剩余部分的水。5 .11218)25(29010)26(2解：解：90112.5所以可得到相等关系：所以可得到相等关系：圆柱形瓶内剩余水的体积圆柱形瓶内剩余水的体积 = 圆柱形瓶内圆柱形瓶内装满水的体积装满水的体积-玻璃杯里的水的体积玻璃杯里的水的体积 在变形过程中在变形过程中水的总体积水的总体积保持不变。保持不变。分析：分析：解解：设圆柱形瓶内的水面还有设圆柱形瓶内的水面还有x厘米高，厘米高，则剩余水的体积为则剩余水的体积为 。立方

12、厘米x2)25(90-112.5)25(2x根据题意，列方程得根据题意，列方程得解得解得3.6x经检验，符合题意。经检验，符合题意。答：不能完全装下，瓶内水面还有答：不能完全装下，瓶内水面还有3.63.6厘米。厘米。例1 如图,用直径为200的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯，至少应截取多少毫米的圆柱体钢（计算时取3.14，结果精确到1mm)?把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生改变 ，但锻造前后的体积是相等。圆柱体体积=长方体体积x分析20030090300 圆柱体体积圆柱体体积= =？ 长方体体积=?xhrV22220014. 390300

13、300 abcV解 设应截取圆柱形钢Xmm. 根据题意，得方程 解方程，得x258答：应截取约258mm的圆柱体钢。90300300220014. 32x 例2、一个梯形下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2,求上底。解设梯形的上底为xcm,则上底为（x+2）cm根据题意，得405221 xx解方程，得x=7答：梯形的上底为7cm。梯形的面积公式是什么 1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？动手做一做 2、用直径为4厘米的圆柱体钢，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆柱形钢？动手做一做 用底面用底面20cm 20c

14、m长方体容器长方体容器（已注满水）向一个长、宽、高分别是（已注满水）向一个长、宽、高分别是16cm ，10cm 和和5cm的的 长方体铁盒内长方体铁盒内倒水。当铁盒装满水时，长方体容器中倒水。当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降多少？水的高度下降多少？动手做一做 如图，有如图，有A、B两个圆柱形容两个圆柱形容 器，器，A容器的底面积是容器的底面积是B容器底面积的容器底面积的2倍，倍，B容器的壁高为容器的壁高为22cm.已知已知A容器容器内装有高为内装有高为10cm的水，若把这些水倒的水，若把这些水倒入入B容器，水会溢出吗？容器，水会溢出吗？AB动手做一做变形前的体积变形前的体积=变形后的体积变形后的体积:注注 意意有关圆柱、有关圆柱、 圆锥、球等体积变换问题圆锥、球等体积变换问题中中,经常给的条件是直径经常给的条件是直径,而公式中的是而公式中的是半径半径,不注意这一点就会犯错误。不注意这一点就会犯错误。 用一根长用一根长60厘米的铁丝围