大学物理静电场(四)

1、1关于关于 的计算的几个问题的计算的几个问题E1. 矢量积分在具体运算时必须化为矢量积分在具体运算时必须化为标量积分标量积分，再进行积分。，再进行积分。计算原则：计算原则：点电荷点电荷的电场的电场0201dd4qErr020dd4qEErr叠加原理叠加原理zzyyxxEEEEEEdddkEjEiEEzyx错误的写法：错误的写法：EEd再求再求yxEE2例例 已知带电直线段已知带电直线段L l l d d ，求，求P点的点的ExyOPdx-L/2EddxL/2xqddl2201dd4()xEdxlP点的点的EEdcosddsinddEEEEyx由对称性可知：由对称性可知：0 xE2222220)

2、(4dcosddLLyyxddxdxEEEElxyOdlEdd例例 已知带电圆环已知带电圆环 R l l ，求，求O点的点的ElldddRlq20dd4RERlEEdxEdyEd32. 认准积分变量认准积分变量在求在求 的积分式中，会出现二类不同的变量：的积分式中，会出现二类不同的变量：E源电荷所占据空间的位置变量源电荷所占据空间的位置变量源电荷激发电场中场点的位置变量源电荷激发电场中场点的位置变量例例xOPdxlxx源变量源变量 x 积分变量积分变量场变量场变量 x201dd4()xExxlEd方向一致方向一致)11(4)(4dd0020 xlxxxxEElll)(xEE是是x的函数，上式是

3、在带电线延长线上任一点的的函数，上式是在带电线延长线上任一点的E4s sPxrOrd例例带孔带孔R的无限大面轴线上任一点的无限大面轴线上任一点P的的E23220)(4d2dxrxrrE区分：区分：源变量源变量 r积分变量积分变量 场变量场变量 x表示表示P点的位置点的位置Ed方向一致方向一致)(2)(222023220 xExRxxrxrdrER即ss53. 利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式* *点电荷、线电荷、面电荷是物理学中抽象出来的理想化模型，点电荷、线电荷、面电荷是物理学中抽象出来的理想化模型， 而点、线、面是而点、线、面是几何概

4、念几何概念，点无大小、线无粗细、面无厚度。，点无大小、线无粗细、面无厚度。 在物理学中，可以把带电体看成是点、线、面电荷的集合。在物理学中，可以把带电体看成是点、线、面电荷的集合。带电线由点电荷组成带电线由点电荷组成-每个点电荷的每个点电荷的 dq = ?= ? 带电体由点电荷组成带电体由点电荷组成-每个点电荷的每个点电荷的 dq = ?= ? 带电面由线电荷组成带电面由线电荷组成-每条线的每条线的 l l = ?= ? 如：如：具体情况具体情况 具体分析具体分析（1 1）一个带电线段看成是点电荷的集合）一个带电线段看成是点电荷的集合若若 带电线是直线段带电线是直线段xOdxxdq=ldx物理

5、学上物理学上把把dq看成是点电荷看成是点电荷数学上数学上，dq不是一个点，而不是一个点，而是一小段（是一小段（dx）带电线）带电线6xyOdlEdd若若 带电线是一带电圆弧带电线是一带电圆弧物理学上物理学上把把dq看成是点电荷看成是点电荷数学上数学上，dq不是一个点，而不是一个点，而是一小段带电圆弧是一小段带电圆弧lldddRlq（2 2）一个带电面看成是点电荷的集合）一个带电面看成是点电荷的集合s sxrrdy d srrqddd物理学物理学上把上把dq看成是点电荷看成是点电荷数学上数学上，dq是一个扇形的一是一个扇形的一部分部分7（3 3）一个带电面）一个带电面( (s s ) )看成是带

6、电线看成是带电线( (l l) )的集合的集合 l l?带电平面是由带电直线组成带电平面是由带电直线组成xdxs sdl物理上：物理上：带电线带电线数学上：数学上：宽为宽为dx的细长带电矩形条的细长带电矩形条xlxllqddddddssl带电曲面是由带电直线组成带电曲面是由带电直线组成（如（如:无限长半圆柱）无限长半圆柱）s sl l物理上：物理上：带电线带电线数学上：数学上：宽为宽为ds 的细长带电弧面的细长带电弧面dddddddddqlsl RRlllssls若若 已知已知s s ，则，则 8lllldddRRsR又如又如 带电圆盘是带电圆环的集合，带电圆盘是带电圆环的集合，带电圆锥面、带

7、电圆柱带电圆锥面、带电圆柱面、带电半球面也都可看成是带电圆环的集合，但每个圆环面、带电半球面也都可看成是带电圆环的集合，但每个圆环dq不同不同s srrdR带电圆盘由带电圆环组成带电圆盘由带电圆环组成srrqd2d l ll l/若若 已知已知l l ，则，则 9lldRLxrOdxx带电圆锥面带电圆锥面srrqd2dsxrqd2dslrqd2dxROxdxH带电圆柱面带电圆柱面d2dqR xss sxrR d dlO带电半球面带电半球面ssdsin2d2dRRlrq 以上各例，以上各例，物理上都称为物理上都称为带电线圆环带电线圆环，但，但数学上由于带电面具体形状不同，所以，数学上由于带电面具

8、体形状不同，所以，dq的的表示式均不同。表示式均不同。10（4 4）一个带电体）一个带电体( (r r ),),由许多带电面由许多带电面( (s s) )组成组成 s s ?dsrdx取一小面元取一小面元 ds ，厚度，厚度 dx rxsqdddxsqdddrs几何的面没有厚度，物理的带电面有厚度几何的面没有厚度，物理的带电面有厚度 dx 如：如：带电球体带电球体4. 利用高斯定理求利用高斯定理求 时，对电荷不均匀但对称分布的电场时，对电荷不均匀但对称分布的电场Er CrrCr带电球壳的集合带电球壳的集合带电柱体带电柱体r Cr带电柱壳的集合带电柱壳的集合11如：如：一带电球体一带电球体rCr

9、利用高斯定理求利用高斯定理求r R处处P点的点的EPrrrrd如图取一高斯球面如图取一高斯球面qrE0214200202C2d4CCd4d4rrrrrrrrqrrrr 0C2E是常量12例：例：一无限长带电柱体一无限长带电柱体rCr利用高斯定理求利用高斯定理求r R处处P点的点的Ehr rrPrrdqrhE0123020C32dC2dC2rhrrhrrhrqrr023CrE （求闭合面内电荷时，把复杂的三重积分化成单重积分）（求闭合面内电荷时，把复杂的三重积分化成单重积分）138.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能 电势电势研究电场的性质研究电场的性质从电场对从电场对q0 0做

10、功的角度：做功的角度： 引入引入 u从从q0 0在电场中受力的角度：引入在电场中受力的角度：引入E一一. .静电力作功的特点静电力作功的特点做功与路径无关做功与路径无关1. 点电荷产生的电场点电荷产生的电场babrrarqEqF0q0O 求在求在q的场中，试验的场中，试验电荷电荷q0 0从从ab 电场力对电场力对q0 0做的功做的功 A=?所以：用积分法运算所以：用积分法运算ab 在在 上，上， 逐点变化，所以逐点变化，所以q0 0受的力受的力 也逐点变化，即所求也逐点变化，即所求功为变力做功功为变力做功EF14在位移元在位移元 上，电场力做的元功上，电场力做的元功ldAdlEqlFAddd0

11、rrqqrEqlEqd4dcosd20000babrrarldqEqF0q0Odrrrdq0 0从从ab 电场力做的总功为：电场力做的总功为：)11(4d4d00200barrrrqqrrqqAAba结果：结果：电场力对电场力对q0 0做的功与路径无关做的功与路径无关q0 0的起点、终点位置有关的起点、终点位置有关q0 0的大小有关的大小有关只与只与152. 任意点电荷系的电场任意点电荷系的电场nq1nqiq2q1qabq0 0从从ab 电场对电场对q0 0做的功做的功bLabLaablEqlFA)(0)(ddbLanlEEEq)(210d)(banbabalEqlEqlEqddd02010n

12、ibaiiirrqq100)11(4 以上每一项都与中间路径无以上每一项都与中间路径无关，所以：在任何关，所以：在任何静静电场中，电电场中，电场对场对q0 0做的功只与做的功只与2 2个因素有关：个因素有关：起点、终点位置起点、终点位置q0 0的大小的大小 在力学中学过，力的功只和被移动物体的起点和终点位置在力学中学过，力的功只和被移动物体的起点和终点位置有关，与中间路径无关，此力称为有关，与中间路径无关，此力称为保守力保守力。如：重力、万有引如：重力、万有引力、弹性力力、弹性力 静电场力是保守力，静电场是保守场。静电场力是保守力，静电场是保守场。163.在任意在任意静静电场中，电场中， q0

13、 0绕闭合路径一周，电场力绕闭合路径一周，电场力做做功等于多少？功等于多少？L1L2abLLlEqlFAdd0aLbbLalEqlEq)(0)(021dd0dd)(0)(021bLabLalEqlEq0d0d0LLlElEq即环路定理：环路定理：在在静电场静电场中，中， 沿任一闭合路径的线积分恒为零。沿任一闭合路径的线积分恒为零。E 从物理上看：在从物理上看：在静电场静电场中，电荷沿任一闭合路径走一中，电荷沿任一闭合路径走一圈，电场力做功恒为零。圈，电场力做功恒为零。 即，即，静电场力做功和路径无关静电场力做功和路径无关； 或，或，静电场是保守场静电场是保守场沿闭合路径的线积分，称为沿闭合路径

14、的线积分，称为 的环流的环流EE可以引入势能可以引入势能17二二. 电势能电势能任何力做功可以引起能量的变化。任何力做功可以引起能量的变化。外力做功可以引起某种能量的增加外力做功可以引起某种能量的增加内力做功可以引起某种能量的减少（或转换）内力做功可以引起某种能量的减少（或转换）对一个系统：对一个系统：对一个保守系统：对一个保守系统： 保守内力做功引起系统自身能量减少（或转换）。保守内力做功引起系统自身能量减少（或转换）。 保守内力保守内力做功的大小做功的大小仅与始、终点有关，仅与始、终点有关， 相应变化的能量相应变化的能量也仅与始、终点位置有关。也仅与始、终点位置有关。仅与相对位置有关的能量

15、称为仅与相对位置有关的能量称为势能势能在保守力场中，引入势能：在保守力场中，引入势能：保守内力的功等与势能的减少，保守内力的功等与势能的减少， 或等于势能增量的负值：或等于势能增量的负值：PEA18在在静电场静电场中，中，q0 0从从ab ，电场力做功：，电场力做功：babLabLaabWWlEqlFA)(0)(dd电场力做功只能确定电场力做功只能确定a , b二点电势能之差二点电势能之差 若选若选b点为参考点，并规定点为参考点，并规定Wb=0 ，则，则q0 0在场中任一点在场中任一点a的的Wa 就有了确切的数值。就有了确切的数值。q0 0Qaq0 0在在Q的电场中的电场中a点的电势能点的电势

16、能Wa ，等于把，等于把q0 0从从a参考点参考点移动，电场力做的功：移动，电场力做的功：参aalEqWd0问：问：能否用能否用Wa来反映电场的性质？来反映电场的性质？不行！不行！19 Wa 属于系统所有，不能用来描述场的性质。属于系统所有，不能用来描述场的性质。当参考点选定后，当参考点选定后， Wa和和2 2个因素有关：个因素有关：(1)(1)场中场中a点的位置点的位置(2)(2)引入引入q0 0的大小的大小 为了能用场点的位置，从能量的角度反映电场本身的性为了能用场点的位置，从能量的角度反映电场本身的性质，应把第质，应把第2 2个因素去掉，统一取个因素去掉，统一取单位正电荷具有的电势能单位

17、正电荷具有的电势能：参aalEqWd0此量仅与场点位置有关，记为此量仅与场点位置有关，记为 u a 称为称为电势电势三三. 电势电势 单位正电荷单位正电荷具有的电势能仅与场中点具有的电势能仅与场中点a位置有关，与位置有关，与q0 0无关，无关，可反映电场中各点的性质。可反映电场中各点的性质。u a 是场中位置的单值函数是场中位置的单值函数201. 电势的定义电势的定义0qWuPPP P点的电势等于单位正电荷在点的电势等于单位正电荷在P P点具有的电势能。点具有的电势能。参PPlEudP P点的电势等于把单位正电荷从点的电势等于把单位正电荷从P P点点参考点参考点移动，电场力做的功。移动，电场力

18、做的功。或：或： P P点的电势即点的电势即 从从P P点点参考点参考点的线积分的线积分E2. 参考点参考点的的选取是任意的，为方便可设：选取是任意的，为方便可设：对对有限有限大小的带电体的电场：大小的带电体的电场：一般选无穷远处为参考点，一般选无穷远处为参考点， 令令0u对对无限无限大小的带电体的电场：大小的带电体的电场：任选一点为参考点任选一点为参考点 实际工作中：实际工作中：一般选大地为参考点，一般选大地为参考点，0地u（因为大地是个导体、等势（因为大地是个导体、等势体，微量电荷变化不会引起体，微量电荷变化不会引起地球电势的变化）地球电势的变化）213. 电势是标量，其正、负由积分式定电势是标量，其正、负由积分式定参PPlEud正、负由正、负由参考点参考点的选取的选取P P点点的位置的位置的分布的分布E定定如：如：- -q的电场中的电势一定是负吗？的电场中的电势一定是负吗？不是！不是！- -qP1P2Or若取若取O点为参考点点为参考点0d11OP