变量分离方程

1、2.1 Separable First-Order ODE & Transform 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 Separable First-Order ODE & Transform 2.1 Separable First-Order ODE & Transform 本节要求本节要求/Requirements/1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。 2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。 变量分离方程 与变量变换 特点变量分离方程解法举例齐次方程可化为变量分离的类型可化为齐次方程的类型内容提

2、要内容提要/Main Contents/2.1 Separable First-Order ODE & Transform 1 变量分离方程变量分离方程/Variables Separated ODE/Variables Separated ODE/( ) ( ) (2.1)dyf xydx)(),(yxf分别是 x 与 y 的已知连续函数。其中 特点特点),(yxfdxdy中的 f ( x, y )可表示成)()(),(yxfyxf一般的一阶方程 yxdxdy例例kRR 2.1 Separable First-Order ODE & Transform 解法步骤解法步骤 /S

3、olving Steps/Solving Steps/如果0)(y( (1 1) ) 分离变量 dxxfydy)()(2)(2) 两边积分 dxxfydy)()(2.2)用G(y)，F(x)分别表示)()(1xfy及的某一个原函数(3)(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C2.1 Separable First-Order ODE & Transform 因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，)()(1xfdxdyy)()(yxfdxdy所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。如果存在iy直接验证得: ，使得kiyi, 2 , 1 , 0

4、)( iyy 为方程(2.1)的常数解。 分离变量方程（2.1）的解为kiyyCxFyGi, 2 , 1 ,)()(2.1 Separable First-Order ODE & Transform 解解 1 分离变量 xdxydy2 两边积分xdxydy22222cxy3 yxdxdy例例1 1 求解方程01)(yycyx22（c 为任意正常数）或者2xcy求通解2.1 Separable First-Order ODE & Transform 解解0y时(1) 分离变量xdxydycos2通解中，因而方程还有解 y = 0cxdxydycos2cxysin1（3） 求解方程

5、 xydxdycos2并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。例例2 2 cxysin1（c为任意常数） 为方程的通解。注意注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在(2) 两边积分2.1 Separable First-Order ODE & Transform 求特解 将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1则满足所给条件的特解为:1sin1xy所以，原方程的解为0sin1ycxy2.1 Separable First-Order ODE & Transform (1) (1) 齐次方程齐次方程/Homogeneous /Homogene

6、ous Equation/Equation/ (2) (2) 可化为齐次方程的方程类型可化为齐次方程的方程类型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/2 2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型/Classifications of Variable Separated Equation/Classifications of Variable Separated Equation/2.1 Separable First-Order ODE & Transform (1) (1) 齐次方程齐次

7、方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/形式形式：)(xygdxdy g (u)为 u 的连续函数一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。即 )(),(xygyxf0 0kyxfxygkkxkygkgkxf),()()(),( 或 f (x,y) 可表示成以为整体变量的函数。xy特点特点：2.1 Separable First-Order ODE & Transform 解法解法 (1) 作变量变换 uxy 即 y=ux（2）对两边关于 x 求导udxduxdxdy（3）将上式代入原方程，得)(ugudxdux整理

8、)(1uugxdxdu.(2.3) 变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:0),( ),(cxucxu或(5) 原方程的通解为: 0),(),(cxxycxxy或2.1 Separable First-Order ODE & Transform udxduxdxdyuuudxduxtanxudxdutan.(2.4)xdxudutandxxuud1sinsincxulnsinlnc( 为任意常数)例例3 3 求解方程xyxydxdytan解解令uxyxyu或,2.1 Separable First-Order ODE & Transform cxulnsinlnc(

9、 为任意常数)xeucsinxeucsin 令 cec 得: Sinu = cx （c 为非零任意数）另当 tanu = 0 时，u = 0即 u = 0 也是方程(2.4)的解故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:cxxysinxudxdutan2.1 Separable First-Order ODE & Transform (2)(2)可化为齐次方程的类型可化为齐次方程的类型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/形式：222111cybxacy

10、bxadxdy(2.5) 2 , 1,icbaiii均为常数，且21,cc不同时为零. 1.若02211baba 即2121bbaa设 kbbaa21212121,kbbkaa则原方程可化为:)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdy2.1 Separable First-Order ODE & Transform 令ybxau22dxdybadxdu22)(22ufbadxdu（变量分离方程，即可求解） 2.若02121bbaa则00222111cybxacybxa.(2.6)有唯一的解:),(令yYxX)()(22222122ybxafcybxacybxakd

11、xdyYyXx 或2.1 Separable First-Order ODE & Transform 则方程 (2.5) 化为：dXdY为齐次方程, 即可求解。)(2211XYgYbXaYbXadXdYdxdy222111)()()()(cYbXacYbXa)()(2222211111cbaYbXacbaYbXa2.1 Separable First-Order ODE & Transform (1) 解代数方程组 00222111cybxacybxa.(2.6)其解为:yx,(2) 作变换 YyXx,将方程(2.5)化为齐次方程YbXaYbXadXdY2211(3) 再作变换

12、XYU 将其化为变量分离方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法02121bbaa(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。2.1 Separable First-Order ODE & Transform 类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26)(222111cybxacybxafdxdy例例4 4 求解方程31yxyxdxdy.(2.17)解解 解方程组0301yxyx得 x = 1, y = 2 令21YyXxYXYXdXdY.(2.18)2.1 Separable First-Order ODE & Transform 再令 uXYXYu即YX

13、YXdXdY.(2.18)即(2.18)可化为:duuuuXdX2211两边积分，得:cuuX12lnln22因此ceuuX22) 12(udXduXdXdY uuudXduX11 uuuuuuudXduX1)1 (111 )21 ()21 (2122uuduu记1cec并代回原变量，得:122) 12(cuuX2.1 Separable First-Order ODE & Transform 并代回原变量，得:1222cXXYY122) 1()2)(1(2)2(cxyxy此外，容易验证:0122 uu即0222XXYY也是方程(2.18)的解。cxyxxyy26222 其中 c 为任意常数。 因此原方程(2.17)的通解为:2.1 Separable First-Order ODE & Transform 变量分离方程与变量变换 可化为齐次方程的类型齐次方程可化为变量分离的类型举例解法特点变量分离方程本节小结本节小结/Conclusion/Conclusion/通解的形式及其中任意常数的意义。注意注意/Note/Note/：2.1 Separable First-Order ODE & Transform )( 22xyfdxdyx)( 42xyxfdxdy课堂