《反证法》参考课件1

1、2.2 2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 2.2.2 1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3.3.在实际解题时，两种方法如何运用？在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A

2、 A、B B都撒都撒谎。则谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考？思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为立的证明方法称为间接证明间接证明 注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法. . 一般地，假设原命题不成立（即在原

3、命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证这样的证明方法叫做明方法叫做反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯

4、定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形：（1 1）直接证明困难）直接证明困难; ;（2 2）需分成很多类进行讨论）需分成很多类进行讨论（3 3）结论为）结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个” -类命题；类命题； （4 4）结论为）结论为 “唯一唯一”类命题；类命题； 已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，求证：这整除，求证：

5、这个数是偶数。个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数， 则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。 注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例例2 2： 不可能成等差数列不

6、可能成等差数列5,3,2注：注：否定型命题否定型命题( (命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等) ) 常用反证法常用反证法例题例题3 3：已知已知x0,y0 x0,y0，x+y2x+y2，求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。xyyx1,1 分析：分析：所谓至少有一个所谓至少有一个, ,就是不可能没有就是不可能没有, ,要证要证“至少有一个至少有一个”只要证明它的反面只要证明它的反面“两个都两个都”不成不成立即可立即可. . 注注: :“至少至少”、“至多

7、至多” ” 型命题型命题常用反证法常用反证法 练习：练习：ABCCB证明：在中，若是直角，则一定是锐角。2.2.证明：圆的两条不是直证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。径的相交弦不能互相平分。DPOBAC证明：圆的两条不是直径的相交弦证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.DPOBAC归纳总结归纳总结三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已

8、有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否