转化与化归思想专题复习

1、学习必备欢迎下载转化与化归思想专题复习一知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。1转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根） ，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。2常见的转化方法（ 1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（ 2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、

2、函数转化为容易解决的基本问题；（ 3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（ 4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（ 5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（ 6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（ 7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（ 8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（ 9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （ 10）补集法：（正

3、难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集U 及补集 CU A 获得原问题的解决。3化归与转化应遵循的基本原则：（ 1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（ 2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（ 3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（ 4）直观化原则：将比较抽象的问题

4、转化为比较直观的问题来解决；（ 5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。二命题趋势数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。预测 20XX年高考对本讲的考查为：（ 1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。（ 2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。（ 3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。（ 4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。三题型解读题型 1：集合问题例 1设集合 M ( x, y)| x 2y

5、21， xR， yR| ， N ( x, y)| x 2y0， xR， yR| ，则集合 MN 中元素的个数为（）A 1B 2C 3D 4（ 2）设 A、 B、I 均为非空集合，且满足 ABI ，则下列各式中错误的是（）学习必备欢迎下载A. (CI A)BIB.(CI A)(CI B)IC. A(CI B)D. (CI A)(CI B)CI B解析：（ 1）将集合 MN 中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆x 2y 21 与抛物线 x 2y0 交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆x2y 21 和抛物线 yx2 的图象，观察可得选B；（ 2）将题设条件转化为图形语言， 即构造图 1，

6、由图形逐一验证， 得 B 项不正确，故应选 B。点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。题型 2：函数问题IBA图 2例 2关于 x 的方程 sin 2xcos xa 0 在 0， 内有解，求 a 的取值范围。解析：此题就直接解三角方程再确定a的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求a cos2 xcos x 1 (cos x1 ) 25在 x0， 的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，524很快得到了a 的取值范围是，。14点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，

7、把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。题型 3：不等式问题例 3（ 1）已知 a， b， mR ，且 ab ，求证： ama ；bmb（ 2）已知 a0， b0，且 a b1，求证： (a1)(b1)25 。ab4解析：（1）分析 1： a ， am 的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题。bbm0。因为 0a b ，则证法1：如图2，设 A（ b， a），B（ -m， -m），其中 m直线 OA的斜率： kOAtana11b直线 AB的斜率： k ABtanam21bm图 2因为B 在第三象限的角平分线上，所以AB 必与 x 轴正半轴相交，且有01，所以 ta

8、n 2ama2tan 1 ，即mb4b分析 2： a ， am 的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来bbm解题。证法 2：如图3，在 Rt ABC 和 Rt ADF ，作 CE/BD 交 DF 于 E。因为 ABC ADF ，所以（斜边大于直角边）ABa ， ACb ， BDm ，aamamambbCFbCEbm（ 2）令 f ( x)x1， x (01,) 。因为 f '( x) 11，当 x(0,1) 时，图 3xx2f '( x)0 ，所以 f ( x) 在（ 0， 1）上是减函数。学习必备欢迎下载又 0 ab( ab ) 211，所以

9、f ( ab)f (1) ，即 ab11417 。244ab44所以 (a1 )(b1)ab1( ba )17( ba)172b a17225ababab4ab4a b44即原不等式成立。点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程， 这种联想通常是事物的形式、 结构、范围、关系等因素作用的结果。由联想而引发的构造称之为联想构造。题型 4：三角问题例4若0， sincosa， sincosb ，则（）4A a bB a bC ab 1 D ab 2解析：若直接比较a 与 b 的大小比较困难，若将a 与 b 大小比较转化为a 2 与 b2 的大小比较就容易多了。因为 a 21sin 2 ，

10、 b21sin 2，又因为 0 222所以 sin 2sin 2，所以 a 2b 2又因为 a， b0，所以 ab ，故选（ A）。点评：体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。题型 5：数列问题例 5等差数列 an 的前 n 项的和为 Sn ，且 S10100 ， S10010，求 S110 。解析：显然公差d0 ，所以 Sn 是 n 的二次函数且无常数项。于是设Snan 2bn ， (a0) ，a102b10100a11则，解得100 。a1002b 10010b11110所以 Sn11 n2111n ，从而 S11011110211

11、1110110 。1001010010点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列 an 的通项公式 ana1(n1) ddn(a1 d) ，前 n 项的和公式 Snna1n(n1) dd n2(a1d )n 。当 d0 时，可以看作自变量n 的一次和二222次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型 6：立体几何问题例 6如果，三棱锥 P ABC中，已知 PABC， PA=BC=l， PA，BC的公垂线 ED=h求

12、证三棱锥P ABC的体积 V1 l 2h 。6学习必备欢迎下载分析：如视P 为顶点， ABC 为底面，则无论是SABC以及高 h 都不好求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境解析：如图，连结EB， EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面 ECD这样，截面 ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以 PE、 AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=111SECD?AE+ SECD?PE= SECD ?PA333= 1 ? 1 BC·ED·PA=

13、V1l 2h 。326点评：辅助截面 ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。题型 7：解析几何问题例 7（ 1）设 x、 y R 且 3x 2 2y 2 6x，求 x 2 y 2 的范围。分析：设 k x 2 y 2 ，再代入消去y，转化为关于 x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题。其中要注意隐含条件，即 x 的范围。解析：由 6x 3x 2 2y 2 0 得 0 x2。设 kx 2 y 2 ，则 y 2 k x 2 ，代入已知等式得：x 2 6x 2k 0 ，即 k1x 2 3x，其对称轴为 x 3。22222由 0x 2 得 k 0,4。所以 x y的范围是： 0xy4。由 3x2

14、 2y2 6x 得 (x 1)2y 2x2 y2的范 1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。32围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0, 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x 2 y 2 k，代入椭圆中消 y 得 x 2 6x 2k0。由判别式36 8k 0 得k 4, 所以 x 2 y 2 的范围是： 0x 2 y 2 4。再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：y 2x1cos由3x2 2y2 6x得 (x 1)2 1，设6，则3ysin22x 2 y 2 1 2cos cos 2 3sin 2 13 2

15、cos 1cos 2 222 1 cos 2 2cos 5 0,422所以 x 2 y 2 的范围是： 0x 2 y 2 4。点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。学习必备欢迎下载（ 2） ABC的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H， OH m（ OA OB OC ），则实数 m分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC 是以A 为直角的直角三角形，则O 为斜边BC上的中点， H 与 A 重合， OA OB OC OA OH

16、 ，于是得出m1。点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。题型 8：具体、抽象问题例 8（ 2004 浙江卷（理）第12 题）：若 f （ x）和 g（ x）都是定义在实数集R 上的函数，且方程x f g（ x） 0 有实数解，则g f （ x）不可能是（）（ A） x2 x 1（ B） x 2 x 1（ C） x2 1（ D） x2 15555分析：本题直接解不容易，不妨令f （ x） x，则 f g（ x） g（x），gf （x） g（ x），x f g（ x） 0 有实数解即 x g（ x） 0 有实数解。这样很

17、明显得出结论， B 使 x g（ x） 0 没有实数解，选 B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f （ x y） f （ x） f （ y） m，对数函数型f （ xy） f （x） f （ y），幂函数型f （ xy） f （ x）f （ y）。点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。题型 9：正难则反转化问题例 9在由数字0， 1，2，3， 4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5 整除的数共有个。分析：不能被5 整除的数要分类讨

18、论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5 整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。所有四位数有 A 15 A 35 300 个，末位为 0 时有 A 35 60 个，末位为 5 时有 A 14 A 24 48 个，满足题意的数共有 300 60 48192 个。点评：一些数学问题， 如果从条件出发， 正面考虑较难较繁， 不妨调整思考方向， 从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。题型 10：实际应用问题例 10把一块

19、钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是 P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。解析：如图，设矩形的一边长为x, 则半圆的周长为x ，矩形的另一边长为A· O1 ( P xx ) = 2P (2)x2AB224BxS，则 S= 1x2x2P (2)x =4 x2 P x设零件的面积为48242 a 0 当 xb2P时， S有最大值，这时AB=P。2a44当矩形的两邻边AB 与 BC之比为P21 2 时， Smax=。82点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。四思维总结1熟练、扎实地

20、掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。2为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部DC学习必备欢迎下载结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。3注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是