一阶线性偏微分方程

1、第七章一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程Xn),Xn(Xi,X2,Xn)u=0二X2-Xn1 1 基本概念1)1)一阶线性齐次偏微分方程形如；:u；u；:uX1(X1,X2,Xn)，X2(X1,X2,Xn)+Xn(X1X2Xn)=0(7);X1;X20Xn的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中X1，X2，Xn是自变量，u是X1，X2，Xn的未知函数，X1,X2，Xn是域DURn内的已知函数，并设X1,X2，Xn在域D内不同时为零。2)2)一阶拟线性偏微分方程形如:z:z丫(X1,X2，Xn；z)+Yn(X1，X2，Xn；z)=Z(X1，X?，Xn；Z)(7.2)(7.2)二X1

2、二Xn的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中丫1,丫2,，Yn;Z是n+1个变元X1，X2，Xn;z的已知函数。丫1,丫2,，Yn在其定义域DuRn*内不同时为零。所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设丫1,丫2,，Yn和Z在域D内连续可微。3)3)特征方程组常微分方程组dx1_dx2二_dXnX1一X2一一XnuXi(Xi,X2,Xn)X2(Xi,X2,%(7.3)(7.3)称为一阶线性齐次偏微分方程(7.17.1) )的特征方程组。常微分方程组dx1dx2dxndz称为一阶拟线性偏微分方程（7.27.2）的特征方程组。4 4）首次积分对一般的常微分方程组其中，

3、右端函数If2,，fn都在某个域D,uRn*内连续，设6=6（x,y1，y2,，L）在域D内连续可微，并且不是常数。如果以方程组（7.57.5）的任一解y1（x）,y2（x），yn（x）代入之后，使得函数9（x,y（x）,y2（x），yn（x）等于与x无关的常数，则称表达式9（x,y1，y?,，yn）=C C 为方程组（7.57.5）的一个首次积分，其中C是任意常数，有时也简称（x,y1,y2,，yn）为首次积分。设Si（x,yi,y2,，yn）=G（i=1,2,，k,kn）是方程组（7.57.5）k个首次积分，如果雅可比矩阵理i落现机|并2坤2电1?2诙评k:21勾2中某个k阶子阵的行列式不

4、为零，而,秩为k,则称i（x,y1,y2,t,yn）=Ci（i=1,2，k,kEn）是方程组（7.57.5）的k个独立的首次积分。2 2 基本理论与基本方法1 1）常微分方程组的首次积分解法定理 7.17.1 设已知微分方程组（7.57.5）的n个独立的首次积分k（x,y1,y2,yn）=G,（i=1,2,n）(7.4)(7.4)dy菽”J，yn)(12,n)(7.5)(7.5)；:二1yn2kk+1阶子阵的行列式都等于零，即雅可比矩阵的则它们构成方程组（7.57.5）的通积分（或隐式解），并由它们可确定含n个任意常数的函数组M=MxC,C2,，Cn）y2=电（X；Ci,C2,，Cn）yn=6

5、（X；Ci,C2.，Cn）则该函数组就是微分方程组（7.57.5）的通解。常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组（7.57.5）的n个独立的首次积分来得到它的通积分（或通解）的方法。首次积分一般可通过下列两种方法得到a）把方程组（7.57.5）中的部分或全部方程进行重新组合，引进新的变量代换，以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。b）利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数。2 2）一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系定理 7.27.2 设函数（x,必，丫2,，yn）在域D内连续可微，并且不是常数，则6（x,yi,y2,，yn）=C=C 是常微分方程组（

6、7.57.5）的首次积分的充分必要条件为在域D内成立恒等式设u=5（Xi，X2，Xn）在域GUD内连续可微，并且代入方程（7.17.1）之后，能使该式在域G内成为恒等式，则称u=中（“，乂2，Xn）是方程（7.17.1）的一个解，域G是该解的定义域。定理 7.37.3u=*=*（X Xi，X2，Xn）是一阶线性齐次偏微分方程（7.17.1）的解的充分必要条件是穴Xi,X2，Xn）=C=C 是方程（7.17.1）的特征方程组史-X理Nnfn三0。dX1dX2X1(X1,X2,Xn)X2(X1,X2,Xn)dXn(X,X2,Xn)(7.3)(7.3)的首次积分。定理 7.47.4 设啊（X1，X2

7、，Xn）=Ci（i=1,2，n1）是一阶线性齐次偏微分方程（7.7.（1 1）的特征方程组（7.37.3）的n1个独立的首次积分，S（u1,u2，un）是任意的连续可微函数，则u=6（G（X1,X2，Xn）,MX1,X2，Xn）,，加（X1，X2，Xn） ）（7.67.6）包括了方程（7.17.1）的所有解，称（7.67.6）为（7.17.1）的通解。对方程（7.17.1）可给出如下的初始条件uX-0=f（X1，Xi,Xf,，Xn）（7.77.7）I其中i为1,2，n中某一数，Xi0是给定白勺数,f为某一给定函数，求一阶线性齐次偏微分方程（7.17.1）满足初始条件（7.77.7）的解的问题称

8、为初值问题或柯西问题。定理 7.57.5 假设方程（7.17.1）中Xi（X1,X2，Xn）（i=1,2，n）在域D内连续可微，且Xi#0,则初值问题,n个b、，.、川八XXi（X1,X2,Xn）=。Ji4CXiuX=0=f（X1，Xi，XT,，Xn）XiZH存在唯一的解，其中X是任意给定的数，f（X1，Xi,Xi书，Xn）是变元的已知可微函数。一阶线性齐次偏微分方程的解法步骤 1 1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（7.17.1）的特征方程组（7.37.3）。步骤 2 2 求出常微分方程组（7.37.3）的n-1个独立的首次积分G（X1,X2，Xn）=Ci（i=1,2，n-1）。步骤 3 3

9、 写出通解u=6（6（X1,，Xn,）,队。1,，Xn）,，也（“，Xn）,其中中是各变元的任意连续可微函数。4 4）一阶拟线性偏微分方程的解法定理 7.67.6 设a（X1，X2，Xn；z）=C=Ci（i=1,2，n）是常微分方程组（7.47.4）的n个独立的首次积分，那么，若(巾1,巾2,5n)=0并能从（7.87.8）确定函数Z=Z（Xi,X2，Xn）,则（7.87.8）即为一阶拟线性偏微分方程（7.27.2）的通解，其中G（u1,u2，un）为u1,u2，un的任意连续可微函数。一阶拟线性偏微分方程的解法步骤 1 1 首先写出（7.27.2）的特征方程组（7.47.4）。步骤 2 2 求出（7.47.4）的