《统计学》第9章时间序列和预测

1、1第9章 时间序列分析和预测9.1 导言 对于企业来说，有关经营管理的各种问题都需要作出预测，然后才能根据预测结果对生产活动进行决策。而预测的一个重要方法就是对未来情况进行推测，其原因是企业的生产或经营状况常常随着时间推移而发生变化。 例如，材料和备用件的库存、产品的销售、工人的工资与产品的价格水平、生产过程的质量控制，乃至整个企业的变化等，都会因时间的变化而呈现出动态变化的过程。因此有必要也完全有可能对现象发展变化的历史资料进行分析，找出现象的发展趋势和变动规律并据以预测未来。 时间序列指在相以的时间间隔观测，记录一个变量或过程的值并按时间先后顺序排列的数列： X1,X2,X3,Xt,Xn

2、(t=1,2,n) 其中的下标t代表与观测时间t对应的观测值。 时间序列按时间变量的性质，可分为离散时间序列和连续时间序列。医院每天早上为病人测体温所得病人的体温记录是离散时间序列，而心电图测是连续时间序列。由于离散时间序列存在与应用的普遍性，本书主要讨论离散时间序列，并简称为时间序列。 时间序列按数据生产特点的不同，又可分为时点序列和时期序列。时点序列数据描述所研究对象在时间间隔点时的状态及变化，如人口总数序列，股票收盘价格序列是时点序列。时期序列数据描述在一定时间间隔内所研究对象的积累量及变化，和国民生产总值和某天的股票交易量是时期序列。9.2 时间序列分析 一、时间序列的分解一、时间序列

3、的分解 时间序列反映某一过程或变量随机时间的推移而呈现的变动。影响这种变动的因素很多，有自然的、经济的、社会的和文化的，所起的推动或制约作用也不同。在诸多影响因素中，有些因素对事物的发展或对过程的变化起着长期的、决定性的作用，使序列变动呈现出一定的规律性；有些则对事物或过程的发展变人起着短期的、非决定性的作用，致使序列变动呈现波动性、周期性和不规则性。 所以，时间序列的各个观测值（Xi）所反映的变化正是多种影响因素共同作用结果的综合体现。但作为基本分析，通常把时间序列在形式上的变动归纳为四种因素所引起的变动，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则波动，有时也把它们称为构成时间序列变动的趋势分量

4、、季节分量、循环分量和不规则分量并分别用T、S、C和I来表示。 长期趋势（T）代表着序列变动中的方向性趋势，受根本性因素的作用和制约。就经济系统而言，它反映基本经济力量的作用，如人口变动、人们消费习惯变化，通货膨胀或重大技术进步等对经济变量的影响。 季节变动（S）是指一年以内的，具有一定周期性且每年重复出现的变动。如服装销售、汽油消费、旅游服务等受季节的影响而形成的按季或月甚至周的规律性变化。 循环波动（C）是一种围绕长期趋势出现的具有一定起伏形态的周期波动。循环周期时间间隔在一年以上。循环周期的持续时间和振幅的大小不一定相等，无一定方式，这使它很难预测。经济系统的循环变动主要是由基本经济条件

5、、政府政策、人们消费口味或习惯的变化所引起。 不规则波动（I）是由上述三类以外的其他因素的作用而形成的变动。其诱发因素可能是许多不可预见的随机因素的综合作用或一些突发事件，如战争、罢工、自然灾害、恶劣的气候或政府立法、选举等。这种变动具有无规律性和不可预见性。二、时间序列模型二、时间序列模型 时间序列分析首先就是对这四种影响因素进行分析，量度不同因素对时间序列影响的大小和规律，进而了解一个时间序列是如何综合这些因素的变动而体现它本身的运动的。为了研究分析经济和管理问题中出现的时间序列，经济学者按时间序列中四个主要因素间关系，建立了两类时间序列模型。 加法模型是指时间序列的观测值是趋势值、季节变

6、动、循环波动和不规则波动的和。按加法模型，一定时期的时间序列观测值Y与同时期的四种分量的关系Y=T+S+C+I （9.1） 加法模型假定，四种因素变动的原因各不相关，因而对Y的影响是相互独立的，且具有与Y同样的度量单位。 乘法模型是把时间序列的观测值看作四种因素之乘积。 Y=TSCI （9.2） 其中，Y代表所观测的时间序列，除趋势分量使用与原时间序列观测值Y相同的量度单位以外，其余各分量都用相对数或百分数表示。 乘法模型又称为经典时间序列模型，它是一种描述性的模型，并满足各分量对时间序列的影响是相互独立的假设。可以很方便地将影响时间序列的四种因素分离出来，再进一步研究时间序列各影响因素对时间

7、序列的单独作用。 本章首先应用乘法模型进行对时间序列的构成分析。 图9-1为用经典乘法模型描述的某货物发货批量及时间序列分量。 时间序列分析的目的不仅在于对时间序列的变动有所了解和分析，而且还要能对未来长期发展的前景进行预测，这就是要进行时间序列的趋势分析和测定。 图图9-1 用经典模型描述的某货物发货批量及时用经典模型描述的某货物发货批量及时间序列分量间序列分量三、长期发展趋势分析三、长期发展趋势分析 （一）长期趋势的内在与外在影响因素（一）长期趋势的内在与外在影响因素 社会经济现象随着时间的推移所呈现的发展变化，是由于许多错综复杂的因素共同作用的结果，从而形成四种变动，即长期趋势、循环变动

8、、季节变动及不规划变动。 长期趋势是指客观现象在某一个相当长的时期持续发展变化的趋势。 例如：随着生产力的发展，生产量总是按一定速度增长的趋势；由于生产力水平的提高，人民生活水平随之不断提高的趋势等。 长期趋势是由客观事物内在因素所决定的。内在的必然因素对客观事物的各个时期都是起着普遍的、长期的、决定性的作用。并且使各个时期的发展水平沿着一个方向，即上升或下降持续发展，由此形成客观事物在较长时期比较稳定发展变化线索和基本规律。 长期趋势一方面由内在因素所决定，呈现稳定的发展变化线索和规律；另一方面在具体的时间条件下，它又受到外在的偶然因素的影响，表现为上下起伏波动，变化规律不明显。正是由于这种

9、暂时的外在偶然因素的影响，在短时间内难以认识与掌握客观事物发展的基本线索与规律，需要从相当长的时期内进行系统观察和分析。因为在较长时期内在的偶然因素影响会相互抵消。 研究长期趋势的主要目的首先在于测定与分析过去一段相当长的时间内客观现象持续稳定发展的趋势，从而认识和掌握现象发展变化的规律；其次，通过分析现象发展的长期趋势，为统计预测提供条件；最后，测定长期趋势可以消除原有时间数列中长期趋势的影响，更好地研究季节变动等问题。 （二）长期趋势的测定（二）长期趋势的测定 长期趋势是时间数列中最重要的动态变动因素。长期趋势测定的方法较多，最简单的是根据时间数列的图形随手确定一条直线。这种测定如果由经验

10、丰富的人进行操作，有时也能达到较好的效果，在此不加讨论。下面主要介绍最常用的移动平均法和数学修匀法。 1移动平均法 由前面的分析可知，时间数列是由长期趋势、循环变动、季节变动和不规则变动交织运动的综合结果，如要测定出长期趋势，就要将时间数列中的其他影响因素消除掉，以便使长期趋势分离出来。 移动平均法是通过逐次移动的方法分别计算一系列序时平均数得到一个新的时间数列，实现对原数列的修匀。其基本思路是：不规则变动是由偶然的随机因素所引起的。若从一个较长时期盾，则各种偶然因素所形成的偏差会相互抵消。对于季节变动与循环变动，若采用其相应的周期进行移动平均，则也可将它们剔除，使剩下的结果表现为长期趋势的影

11、响。 移动平均法有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等等。现仅介绍简单移动平均法。移动平均法根据所包含的项数又有奇数项移动平均法，如三项移动平均、五项移动平均、七项移动平均等。偶数项移动平均，如四项移动平均、八项移动平均、十二项移动平均等。 现以三项移动平均为例说明奇数项移动平均法。方法是先将时间数列中的第一项至第三项的数值加总，求它们平均数，将此平均数作为该三项的中间一项（即数列中的第二项）的长期趋势值；随后把第一项的数值去掉加上第四项的数值，求平均数，该平均数作为这三项中间一项的长期趋势值，依次类推，直至把原数列中的最后一项加入计算为止。 如果对时间数列进行偶数项移动平均法，如

12、四项移动平均，则第一个平均数置于原数列的第二项与第三项之间，依此类推，得到一个新的数列；再采用二项移动平均法，将该平均数数列中的第一、二项的数值再求一项平均值，对准原数列中的第三项，依此下去，得到一个新的移动平均数列。由此可见，采用偶数项移动平均，需要两次平均过程。 对于存在季节变动与循环变动的时间数列，为了消除季节变动与循环变动的影响，应取相应的时间长度进行移动平均。如季节变动一般取一年为时间长度，即进行12项移动平均（或4项移动平均）。 值得注意的是：通过移动平均后数列缩短了，如五项移动平均，前后各减少了两次，从而会失掉一些信息。移动平均的项数愈多，丧失的信息会愈多。因此，应根据情况适当选

13、择移动平均的项数，使移动平均后的数列能较好地反映出现现象的发展趋势。表9-1 五项移动平均、四项移动平均计算表 项数 数值 五项移动平均 四项移动平均 移动平均数二项移动平均 11521731316.015.2541616.216.2515.7551916.81616.12561618.417.7516.78572018.61918.37582118.618.519.591719.819.2520.175101920.619.7520.875112220.420.5122421.2513202数学修匀法 n数学修匀法又称曲线配合法。它是根据时间数列中数据特点，拟合一条最佳的趋势线来描述时间数列

14、也长期趋势。n然而，究竟应拟合怎样的趋势线，是直线还是曲线？是怎样形式的曲线？总之，应由时间数列的数据来决定。 n方法有二：n一是根据散点图（即将时间数列的数据在直角坐标系中描绘的图形）来判断，即根据散点的走向来确定。n二是根据数据变化的特点来判断。n一般采用下列标准：其一，如果时间数更中的数据的一级增长量即逐期增长量大体一致，宜拟合直线。其二，如果时间数列的二级增长量即逐期增长量数列的逐期增长量大体一致，宜拟合抛物线方程。其三，如果时间数列的环比发展速度大体一致，宜拟合指数曲线。 下面分别介绍拟合直线、抛物线与指数曲线的方法。（1）直线方程 方程式为：yc=a+bt 作这最佳趋势线必须满足：

15、(9.4) )(9.3) )(2最小值ccyyyyn在上述两个条件中，关键是条件（9.4）。只要（9.4）满足，则（9.3）必然满足。因此从=最小值出发，利用最小二乘法，确定直线方程中的两个特定参数a与b。n因为，将它代入（9.4）得：最小值2)(btay 要使Q为最小，根据极值原理，必须令它对a与b的偏导数为0，于是： 2)( btayQ令00bQaQ0)(20)(2tbtaybQbtayaQ将它整理得下列标准方程： 21tbtattbnay t byatntytntyb22)(11 解之得：t的平均值为的平均值为其中：t t y y 例9-1 试根据表9-2资料，拟合直线趋势方程。 bta

16、yc 直线方程： 22)(11tntytntyb将表中计算所得数据代入上式得： 83.20 11662955. 111314.6 2955. 166111506666 .3141111 .20302t byab所以，所求的直线趋势方程为：tyc2955. 183.20表9-2 1990-2000年某产品的年度销售量 年度时间t销售量yt2Ty1990121.2121.21991224.2448.41992325.7977.11993427.216108.81994525.925129.51995628.736172.21996729.349205.11997829.964239.2199893

17、2.281289.819991034.210034520001135.8121393.866314.65062030.1 对于上述经最小二乘法求得的标准方程，如果通过对t值作一定处理，从而实现t=0，那么标准方程就简化为如下形式： 显然，这给计算带来了很大的方便。 2tbtynay t的处理方法为：n当时间数列为奇数项时，取中间的t值为0，也即把它作为原点。原点以前的各项视其离原点的远近而分别取-5、-4、-3、-2、-1。原点以后的各项也视其离原点的远近分别取5、4、3、2、1。n当时间数列为偶数项时，则用位于中间两项的中点作为原点，这时，与原点相邻的前后两项分别取-1、+1，然后按照3-+

18、3，-5、+5的取法分别取值。 在上例中，数列有11项，不奇数次项数列，如用简捷法，则确定中间的1995年作为原点，得表9-3。 表9-3 年度销售量的运算 年度时间t销售量yt2Ty1990-521.225-1061991-424.216-96.81992-325.79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5将表中计算结果代入标准方程得：所求直线趋势方程为：ba1105 .

19、142118 .3142955. 16182.28 ba于是：tyc2955. 16182.28（2）抛物线方程（二次曲线） 方程式为： 与直线趋势方程的参数估计一样，从第二个基本条件出发，用最小二乘法，可得到以下标准方程： 4322322tctbtayttctbtatytctbnay 对于上述标准方程，仍按前面所讨论的对t的处理方法使t=0，则上述方程简化为：42222tctayttbtytcnay【例9.2】设有某产品的销售资料如表9-4，试拟合长期趋势方程。 年份时间t销售量tyt2t2yt41992-47-2816112561993-39-27981811994-213-2645216

20、1995-116-161161199601800001997120201201199821632464161999313499117812000412481619225601244260654708 根据销售量的数据特点，宜拟合抛物线： 将上表计算得到的数据代入简化后的材料方程式中得： 2ctbtayccabca708606546042609124所以，所求的二次曲线方程式：56. 07 . 0508.17 cba解之得：256. 07 . 0508.17ttyc（3）指数曲线方程 方程式为： 先将指数曲线化成直线形式，即将上式两边取对数，则： btaylglglgabyc 设 ，于是有： 对

21、于转换后所得的直线方程，仍用前面介绍的最小二乘法求出待定参数A、B，然后求反对数而得a、b的值。lgbB lga,A ,lgyyBtAy 【例9.3】设有某产品产量资料如下表（见表9-5），试拟合长期趋势方程。 从表中可以看出，产量的环比发展速度大体一致，故拟合指数曲线yc=ab2转化后的直线形式为yt=A+Bt根据最小二乘法 385. 0105508. 01025. 808. 0551013855525. 810175.51)(11222 tByAtntytny tB表9-5 指数曲线计算表 年度时间t 常量（万吨）y环比发展速度t2tyt1991-424.216-96.81992-325.

22、79-771993-227.24-54.41994-125.91-25.91995028.7001996129.3129.31997229.94239.21998332.2959.81999434.5161382000535.8251790314.8110142.5yylg 得直线方程为： 将直线方程还原成指数曲线形式：所以长期趋势方程为： ty08. 0385. 020. 1lg43. 2lgBantibAantiatcy20. 143. 2四、季节变动的测定与分析四、季节变动的测定与分析 一些经济变量往往由于风俗习惯、天时节气候等因素的影响呈现季节性波动。因此，研究不同变量的季节性变动的规

23、律，摸清季节变动的幅度，对于一年内的生产计划的制订或销量的预测起着十分重要的作用。此外，消除序列中季节因素的影响不仅是分析研究探讨其他影响因素的作用的基础，也是比较不同季节某些变量（如销售量）的真正变化的前提。 在时间序列分析中季节变动的概念是广义的，它不仅仅指按季度的变化，而是泛指其变动周期小于一年的周期性变动，如以月、周或其他小于一年的时间间隔为周期、可在一年内重复出现的变动。季节变动产生的原因很多，有自然界的规律性变化如气候，也有经济领域中人们的消费习惯、文化习俗、社会活动特点等。 季节变动分析的目的是分析季节变动的规律及其对所研究事物的影响和作用。测定季节变动就是要把季节变动因素从序列

24、中分离出来分析，并测定其对序列影响的方向和强度，通常称这个分离出来的季节影响为季节指数。要从一个时间序列中把季节性变动分离出来并计算其季节指数，有许多方法，这里介绍两种方法：按月（季）平均法和滑动平均趋势剔除法。 （一）平均法 按月（季）平均法是通过简单平均来计算季节指数的一种方法。它的具体作法是：（1）将原始序列中同季节数据相加后求平均数；（2）将各季或月的平均数除以该序列的总月（季）平均数，所得到的便是季节指数。其计算公式是 平均数季总月平均数季同月季节指数)(S 【例9.4】表9-6为某商品1997秋季至2000夏各季度的销售量，请用按月平均方法计算各月的季节指数。 此例所提供的时间序列

25、是分季度的数据，我们用按季平均方法计算季节指数。表9-6第三横栏第二行概括了4个年度的同季平均数和5年中的16个季节的总季平均数，再应用上画公式求得的四个季节的季节指数，列在表9-6第三栏的最后一行中。 表9-6 季节指数计算 年度一季度二季度三季度四季度合计1997 131730199846141539199978162051200081019256220011612-7728合计35366219.25210季(总)平均8.75915.5146.67 (13.125)季节指数67.0068.57118.00146.67400 按月（季）平均法应用的基本假设是原时间序列没有明显的长期趋势和循环

26、波动，因而若干年的同期数据的平均可消除不规则波动的影响，当平均的期间与循环波动周期一致时也可消除循环波动因素的作用。 但是，现实中许多数据序列存在明显的长期趋势和循环波动，它们很难通过平均法加以清除。因此，对有明显长期趋势的数据序列，应用按月或季平均法计算的季节指数不够准确，需采用其他测定季节趋势的方法，如滑动平均趋势剔除法。 （二）滑动平均趋势剔除法 滑动平均趋势剔除法又称滑动平均比率法，它假定时间序列各因素间存在乘法关系，且各年度的不规则波动彼此独立。这样以一年12个月或4季度为平滑长度的滑动平均就可以消除季节变动（S）和不规则波动（I）的影响，使滑动平均数列成为只包含长期趋势（T）和循环

27、波动（C）两方面的因素。 再将原时间序列值Y除以TC，便可获得只包含季节变动和不规则波动的新序列SI，又称为季节变动与不规则波动相对数；然后再通过平均去掉不规则波动I而将季节变动分量分离出来。 利用滑动平均趋势剔除法计算季节指数的步骤可归纳如下：（1）对原序列数据进行12月或4季度的滑动平均得出TC；（2）用TC除Y，得出 ；（3）通过平均方法从SI中消除I的影响得出S的估计值。 CTYIS 下面以例题说明应用滑动平均趋势消除法求季节指数的具体作法。 【例9.5】某种商品10年来各季度销售量将表9-7的第一列，试用滑动平均趋势消除法求季节指数。n计算季节指数第一步的过程和结果分别表示在表9-7

28、的第二、三列，第二步的计算及结果反映在第四列。表9-7 滑动平均趋势剔除法计算季节指数 年一季 （1）实际销售量Y （2）4季度滑动平均 （3）2季度中心化滑动 TC （4）=(1)/(3) 滑动平均比率 SI 1-1257-1-2288-1-3263279.75284.092.61-4311288.25298.2104.32-1291308.25318.091.52-2368327.75339.9108.32-3341352.00355.595.92-4408359.00373.6109.23-1319388.25386.282.63-2485384.25380.9127.33-332537

29、7.50375.886.53-4381374.00358.9106.24-1305343.75345.188.44-2364346.50346.8105.04-3336347.00350.495.94-4383353.75362.6105.65-1332371.50380.887.25-2435390.00398.2109.25-3410406.50411.099.85-4449415.50426.1105.46-1368436.75437.484.16-2520438.00437.4118.96-3415436.75432.296.06-4444427.75420.8105.57-13324

30、13.75412.580.57-2464411.25414.2112.07-3405417.25419.696.57-4468422.00419.0111.78-1351416.00416.884.28-2440417.50442.599.48-3411467.50468.087.88-4668468.50476.5140.29-1355484.50489.272.69-2504494.00476.4105.89-3449458.75465.496.59-4527472.00470.2112.110-1408468.50504.880.810-2490541.25556.588.110-374

31、0571.75-10-4649- 计算季节指数的最后步骤是：在滑动平均比率或相对数（上表中第4列数据）的基础上应用平均法求出季节指数，其计算过程和结果见表9-8。表9-8 季节性指数的计算年季度一季度二季度三季度四季度第1年-92.6104.3第2年91.5108.395.9109.2第3年82.6127.386.5106.2第4年88.4105.095.9105.6第5年87.2109.299.8105.4第6年84.1118.996.0105.5第7年80.5112.096.5111.7第8年84.299.487.8140.2第9年72.6105.896.5112.1第10年80.888.

32、1-平均数83.5108.294.1111.1平均数总和369.9季节指数84.2109.094.8112.0总计400.0（三）季节影响的调整 在许多管理工作的决策如制订失业社会保障计划时，需要确定真正的失业状况，即除开季节影响的失业数量分布序列及发展趋势。这就要求季节影响进行调整。测定了季节变动之后，可以将它们从原时间序列中剔除而得到的调整的时间序列。 用乘法模型，将原序列除以相应的季节指数，便得到调整后的时间序列 它反映在没有季节因素影响的情况下，时间序列的变化。 ）（ 5 . 9 ICTSISCTSY 表9-9描述了某产品1999-2001年每月的销售额及应用滑动平均趋势剔除法所求得的

33、季节指数。应用式（9.5）求得相应的除去了季节影响的销售额新序列在第六列。根据第六列不含季节影响的序列进行趋势拟合得到的趋势值见第七列，用它来作的趋势分析已经剔除了季节因素的作用。 见表9-9。 表9-9 利用滑动平均趋势剔除法对某产品用销售量的历史时间序列数据的分析 月份 yiTC中心滑动平均 SI=Y1/(TC)S Di=Y1/S=TCIT* CI 11890.493383.37389.652192.1022290.596384.23399.141237.8932490.595418.49408.630243.1342890.680425418.119284.3252600.564460.

34、99427.608241.1764310.986437.12437.097430.987660450.11.4661.467449.9446.586655.148777455.21.7071.693458.95456.075772.139915460.91.9851.990459.79465.564926.4710613467.21.3121.307469.01475.053620.8911485472.81.0261.029471.33489.542498.5912277480.20.5770.600461.67494.031296.4213244492.50.4950.493494.975

35、03.520248.2414296507.30.5830.596496.64513.009305.7515319524.80.6080.595536.13522.498310.8916370540.90.6840.680544.12531.987361.7517313551.90.5670.564554.97541.476305.3918556560.90.9910.986563.89550.965543.2519831567.11.4651.467566.46560.454822.1920960572.71.6761.693567.04569.943964.91211152578.41.99

36、21.990578.89579.4321153.0722759583.71.3001.307580.72588.921769.7223607589.31.0301.209589.89598.410615.7624371596.20.6220.600618.33607.899364.7425298607.70.4900.493604.46617.388304.3726378623.00.6070.596634.23626.877373.6227373640.80.5820.595626.89636.366378.6428443656.70.6570.680651.47645.855439.182

37、9374667.30.5610.564663.12566.344369.6130660674.70.9780.986669.37664.833655.533110041.467684.39674.322989.233211531.693681.04683.8111157.693313881.990697.49693.3001379.67349041.307691.66702.789981.55357151.029694.85712.278732.93364410.600715.00721.707433.06 * T=Y的线性回归估计值，应用去除了季节影响的数据所拟合的回归方程如下： tY489

38、. 9163.380五、循环波动的测定与分析五、循环波动的测定与分析 许多工程和物理学中的时间序列呈现有规律性的周期性变动成分，可用数学上的周期函数来描述。但是，在管理和经济活动时间序列中的循环波动是对序列持续时间大于一年的相对膨胀和收缩的交替活动的描述，是由周期地变化的幅度及变化的时间所组成的。 其循环波动从上一个循环到下一个循环的持续时间和幅度变化很大，不能用某个数学上的周期函数来表达。另外，它有时又与不规则变动混在一起，很难单独被测定。一般采用剩余法将趋势分量、季节分量和不规则分量从原时间序列中分离出来之后，就得到该时间的循环分量。 用剩余法测定循环波动的步骤如下：（1）求出季节变动指数

39、S；（2）对原时间序列进行季节调整以季消除季节因素的影响，计算公式见式（9.5）；（3）应用上一步结果，计算不含季节因素的长期趋势T，并进一步消除长期趋势的影响，得到循环一不规则趋势百分数CI，其计算公式为（4）用滑动平均法对时间序列CI进行滑动平均，消除不规则波动的影响后得到循环波动分量C，通常用百分数表示。ICTICT 运用剩余法测定循环波动的实例见表9-10。表9-10概括了某厂近4年来各季度冷饮销售量序列及趋势回归值、季节调整后的趋势值，运用三步滑动平均去掉不规则波动I，便得到循环波动相对数。 图9-2是这个序列循环波动的散点图。 表9-10 循环一不规则趋势百分数的估计 年一季tyt

40、Tt=22.61+0.59tSTS CI=Y/(YS)3-滑动平均 C I=CI1-111023.200.4610.670.941-223123.791.2229.021.071.021.051-334324.381.6840.961.051.041.011-441624.970.6415.981.001.001.002-151125.560.4611.760.940.990.952-263326.151.2231.901.030.991.042-374526.741.6844.921.001.001.002-481727.330.6417.490.970.990.983-191327.920

41、.4612.841.010.991511.2234.780.980.990.993-3114829.101.6848.890.980.990.993-4121926.690.6419.001.001.020.984-1133730.280.4613.931.081.021871.2237.660.981.011461.6852.850.960.990.974-4162132.050.6420.511.029.3 时间序列预测模型 时间序列分析的主要目的就是根据历史资料的发展与变化规律的伸延进行外推预测。但是由于时间序

42、列中存在着随机影响因素，因此仅仅把时间序列进行分解，然后根据各影响因素的趋势和周期的延伸去预测未来，是十分不够的。必须考虑各种随机因素的影响，如市场前景、购买者行为的变化和新产品的研制等。而时间序列预测模型就是基本这种思考，在时间序列修匀的基础上发展起来的。一、自回归预测模型一、自回归预测模型 企业的生产经营状态常常具有时间上的延续性，即今年的水平与去年的水平有密切关系，而去年又与前年有密切的关系。因此，我们可把反映企业生产经营状况的某一方面的时间序列数据作为因变量，而把该序列后推一期或若干期形成的一个新的时间序列作为自变量进行回归分析，然后用以预测未来，这样的预测模型就称作自回归预测模型（简

43、称MA模型）。（一）自回归预测模型的定义 一般来说，当时间序列中的长期趋势和季节因素被剔除后，剩下的部分就很明显地呈现出忽强忽弱地循环波动的规律。尤其是长期趋势表现为简单线性趋势且被从时间序列中剔除后，这种现象更为显著。 假定(Xt)是一个已经剔除了长期趋势和季节因素的时间序列。 (Xt)并不一定是完全随机，但要求有规律性的变动。这样所得的时间序列，称为平稳时间序列。严格讲，平稳随机序列是随机变量Xt (t=1,2,T)的序列。不要求相互独立，但要求有密切的自相关关系，即：（1）概率分布函数不随时间的迁移而变化。（2）平稳过程的期望值、方差、协方差是不依赖于时间的常数。),(),(2121zt

44、zztXXXPXXXP)()()()()()(ztCODtCODzttzttXXXEXVXEXE 如果时间序列满足上述规定，那么可定义自回归预测模型为： 其中： 当tS时， 当z 0时，tptpttiUXbXbXbbX221100)UE(U ,VU , 0st2ttEU0)(zttXUE（二）自回归预测模型的相关分析 自回归模型实际上是把原时间序列作因变量，把原序推前一期或几期形成的时间序列作为自变量建立起来的模型。但是作为自变量的时间序列必同原序列具有较为密切的相关关系，如果与原时间序列没有相关关系或者相关关系不密切，那么由此建立起来的模型就没有多大意义。因此在配合模型之前，还须对原序列同各

45、阶滞后序列作自相关系分析，以便确定自回归的阶数。 如果X1，X2，Xt是某一时间序列中n个连续时期的数值，那么被k个时期所隔开的数值之间的自相关系数被定义为：)7 . 9( ), 2 , 1()()()()(11221nkXXXXXXXXrkntkntktktttkntktktttk11kr 式中，n为样本容量，k为滞后期，Xt为样本数据平均值，Xt-k为滞后k期的样本平均值，k为滞后期。 自相系数，表示时间序列滞后期的两项之间的相关程度。 【例9.6】某企业连续30年的利润总额的序列如表9-11。 表9-11 时间序列的观察值 单位：万元 t1968196919701971197219731

46、97419751976197719781979Xt706969707170696864657278t19801981198219831984198519861987198819891990Xt7575757075757478868275t19911992199319941995199619971998199920002001Xt7372737277838181858584 按照资料可编制原序列的滞后一期、二期、三期、四期的自相关序列Xt-1、 Xt-2 、 Xt-3 、 Xt-4 如表9-12： 对于公式（9.7），现设：）（, 3 , 2 11111kXXnXXLLkttkttkk), 4

47、, 3 , 1( 12222kXXnXXLLkttkttkk22)(1ktktkkXnXL)(11111ttttttXXnXXLL表9-12 自相关序列表 单位：万元 序号t(年)XtXt-1Xt-2Xt-3Xt-41197271(70)(69)(69)(70)219737071(70)(69)(69)31974697071(70)(69)4197568697071(70)5197664686970716197765646869707197872656468698197978726564689198075787265641019817575787265111982757575787212198

48、370757575781319847570757575141985757570757515198674757570751619877874757570171988867874757518198982867874751919907582867874201991737582867821199272737582862219937372737582231994727372737524199577727372732519968377727372261997818377727327199881818377722819998581818377292000858585818330200184858585812

49、22222)(11 )(1tttkttkttkktttttttXnXLttXXnXXLLXXnXXLL(9.8) )1,2,3,(k kkttktkLLLr那么自相关系数与简单相关系数一样，取值范围为：-1rk1。 |rk|越接近1，说明序列自相关程度越高。按照表9-12可计算 ：k=1时，K=2时， （万元） 43.789)22632249(3011704391tL（万元） 97.960)2249(30116956211L（万元） 37.887)2233(301167097222L（万元） 37.505)22632233(3011689482tLK=3时，K=4时，（万元） 7 .796)2

50、217(301164633233L（万元） 3 .356)22632217(3011675923tL（万元） 47.757)2217(301162972244L（万元） 07.244)22632206(3011666504tL（万元） 37.1011)2263(3011717172ttL代入公式（9.8）得：2789. 037.101147.75707.2443969. 037.10117 .7963 .3565335. 037.101137.88737.5058008. 037.101197.96043.7894321rrrr 把上述结果绘制成图9-3。 由图9-3可见，r1、r2的值均在0

51、.5以上，面r3、r4较小，可以认为原序列Xt与滞后一期序列Xt-1和滞后二期序列Xt-2有较强的关系。 因此，可由Xt与Xt-1 、 Xt-2建立二阶自回归模型： 23121tttXbXbbX（三）参数估计 预测模型的参数估计主要是利用有关的样本数据，对已确定预测模型的参数作出估计，对于自回归模型而言，就是要估计出各个自回归系数bi，(i=1,2,p)。 回归系数可由最小平方法来估计。其估计过程表述如下： 自回归方程为： ptptttXbXbXbbX22110 式中， 为常数， 为对 的回归系数，如果样本容量为n，则选取这样的 ，使残差平方和 达到最小 。obpbbb 21、ptttXXX

52、21、pbbb 10、QbbbbXntpt21tp,- tt2,- t2t1,- t10)XX -X-(根据多元微分学， 满足：pbbb 10、nttpttptptttpnttttptptttnttptptttXXbXbbXbQXXbXbbXbQXbXbbXbQ1, 1101, 1, 11011, 11000)( 0)(0)(将上述方程组化简，可得： ptppppptpptppLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL22112222212111212111ptkktktXbXb10 以例9.6提供的资料，根据自相关分析建立二阶自回归方程，该方程的回归系数的估计值按正规方程求解可得： 28.

53、003. 174.18210bbb则自回归拟合方程为：根据上述模型可计算不同t时的 值（见表9-13）。2128. 003. 174.18tttXXXtX表9-13 二阶自回归拟合值及其误差19727171.52 -5.2019737072.27 -2.2719746970.96 -1.9619756870.21 -2.2119766469.46 -5.4619776565.62 -0.6219787267.774.3219797874.703.3019807578.92 -3.9219817574.150.85tXtttXXetXt19827574.99-0.0119837074.99-4.

54、9919847569.845.1619857576.39-1.3919867474.99-9.0919877873.964.0419888678.367.6419898285.48-3.4819907579.12-4.1219917373.03-0.0319927272.93-0.9319937372.46-0.5419947273.77-1.7719957772.464.5419968377.895.1119978182.621.6219988178.932.0719998579.492.5120008582.491.5120018482.491.51-5.05 上述计算结果可用图形表示（见

55、图9-4）。 图9-4显示出极为明显的滞后一期影响。 就是说预测值同前一期的观察值基本上是一致的，这也恰恰反映了自回归预测模型的特点。（四）模型检验 1拟合优度检验 为了反映回归效果的有效性，即个滞后序列作为一个整体与原序列之间是否存在线性相关关系，还需要通过拟合优度检验。如果检验的结果是否定的，那么求得的回归模型也是无效的，不能用于预测。拟合优度R2由下式计算：按表9-13，而 22222)()(1)()(ttttttttXXXXXXXXR5025.25)05. 5()(22ttXX37.1011)(2ttttLXX 所以 当 ， 时，查相关系数临界值表得： ，所以自回归模型线性关系显著，模

56、型可以用于预测。9748. 037.10115025.25120R9873. 00R05. 027330 mn446. 0RRR 0 2偏回归系数检验 拟合优度检验仅仅反映了若干个滞后序列作为自变量整体同因变量（原序列）的相关关系，还不能说明每个自变量序列同因变量序列之间是否存在线性关系。所以还要进行回归系数检验。如果某个自变量序列经检验与原序列不存在显著的线性关关系，则要被删去，重新建立模型。 回归系数的显著性检验一般采用t检验。各回归系数的t值可由下式计算： 式中， 为估计标准误差，kkXkbCSbtkmnXXSttX2)(XS把表9-13，资料代入： 其中9719. 0330)05. 5

57、(2XS00275. 068.32212537.887)43.728(37.88797.96037.887221222112211LLLLC43.72822492233301168129 )(301212112ttttXXXXL所以 又则21.2000275. 09719. 003. 11111CSbtXb00298. 068.32212597.96021222111122LLLLC28. 505306. 028. 000298. 09719. 028. 02222CSbtXb 当 ， 时，查t相分分表得 由于 所以，Xt-1、 Xt-1分别与Xt的线性相关显著。052. 221.202/1t

58、tb052. 22t05. 027mn052. 228. 52/2ttb（五）预测 1点估计 由于 ，当 时：本例中，如果t=2001，则t=2002，所以：22110tttXbXbbX1 tT1210ttTXbXbbX)(46.818528. 08403. 174.18199021991101992万元XbXbbX2区间估计 由于 ，当 ， 时 ， ，则预测区间为：（注：X0=X1991=84），因而9719. 0XS052. 22t05. 027mn2202/)()(11tttXaTXXXXnStX（注： ）0973. 237.1011)43.7584(30119719. 0052. 2)

59、()(1122202/tttXaXXXXnSt37.1011)-(X ,43.753022632ttttttLXnXX 预测区间为：81.462.0973，即（79.3627万元，83.55738万元）。 该企业按二阶自回预测模型，在95%的概率保证下，2002年的利润总额可达79.3627万元至83.557万元之间。二、指数修匀预测模型二、指数修匀预测模型 长期趋势的修匀主要作用是剔除“随机”波动的影响。移动平均修匀只利用时间序列中一部分数据（步长n个数据），而数据平滑修匀则充分利用过去所有的历史数据。正由于指数平滑修匀有这样的特点，R. G. Brown将其发展为预测模型，即所谓多重指数平

60、滑修匀与预测模型。n设时间序列的观察值X1,X2,XT，则可据其预测T+Z期的数值。n如果时间序列发展较稳定，一般可采取一次指数平没模型预测。一次指数平滑修匀的原理我们已在本章第二节有过介绍，其预测公式为： )()1()1()1(1ttttXXXX 上式表明， 的预测值 等于 Xt 的平滑值 加上 t 时刻的预测误差（ ）的倍。如果 t 时刻的预测值过低，则 ， t1时刻的预测值增大；反之则减小。可见这种方法具有“自适应”的功能。它通过一定的修正措施自动适应即期的预测误差，以缩小下一期的预测误差，并通过来调整修正幅度。 )1(1tX)1(1tX)1(ttXX 0)()1(ttXX)1(1tXn