人教版高数选修22定积分的概念与微积分基本定理教师版

1、定积分的概念与微积分基本定理 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限， 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式：当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为： 即=其中函数叫做 ，叫做 变量，区间为 区间，积分 ，积分 。说明：（1）定积分是一个常数 （2）用定义

2、求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程2定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间a,b上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。 3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性）说明：推广： 推广: 性质解释：性质4性质12、 微积分基本定理：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（）

3、，则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即 =而。 对于一般函数，设，是否也有 若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则证明：因为=与都是的原函数，故 -=C（） 其中C为某一常数。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有 类型一：定积分的概念：例1计算下列定积分1 2.； 3.。解：1. 2.因为，所以。3. 因为，所以。例2计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线

4、所对应的曲边梯形的面积的差得到。ABCDO解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。练习：1.若则（）A.B.C.D.1答案:B2.定积分的值为（）答案：C3若则的大小关系为（）ABCD答案：B4已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值答案：C5：已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则

5、的最小值为（）ABCD答案：C二、定积分求面积1直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.D.4答案：2直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（）AB2CD答案：C3已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_答案：一、选择题（共4小题，每小题10分，共40分）1. 下列各定积分的值等于1的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】理解定积分符号表示的几何意义，我们结合图象可以得解。2. 将和式的极限表示成定积分（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由求和式极限，我们知道求和式可以表示为，故可以知道被积函数为，积分区间为0，

6、13. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A.0，B.0，2C.1，2D.0，1【答案】B【解析】根据作图来判定积分区间。4. 如下图，阴影部分的面积为（）A. dxB. dxC dxD. dx【答案】B【解析】利用定积分的几何意义和定积分的运算性质可以得到。二、填空题（每题10分，共40分）5. 由定积分的几何意义分析，则=_【答案】【解析】理解积分表示的几何意义，由x=3,x=-3,y=0和函数围成的面积，结合图形我们知道，所求的面积是圆面积的一半。6. 将和式表示为定积分_【答案】【解析】根据和式变形我们可以得到这样我们就可以找到原来的函数7. 按万有引力定律

7、，两质点间的吸引力，为常数，为两质点的质量，r为两质点间距离，若两质点起始距离为，质点沿直线移动至离的距离为b处，试求所做的功是（ba）_【答案】【解析】运用以不变代变的思想，将区间a,b分割为n等分，然后取近似值求和，取极限可以得到解。8. 由及轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为_【答案】【解析】作出余弦函数图象，我们可以发现，在区间与上，而在区间与上，这样我们结合定积分的运算性质可以把其合并为三、解答题（共20分）9. 利用定义求定积分的值。【答案】【解析】解：因为x2在区间上连续，所以存在把区间分成n等份，每份长，各分点是：,_基础巩固一、选择题 求由曲线,直

8、线及轴所围成的图形的面积错误的为（）A BC D【答案】C 若函数,则的值为（）ABCD【答案】C 如图,已知幂函数的图像过点,则图中阴影部分的面积等于（）ABCD 【答案】C 已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（）yxO第题图ABCD【答案】解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD【答案】C【解析】,故,答案C 6函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）AB1C2D【答案】A【解析】根据积分的应用可求面积为 ,选A若,则实数的值为（）ABCD 【答案】B抛物

9、线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（）A1B8CD【答案】B (陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D是图中边长为的正方形区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为（）ABCD【答案】C若,则a的值是（）A2B3C4D6【答案】A一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是（）ABCD【答案】C解:令,则.汽车刹车的距离是,故选C直线l过抛物线C

10、: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD【答案】C 的方程是,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:. 二、填空题 _.【答案】 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为_.【答案】【解析】由,解得,即,所以所求面积为 能力提升计算_. 【答案】 若_.【答案】3 解: 计算定积分_.【答案】 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 设函数,若, 其中,则=_.【答案】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.【答案】【解析】由已知得,所以,所以.函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_.【答案】如图,圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为(图中阴影部分),随机往圆内投一个点,则点落在区域内的概率是_.【答案】已知函数的图像是折线段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_.【答案】解析 如图1, xyABC11图1(O)NxyODM1P图2所以,易知,y