控制系统的数学模型

1、 第二章 控制系统的数学模型 2.1 2.1 引引 言言 2.2 2.2 线性系统的数学模型线性系统的数学模型 2.3 2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 2.4 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 2.5 2.5 信号流图与梅森公式信号流图与梅森公式1.1.数学模型：数学模型： 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。系的数学表达式。2.1 2.1 引言引言2.建模方法：建模方法： 3.3.常用数学模型常用数学模型 微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图）传递函数（或结构图） 频率特性频率特

2、性 状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程（现代控制理论课程 ） 解析法（理论推倒法）解析法（理论推倒法） 实验法（实验辨识法）实验法（实验辨识法） 4.4.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性 1 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量； 2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根）从输入端开始，按照

3、信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程； 3 3）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程；输出变量的微分方程； 4 4）将系统方程变换成标准形式。）将系统方程变换成标准形式。v微分方程的列写步骤：微分方程的列写步骤： 2.2.1 电路系统电路系统例例2.1列写列写R-L-C电路的微分方程。（电路的微分方程。（忽略输出端负载效应）忽略输出端负载效应）RLCi(t)ur(t)uc(t)dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudt

4、tduRCdttudLCccc 解解:消去中间变量消去中间变量i(t)i(t)，系统的微分方程为，系统的微分方程为)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc ，)()()()(22221tutudttduTdttudTTrccc线性定常二阶微分方程线性定常二阶微分方程RLT 1RCT 2令令，方程整理成标准形式，方程整理成标准形式例例2.3弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统，求质量求质量mm在外力在外力F F作用下位作用下位移移y(t)y(t)的运动方程。的运动方程。 y(t)Fk fmdtdy(t)f(t)Ff)()(tkytFk22)(dttydmFmFf为

5、阻尼器的阻尼力为阻尼器的阻尼力, Fk为弹簧的弹性力，为弹簧的弹性力，Fm为为质量质量的的质量力，可表示为质量力，可表示为)()()()(22tFtkydttdyfdttydm 代入式（代入式（2-1）整理得整理得线性定常二阶微分方程线性定常二阶微分方程解解: 输入量输入量 ，输出量为位移，输出量为位移 y(t) ，由牛顿定律得力平衡，由牛顿定律得力平衡方式方式)(tF)()()()(tFtFtFtFkfm（2-1）2.2.2 机械系统机械系统 基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律。定律和力矩平衡定律。2.2.3 其

6、他系统其他系统v机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理建立数学模型。建立数学模型。解：解： 为输入量，电机转速为输入量，电机转速 为输出为输出)(tu)(t电磁力矩电磁力矩 -安培定律安培定律电枢反电势电枢反电势 -楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路： -基尔霍夫基尔霍夫力矩平衡：力矩平衡： -牛顿定律（空载）牛顿定律（空载）ERitu)(eCE dtdJMiCMm消去中间变量消去中间变量 i, M , E ，得：，得：uCCCdtdJRdtdJLmme22反电势系数反电势系数eC电动机转矩系数电动机转矩系数mC转动惯量转动惯量例例

7、2.42.4电枢控制电枢控制直流电动机系统，求数学模型。直流电动机系统，求数学模型。RLiSMKudtdT2若电感若电感L很小，可以忽略，简化为一阶微分方程，很小，可以忽略，简化为一阶微分方程，Ku若电阻若电阻R和惯量和惯量J都很小，又简化为都很小，又简化为 转速转速 和电枢电压和电枢电压 成正比。电动机作为测速发电机使用成正比。电动机作为测速发电机使用uuCCCdtdJRdtdJLmme22线性二阶线性二阶微分方程微分方程KudtdTdtdTT22221RLT1电磁时间常电磁时间常数数meCCJRT 2机电时间常数机电时间常数eCK1静态增益静态增益,令令得得操纵手柄操纵手柄W1rc负载负载

8、W2urucu放大器放大器电机电机减速器减速器测速电机测速电机uutuam+_+_rrccmSMTGJ L fLW1W2EuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器位置随动系统原理图位置随动系统原理图位置随动系统结构图绘制位置随动系统结构图绘制3)()()(tututucr)()()(maxtktEturrr1)()()(maxtktEtuccc2)dttdktumtt)()( 4)()()(tututut 5)()(tuktuaa 6)()()(22tukdttddttdTammmm 7)(1)(titmc 8)操纵手柄操纵手柄W1rc负载负载W2urucu放大器放大器电机电机减速器减速器

9、测速电机测速电机uutuam电动机输电动机输出转角出转角说明说明nm输出信号、输入信号的最高求导次数输出信号、输入信号的最高求导次数)()()()(01111tcadttdcadttcdadttcdannnnnn)()()()(01111trbdttdrbdttrdbdttrdbmmmmmm线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式)(tr)(tc系统输入量系统输入量系统输出量系统输出量系统系统)(tc)(triajb若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统

10、0abKmm011abKmm011abK000abK，nnnaaT01011nnnaaT011aaT ， ， 其中其中)()()()(01111tcadttdcadttcdadttcdannnnnn)()()()(01111trbdttdrbdttrdbdttrdbmmmmmm0a除上式两边，得标准形式为除上式两边，得标准形式为 )()()()(11111tcdttdcTdttcdTdttcdTnnnnnnnn)()()()(01111trKdttdrKdttrdKdttrdKmmmmmmT1、T2、，Tn 为时间常数，反映惯性的大小为时间常数，反映惯性的大小K0 为传递系数（或静态放大系数）

11、为传递系数（或静态放大系数）2.3 2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数2.3.1传递函数的定义传递函数的定义系统系统)(tc)(tr零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换与输入零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量量拉氏变拉氏变换的比换的比。)()()()()(sRsCtrLtcLsG传递函数的标准形式传递函数的标准形式)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn 微分方程一般形式微分方程一般形式： )(.)(.01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 拉氏变换拉氏变换： niimjjpszsKsG1

12、1*)()()( 首首1 1标准型：标准型： 211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv 尾尾1 1标准型：标准型： 传递函数：传递函数：)(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm 定义：定义：(1) (1) 输入输入 u u r r (t)(t)(2) (2) 初始条件初始条件(3) (3) 系统的结构参数系统的结构参数 一般规定一般规定 r(t) = r(t) = 1(t)1(t) 规定规定0 0 初始条件初始条件 自身特性决定系统性能自身特性决定系统性能影响系统响应的因素影响

13、系统响应的因素传递函数的性质传递函数的性质1) G(s)是复变量是复变量s的有理真分式函数，且的有理真分式函数，且nm；2) G(s)只与系统自身的结构参数有关只与系统自身的结构参数有关,与与 输入信号无关；输入信号无关； 3) G(s)与系统微分方程直接关联，与系统微分方程直接关联， 置换即可；置换即可；4) G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s) = L g(t) ；dtds 5) G(s) 与与 s s 平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。( (后面介绍后面介绍) ) 设输入信号是单位脉冲函数，即设输入信号是单位脉冲函数，即 的定义：

14、的定义： )()(ttr)(t)(t0, 00,tt 1dtt 1)(tLsR输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即 sGsRsGsC)()()(且且拉氏反变换拉氏反变换)()()()(11tgtCsGLsCL说明说明11)()()(2221sTsTTsUsUsGrc传递函数：传递函数：)()()()(2221sUsUssUTsUsTTrccc解解:零初始条件下取拉氏变换零初始条件下取拉氏变换：RLs1/CsI(s)Ur(s)Uc(s)RLCi(t)ur(t)uc(t)例例2.52.5 试列写试列写RLC电路的传递函数电路的传递函数 Uc(s)/Ur(s)

15、.)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 参见例2-1（）已知已知:)()()()(22221tutudttduTdttudTTrcccRLT 1RCT 2KudtdTdtdTT22221 sKUssTsTT) 12222（设初始条件为零，对上式拉氏变换设初始条件为零，对上式拉氏变换1)()()(2221sTsTTKsUssG传递函数传递函数忽略电枢电路电感忽略电枢电路电感L，系统的微分方程为，系统的微分方程为KudtdT2 1TsKsG传递函数传递函数传递函数为传递函数为Ku KsGRLiSMtesLsGLtg 11)()(113）拉氏反变换即拉氏反变换即阶跃响应阶

16、跃响应tcetu1)(1111)()()(sRCssUsUsGrc) 1(11)()(ssssUsUrc解解: 1）rccuudtduRC)()()0()(sUsURCusRCsUrcccttceetu 1 . 01)(11 . 0)1(1)( ssssUc)()(1 . 0)(sUsUssUrcc)()()(sUsUsRCsUrcc2）2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) ; 3)求脉冲响应求脉冲响应g(t)。例例2.7 如图如图,求求1) R=1，C=1F， ur(t)=1(t) v,求求零状态下阶跃响应零状态下阶跃响应uc(t) ； R Ci (t)ur

17、(t)uc(t) njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()(传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 0 j Sv零点用零点用“”表示，极点用表示，极点用“”表表示。示。v分子多项式的根分子多项式的根zi为传递函数的零点；分母多项式的为传递函数的零点；分母多项式的根根pj为极点。为极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。q传递函数的传递函数的首首1 1标准型标准型(零极点式) njjmiisTssKsG11)1()1()(q传递函数的传递函数的尾尾1 1标准型标准型( (时间常数式)系统增益系统增益 （1 1）

18、原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息 （2 2）适合于描述单输入）适合于描述单输入/ /单输出系统；单输出系统； （3 3）只能用于表示线性定常系统。）只能用于表示线性定常系统。rrctactaccrrccccrrccc42)()(424424245213 线性线性/ /非线性，定常非线性，定常/ /时变系统的辨析时变系统的辨析传递函数的局限性传递函数的局限性 例例2.82.8 某系统在某系统在0 0初条件下的阶跃响应为初条件下的阶跃响应为 试求：（试求：（1 1） 系统的传递函数；系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益； （

19、3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。时，求系统的响应。 )4)(1()2(2)(1)()()()( ssssGssSCsRsCsGtteetc431321)( )4)(1()2(2413111321)( ssssssssC 解解. .（1 1） ttee42141 14

20、22 K(2)(2) (3)(3) 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtk324)2(2lim11 ssCstteessLtk41343241341132)( )()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(12 (5) (5) (6) (6) 341)2(2lim42 ssCs(4)(4)零极点图零极点图如图示如图示344)5(lim11 ssCs)(4)0()( 5)0()0()(:2sCcssCcscsCsL )4)(1(43455145)2(2)(222 ssssssssss

21、sssC4131113441)4)(1()5()(210 sssCsCssssC413134)(0 setcttttttreeeeetctctc 213134131321)()()(440（7 7）其中初始条件引起的自由响应部分其中初始条件引起的自由响应部分)()2(2)0()0()5()()45(2sRsccssCss 311)5(lim42 ssCs 2.3.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数典型环节：典型环节： 任意一个系统是由许多元件、以不同结构任意一个系统是由许多元件、以不同结构和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规律和数学模型，并将它

22、们划分成几种典型的数律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数学模型，这些典型的数学模型即典型环节。学模型，这些典型的数学模型即典型环节。常见典型环节常见典型环节 比例环节、惯性环节、积分环节、比例环节、惯性环节、积分环节、 微分环节、振荡环节、迟后环节微分环节、振荡环节、迟后环节常见物理系统：常见物理系统：机械机械杠杆（无弹性形变的）杠杆（无弹性形变的）放大器（非线性和时间延迟可忽略）放大器（非线性和时间延迟可忽略）电路分压器、电路分压器、测速电机电压与转速关系测速电机电压与转速关系传动链速度比等传动链速度比等)()(tKrtc输出量等于输入量乘以比例系数输出量等于输入量乘以比例系数KsRsC

23、sG)()()(传递函数传递函数11)()()(TssRsCsG传递函数：传递函数：)()()(trtcdttdcT2.惯性环节惯性环节特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现微分方程：微分方程：输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换：)(11)(sRTssG常见物理系统：常见物理系统：单容液位系统单容液位系统电热炉温度随电压变化系统和单容充放气系统电热炉温度随电压变化系统和单容充放气系统直流电机的励磁回路直流电机的励磁回路T T为时间常数，为时间常数，特点：输入量输出量之间呈积分关系特点：输入量输出量之间呈积分关系tdttrTtc0)(1)(初

24、始值为零，上式的解为初始值为零，上式的解为T为时间常数，传递函数：为时间常数，传递函数：TssRsCsG1)()()()()(trdttdcT微分方程：微分方程：如图是运算放大器构成的积分环节。传递函数为如图是运算放大器构成的积分环节。传递函数为TsRCssUsUsGio11)()()(C)(tui)(tuoRTssRsCsG)()()(T为时间常数，传递函数：为时间常数，传递函数：dttdrTtc)()(微分方程：微分方程： 微分环节（超前环节）微分环节（超前环节）一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足nm的条件，的条件，实际工程中不会单独存在。如下式实

25、际工程中不会单独存在。如下式1)(TssG12)(22TssTsG存在，所以纯微分环节不能单独存在存在，所以纯微分环节不能单独存在。单位阶跃输入信号单位阶跃输入信号 ，纯微分环节输出量的拉氏变换，纯微分环节输出量的拉氏变换 TsC，其拉氏反变换，其拉氏反变换 ， tTtc)(t在实际工程中不在实际工程中不 ssR1cR)(tui)(tuoiRtuiRidtCtuoi)(1)()()(1)(tudttuRCtuooi满足满足nm的基本条件，可以付诸实际使用。的基本条件，可以付诸实际使用。dttduRCtudttduRCooi)()()(RCsssG1)(如图示如图示)()()(2)(222trt

26、cdttdcTdttcdT 振荡环节（二阶环节）振荡环节（二阶环节）微分方程微分方程:222222121)()()(nnnssTssTsRsCsGT为时间常数为时间常数, 为阻尼比。为阻尼比。传递函数为传递函数为有两个贮能元件的系统有两个贮能元件的系统弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统,机械旋转系统机械旋转系统,RLC电路电路常见物理系统：常见物理系统：Tn1为无阻尼振荡频率。为无阻尼振荡频率。)()(trtcSesRsCsG)()()(为滞后时间，其传递函数为为滞后时间，其传递函数为常见物理系统：常见物理系统： 传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟 轧钢板的厚度控制

27、系统轧钢板的厚度控制系统 晶闸管整流装置晶闸管整流装置 流体管传输和热交换系统等流体管传输和热交换系统等q传递函数的性质传递函数的性质q传递函数的定义传递函数的定义q传递函数的标准形式传递函数的标准形式q 传递函数的局限性传递函数的局限性 (1) (1) G(s) 是复函数；是复函数； (2) (2) G(s) 只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关； (3) (3) G(s) 与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) (4) G(s) = L g(t) ； (5) (5) G(s)与与s平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。q控制系统模型控制系统模型

28、微分方程（时域）微分方程（时域）传递函数（复域）传递函数（复域） 结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的图示模型。图示模型。1.信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。直线旁标记信号的时间函数或象函数。2.4.1 结构图的组成结构图的组成 结构图包括：结构图包括：信号线、信号线、引出点、方框、比较点引出点、方框、比较点2.4 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图2. 2. 引出点（测量点）引出点（测量点） 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

29、同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 注意量纲和符号注意量纲和符号!求和点可以有多个输入，求和点可以有多个输入，但输出是唯一的但输出是唯一的!4 4比较点（求和点、综合点）比较点（求和点、综合点）。uiucuc1CCici1RRi211ciuRiuccuRiu21dtduciic121dtducic2解解: : 根据基尔霍夫定律得到：根据基尔霍夫定律得到：)(1)()(11sIRsUsUci)(1)()(21sIRsUsUcc)(1)()(121sUcssIsIc对四式对四式拉氏变换拉氏变换，整理后得，整理后得 )(12sUcssIcUc1(s)I2(s) Uc(s)R1 (- -)

30、I2(s)Uc(s)Cs1Ui(s)I1(s) Uc1(s) (- -)R1Uc1(s)I1(s)I2(s) (- -)Cs1各元件的方框图如图示各元件的方框图如图示按信号流向由左至右连接方框图，按信号流向由左至右连接方框图，得网络系统结构图。如图示得网络系统结构图。如图示Ui(s)Uc(s) I2(s) Uc1(s) I1(s) (- -) (- -) (- -)R1Cs1Cs1R1消去中间变量消去中间变量 ， ， ，得得系统传递函数系统传递函数为为)(1sI)(2sI)(1sUc 131222RCssCRsUsUsGic考虑负载效应的结果uiuouc1CCici1RRi2 11)(21RC

31、ssGsG一阶一阶RC网络的传递函数网络的传递函数uiuoCCRRK系统结构图如图示系统结构图如图示Ui(s)Uc(s) I2(s) Uc1(s) I1(s) (- -) (- -)R1Cs1Cs1R1 121)(22221RCssCRsGsGsG传递函数为传递函数为未考虑负载效应电子放大器（输入阻抗无穷大）说明说明1 1、串联方框的简化、串联方框的简化2 2、并联方框的简化、并联方框的简化3 3、反馈连接方框的简化、反馈连接方框的简化5 5、引出点移动、引出点移动4 4、比较点的移动、比较点的移动)()()(12sCsGsC)()()(11sRsGsC) s (R) s (G) s (G)

32、s (C12 C(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)变换前变换前C(s) G2(s)G1(s)R(s)变换后变换后1 1、串联方框的简化、串联方框的简化v多个方框串联时，总传递函数等于各方框传递函数之积。多个方框串联时，总传递函数等于各方框传递函数之积。)()()()()(123sRsGsGsGsCC(s) G1(s)G2(s)G3(s)R(s)G3(s)C2(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)C(s) s (C) s (C) s (C) s (C321 ) s (R)s (G) s (G) s (G321 变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (- -)

33、G1(s) G2(s) G3(s) C(s)2、并联方框的简化、并联方框的简化 G1(s)+G2(s)- -G3(s)变换后变换后 R(s) C(s)3、反馈连接方框的简化、反馈连接方框的简化 C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s) = G(s) R(s) G(s) H(s)C(s)R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) 是系统的闭环传递函数。是系统的闭环传递函数。)(s图中图中“+”+”表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接；表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接； “ “-”-”表示反馈与输入量极性相反，负反馈连接。表

34、示反馈与输入量极性相反，负反馈连接。整理得整理得) s (R) s (H) s (G1) s (G) s (C ( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H sR(s)C(s)()(1)(sHsGsGn 比较点前移比较点前移G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前移动前C(s)R(s)G(s)(- -)B(s)4 比较点移动比较点移动n比较点后移比较点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前移动前串接一个与所越过的串接一个与所越过的方框方框有相同传递函数的方框。有相同传递函数的方框。C(s)G(s)G(s)R(s)B(s

35、)(- -)C(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)移动后移动后)()(1)()(sBsGsRsG )(1sGG(s)B(s)C(s)R(s)(- -)移动后移动后C(s)串接一个与所越过的方框有相同传递函数成倒数的方框。串接一个与所越过的方框有相同传递函数成倒数的方框。5、引出点移动：、引出点移动：G(s)R(s)C1(s)C2(s)引出点前移：引出点前移：移动前移动前C1(s)=G(s)R(s) C2(s)=G(s)R(s)C1(s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)移动后移动后 G(s)R(s)C(s)R(s)引出点后移：引出点后移：移动前移动前C (s)=G(s)R

36、(s) R(s)=R(s)移动前后输出是等效的移动前后输出是等效的C (s)=G(s)R(s）移动后移动后)()()(1)(sRsGsGsRG(s)G(s)C2(s)C1(s)R(s)在分出支路中串接有相同传递函数的方框。在分出支路中串接有相同传递函数的方框。)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)在分出支路中串接有相同传递函数倒数的方框。在分出支路中串接有相同传递函数倒数的方框。R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或 交换或合并相加点交换或合并相加点C(s)=E1(s)+V2

37、(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)结构图的基本形式结构图的基本形式串串 联联并并 联联反反 馈馈G1G2RCG2G1RCRCG1G1G21+RCG1G2RCG1G2RCG1G2G2G1G1G2结构图的基本形式结构图的基本形式G1G2+G2G1G21结构图等效变换方法结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2 相邻比较点可互换位置、可合并相邻比较点可互换位置、可合并3 相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并注意事项：注意事项：1 不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 引出点比较点引出

38、点比较点相邻相邻，不可，不可互换位置互换位置G1G2G3H1错！错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功无用功G1G2G3H1G2向向同类同类移动移动G1G2G3H1G1G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果请你写出结果, ,行吗？行吗？G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H3H1作用分解作用分解例例2.10 结构图化简。结构图化简。(1) (1) 结构图化简结构图化简( (例例)H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY RH H2 2+ +G G3 3H H1 1G1G2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R132222

39、11HGGHGGG(b)G4Y R221132223211HGGHGGHGGGG(c)动画动画(2) (2) 结构图化简例结构图化简例H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY132223211HGGHGGGG(b)(3) (3) 结构图化简例结构图化简例G1G2G3H1/G1G4RY(- -)1(1132GGH(a)3231211GHGGHGHG4G1G2G3YR(- -)(b)q等效为单位反馈系统等效为单位反馈系统(4)(4)其它等价法则其它等价法则)()(1)()(1)()()(sRsHsHsGsHsGsC R(s) (- -)C(s)G(s)H(s

40、)(1sHG(s)H(s) (- -)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)- -1E(s)C(s)R(s)G(s) -H(s)E(s)q 负号可在支路上移动负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s) =R(s)+(-1)H(s)Cs) =R(s)+-H(s)C(s) 例例2.11 双双RC网络的结构图简化。网络的结构图简化。U Ui i(s(s) )R R1 1(-)(-)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s(s) )(b)(b)11RsC1121RsC21 R R1 1C C2 2s ssT211 U Ui i(s(s) )U Uo o(s(s) )(-)(-)

41、( (e e) )sT11121R(d)(d)U Ui i(s(s) )R R1 1C C2 2s s(-)(-)U Uo o(s(s) )(-)(-)sT111sC21U Ui i( (s s) )(-)(-)(-)(-)(-)(-)I I1 1(s)(s)I IC C(s)(s)U(s)U(s)I I2 2(s)(s)U Uo o(s(s) )(a)(a)11R21RsC21sC11T1=R1C1T2=R2C2sT111U Ui i(s(s) )(-)(-)(-)(-)U Uo o(s(s) )(c)(c)21RsC21R R1 1沿箭头方向穿过各相连支路的路径；沿箭头方向穿过各相连支路的

42、路径；输入节点：只有输出节点，代表系统的输入量；输入节点：只有输出节点，代表系统的输入量；输出节点：只有输入节点，代表系统的输出量；输出节点：只有输入节点，代表系统的输出量；有输入又有输出的节点；有输入又有输出的节点；q基本性质基本性质输入到输出通路上通过任何节点仅一次的通路；输入到输出通路上通过任何节点仅一次的通路；回路：起点终点重合，过任何节点仅一次的闭合通路；回路：起点终点重合，过任何节点仅一次的闭合通路；不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。2.5.1 信号流图的绘制信号流图的绘制 v小圆圈标出传递的信号，得到节点；小圆圈标出传递的信号，得

43、到节点；v线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。(节点节点)G(s) C(s) R(s)C(s)R(s) G(s)(节点节点)(支路支路)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (- -)(a) 结构图结构图C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图信号流图1. 结构图结构图信号流图信号流图(信号流图信号流图结构图结构图)q节点只表示变量的相加。节点只表示变量的相加。 例例2.122.12 绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(1)

44、 。U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)11RsC11sC2121RU Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )U Uo o( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 2系统信号流图系统信号流图例例2.132.13结构图结构图 信

45、号流图信号流图控制系统结构图控制系统结构图例例2.142.14信号流图信号流图结构图结构图 将微分方程通过拉氏变换，得到将微分方程通过拉氏变换，得到S的的代数方程；代数方程； 每个变量指定一个节点；每个变量指定一个节点； 将方程按照变量的因果关系排列；将方程按照变量的因果关系排列；连接各节点，并标明支路增益。连接各节点，并标明支路增益。2. 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图)()()()()()(1sUsIsIsUsUsUccii信号传递流程：信号传递流程：C1 ui R1 R2 uo i1i例例2.15绘制图示信号流图。绘制图示信号流图。解：解：微分方程微分方程)()()

46、(11tutuRtiic2)()(Rtitucdt)ii (C1R) t (i111 拉氏变换得拉氏变换得 )()()(11sUsURsIic2)()(RsIsUcsusssCRsc)0()()(1)(1111)0()()1 ()(1111cuCssCRs整理整理)()()(11sUsURsIic2)()(RsIsUcUi(s)Ui(s)- -Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1信号流图信号流图 第第k k条前向通路的余子式条前向通路的余子式( (把与第把与第i i条前向通路接条前向通路接 触的回路去除，剩余回路构成的子触的回路去除，

47、剩余回路构成的子特征式特征式k2.5.3 梅森公式梅森公式kn1kkP1G(s) Mason公式公式:信号流图信号流图 梅森公式梅森公式 计算总增益计算总增益 fedcbaLLLLLL1 特征式特征式n 前向通路的条数前向通路的条数 kP 第第k k条前向通路的总增益条前向通路的总增益 aL 所有单独回路的回路增益之和所有单独回路的回路增益之和cbLL 两两互不接触回路的回路增益乘积之和两两互不接触回路的回路增益乘积之和 fedLLL 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益 乘积之和乘积之和 解：解：三个回路三个回路221HGL 2212HGGL 13

48、23HGGL 2211322211HGGHGGHGLa422113222321111)(GHGGHGGHGGGGPsGnkkk例例2.162.16 已知系统信号流图，求传递函数。已知系统信号流图，求传递函数。3211GGGP 42GP 11 2两条前向通路两条前向通路 R G1 G2 G3 H2 -H2 -H1 C G42321HGG354HGG443HGG1654321HGGGGGG)(354232HGGHGG32543216543214433542321HHGGGGHGGGGGGHGGHGGHGG6543211GGGGGGP 1132543216543214433542326543211)(HHGGGGHGGGGGGHGGHGGHGGGGGGGGs1211HGG232HGG321GGG24HG41GG41243212321211GGHGGGGHGGHGG3211GGGP 11412432123212141321)(GGHGGGGHGGHGGGGGGGs412GGP 12RCs1512)(16RCS)(13RCs31)(1RCsP 111)()(1)(23RCsRCsRCss四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1+前向通路两条前