2022年高考数学热身题及答案

1、2022年高考数学考前热身题1.如图，三棱柱4BC-4B1C1中，AAi=AB=3,BC=2,E,尸分别是B1C1和CC的中点，点尸在棱上，且8iF=2.(1)证明：4P平面E尸C；(2)若A4i_L底面ABC,ABLBC,求二面角尸-CF-E的余弦值.PD1分析(1)连结PBi,交CE于点D连结DF,EP,CBi,利用中位线定理可得到二7r=DBX2AC结合+=：?可证明尸OAiP,由线面平行的判定定理证明即可；FB12(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：连结PB1,交CE于点D,连结

2、OF,EP,CB,1i因为E,尸分别为86,CC1的中点，(.EP/-CBB.EP=|CBi,2"所以FD/AiP,又F£>u平面EFC,AiPC平面EFC,故AiP平面EFC；(2)解：由题意可知，AB,BC,BB两两垂直，以8为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,2,0),8式0,0,3),F(2,0,3),E(0,1,3),P(0,2,1)所以d=(2,-1,0),EC=(0,1,-3),PF=(2,-2,|),PC=(0,0,-|),设平面EFC的法向量为7=(x,y,z),>T即Wn-EC=0J令z=l,则y=3,x=|>故n=(3，

3、3,1),设平面PFC的法向量为蔡=(q,b,c),则有+今=°,即卜一2%+升=。，Vm-PC=01-2c=0令x=l,则y=l,z=0,故蔡=(1,1,0),所以IcosOn, n> =1+39>/2J(1)2+9+1x/I+114由图可知，二面角尸-CF-E为锐二面角,96故二面角的余弦值为不.【点评】本题考查了线面平行的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.2 .如图，在棱长为1的正方体ABC。-481C1O1中，E为线段4出1的中点，F为线段A8的中点.(1

4、)求直线FC到平面AEC的距离；(2)求平面AEC与平面EFCC所成锐二面角的余弦值.【分析】（1）以。1为原点，DiAi,DiCi,CiC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，求出EG=（-1,O）,FC=（-1,0）,推出尸CECi,得到尸C平面AECi,点F到平面HE。的距离即为直线尸C到平面AECj的距离，求出平面AEG的法向量=（0,0）,然后利用空间向量的数量积求解点F到平面的距离.（2）求出平面EFCC的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEC与平面EFCCi所成锐二面角的余弦值即可.【解答】解：（1）以£>1为原点，OlAi,DiCi,所

5、在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，11则A（1,0,1）,C（0,1,1）,Ci（0,1,0）,E（l,I，0）,F（l,I，1）.TT1T1：.AE=（0,I，-1）,EG=（-1,W，0）,FC=（-1,全0）,T1TAF=（0,尹0）,EF=（0,0,1）.,:FC=EC1=（-1,I，0）.FC/EC,；.FC/平面AEC,点F到平面AEC的距离即为直线FC到平面AEG的距离，Tt设平面AEC的法向量为盛=（x,y,z）,则?4日=°,n,ECi=0取z=l,则x=l,y=2,.*.n=(1/2,1),又AF=(0,i,0),点尸到平面AEC1的距离为

6、"当=K°'?2"1升=渔|n|v66(2)设平面EFCCi的法向量为m=(%-y-zQ,则|丁丝一。,(mEC=0.广°，.产=；,1一.+2丫1=0助=2%1取xi=l,则yi=2,：.m=(1,2,0),cos(m,n)=平面AEC与平面EFCCi所成锐二面角的余弦值回.6【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力.3 .如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8co是正方形，AB=2,PO_L平面ABC。，PB与底面ABC。所成的角为45°,过AO的平

7、面分别与PB,PC交于点E,F.(1)求证：EF1DC；一-22PE(II)若二面角P-A。-E所成角的余弦值为工，求号的值.3|EB|【分析】(I)推导出AOBC,A£)平面P8C,从而4OEF,推导出4OJ_QC,由此能证明EFLDC.(II)以点。为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出震.山即【解答】解：(I)证明：底面ABCQ是正方形，.AOaBC,平面P8C,AOC平面尸8C,；.AD平面尸BC,：A£>u平面ADFE,平面ADFECX平面PBC=EF,J.AD/EF,:底面ABC。是正方形，：.AD±DC,：.EFLDC.(II)以点。为坐标原点，DA.DC、OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，平面AO尸的法向量蓝=(0,1,0),A(2,0,0),D(0,0,0),P(0,0,2V2),B(2,2,0),令品=4而，：.E(2A,2X,-2V2A+2V2),AE=-2,2九-2V2A+2V2),DE=(21,24,-2仞+2夜)，设平面AOE的法向量为薪=(x,y,z),则(6m=0即(2义-2)x+2Xy+(-2V2A+2a)z=0-m=0l2Ax+2Ay+(2V2A+2V2)z=0取2=入，得益=(0,V2A-V2,入)，27