控制工程基础－数学模型的建立

1、1。2本章要点数学模型的基本概念微分方程数学模型的建立传递函数数学模型的建立方块图及动态系统的构成34 航模、建筑模型、机械构件的有机玻璃模型等，是在某种相似基础上建航模、建筑模型、机械构件的有机玻璃模型等，是在某种相似基础上建立起来的，是立起来的，是摸得着、看的见的实物模型摸得着、看的见的实物模型。但是。但是系统的结构参数与系统的系统的结构参数与系统的动态性能之间有什么关系，不能明确表现出来。动态性能之间有什么关系，不能明确表现出来。 概念 数学模型是系统动态特性的数学表达式。它是抽象的、摸不到的。合理的数学模型应以最简单的形式、准确的描述系统的动态特性。 建立系统数学模型的方法建立系统数学

2、模型的方法1 1、分析法：根据系统本身所遵循的有关规律来建立系统的数学模型。、分析法：根据系统本身所遵循的有关规律来建立系统的数学模型。2 2、实验法：根据实验数据建立系统的数学模型（、实验法：根据实验数据建立系统的数学模型（系统辨识系统辨识）。）。5线性系统的概念系统的数学模型表达式是线型的，系统的数学模型表达式是线型的，这种系统称为线性系统。这种系统称为线性系统。系统在几个外加作用下所产生的响应（输出）等于各个外加作用单独系统在几个外加作用下所产生的响应（输出）等于各个外加作用单独作用下的响应（输出）之和。作用下的响应（输出）之和。特征：必须满足叠加原理对一个线性系统，各输入所产生的输出是

3、互不影响的。当有多个输入对一个线性系统，各输入所产生的输出是互不影响的。当有多个输入时，可先分析单个输入产生的输出，然后把这些输出叠加起来即可。时，可先分析单个输入产生的输出，然后把这些输出叠加起来即可。对一个线性系统，输入作用于系统的不同部位时，单个输入产生的输对一个线性系统，输入作用于系统的不同部位时，单个输入产生的输出仍然可以叠加。出仍然可以叠加。根据系统数学模型的特点系统可分为：线性系统和非线型系统。6线性系统的分类 机械工程系统常用微分方程来描述其动态特性，根据微分方程的特点机械工程系统常用微分方程来描述其动态特性，根据微分方程的特点对线性系统进行分类：对线性系统进行分类：线性定常系

4、统线性定常系统、线性时变系统线性时变系统。线性定常系统线性定常系统 用线性常微分方程描述的系统。用线性常微分方程描述的系统。线性时变系统线性时变系统 描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数。描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数。 火箭的发射过程，由于燃料的消耗，火箭质量随时间发生变化，受地火箭的发射过程，由于燃料的消耗，火箭质量随时间发生变化，受地球引力也随时间发生变化。球引力也随时间发生变化。( )( )( )( )ay tby tcy tdx ta、b、c、d 均为常系数，均为常系数，y（t）、x（t）分别）分别表示系统的输出和输入。表示系统的输出和输入。( ) ( )( ) ( )

5、( ) ( )( ) ( )a t y tb t y tc t y td t x t7线性系统的概念用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统。用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统。特征：不满足叠加原理线性化。在工作点附近将非线性函数用泰勒级数展开，并取一次近似。线性化。在工作点附近将非线性函数用泰勒级数展开，并取一次近似。忽略非线性因素。忽略非线性因素。2( )( )( )( )ay tbytcy tdx t2( )( )y txt 采用非线性系统的分析方法。采用非线性系统的分析方法。时域的微分方程；复域内的传递函数（包含系统方块图）；时域的微分方程；复域内的传递函数（包含系统方块图）；频

6、域内的频率特性；现代控制理论的状态空间方程。频域内的频率特性；现代控制理论的状态空间方程。89列写系统的微分方程，就是确定系统输入与输出之间的函数关系式。根据系统的特点及其遵循的规律，综合相关知识。机械系统微分方程要遵循机械动力学的知识；液压系统要遵循流体力学的相关知识；机电液综合系统还要用到能量守恒定律 实质内容如何列写系统的微分方程u列写微分方程的一般步骤1、确定系统的输入与输出；2、按照信息的传递顺序，从输入端开始，按物体的运动规律，列出各环节的微分方程；3、消去中间变量，获得输入输出之间的关系；4、整理微分方程，输出项在等号左边，输入项在右边，并降幂排列。( )(1)()(1)1101

7、10( )( )( )( )( )( )( )nnmmnnmma ytayta y ta y tb xtbxb x tb x t10 作用于第 i 个质点上的合力； 作用在该质点上的惯性力。直线运动；转动；或者二者综合。达朗贝尔原理：作用于每一个质点上的合力，同质点的惯性力形成平衡力系。运动形式常用原理u必要的简化和假设采用集中参数法，假设质量集中在质心，集中载荷等。( )( )0iiim x tf t ( )if t ( )iim x t 11在外力在外力 f 作用下，质量作用下，质量 m 产生惯性力产生惯性力 ；它与外力方向相反，起阻；它与外力方向相反，起阻碍物体的相对运动的趋势。碍物体的

8、相对运动的趋势。直线运动包含的要素三个要素：质量三个要素：质量m、弹簧、弹簧k和粘性阻和粘性阻B。质量质量m( )mx t 弹簧弹簧k弹簧作用力大小与两端的相对位移有关，因此在有弹簧存在的系统中必须两弹簧作用力大小与两端的相对位移有关，因此在有弹簧存在的系统中必须两端的位移量大小进行比较。通常假设端的位移量大小进行比较。通常假设 离输入近的一端位移大。假设离输入近的一端位移大。假设它产生的作用力为它产生的作用力为 。在外力。在外力 f 作用下，弹簧通常产生反作用力，作用下，弹簧通常产生反作用力，起阻碍物体的相对运动的趋势。没有外力作用时，根据情况判断其作用。起阻碍物体的相对运动的趋势。没有外力

9、作用时，根据情况判断其作用。12xx 12()k xx 12粘性阻尼粘性阻尼B粘性阻尼力的大小与两端的速度变化量有关，因此在有阻尼存在的系统粘性阻尼力的大小与两端的速度变化量有关，因此在有阻尼存在的系统中必须两端的速度大小进行比较。通常假设离输入近的一端速度大。假中必须两端的速度大小进行比较。通常假设离输入近的一端速度大。假设设 。它产生的作用力为。它产生的作用力为 。在外力。在外力 f 作用下，阻尼作用下，阻尼通常产生反作用力，起阻碍物体的相对运动的趋势。没有外力作用时，通常产生反作用力，起阻碍物体的相对运动的趋势。没有外力作用时，根据情况判断其作用。根据情况判断其作用。12xx 12()B

10、 xx 假定系统初始状态都是平衡状态，不用考虑系统的初始变形等特征，选假定系统初始状态都是平衡状态，不用考虑系统的初始变形等特征，选取平衡点作为坐标起始点。取平衡点作为坐标起始点。13例：例：图示质量、阻尼弹簧系统。初始状态时，重图示质量、阻尼弹簧系统。初始状态时，重力与弹簧初始拉力平衡。在外力力与弹簧初始拉力平衡。在外力 f 作用下，质量体作用下，质量体将偏离平衡点发生运动，求其运动状态。将偏离平衡点发生运动，求其运动状态。分析分析：系统脱离平衡点运动时，初始弹簧变形始终存在，：系统脱离平衡点运动时，初始弹簧变形始终存在，与重力平衡，因此不必考虑重力对系统的影响。单独考与重力平衡，因此不必考

11、虑重力对系统的影响。单独考虑质量体的运动规律，可以选择变形后的初始平衡点作为坐标原点。认为此虑质量体的运动规律，可以选择变形后的初始平衡点作为坐标原点。认为此时弹簧处于自由状态。时弹簧处于自由状态。 必须选择某一物体按达朗贝尔原理进行受力平衡分析，称该物体为必须选择某一物体按达朗贝尔原理进行受力平衡分析，称该物体为分离体分离体。解解：建立如图所示坐标系，选：建立如图所示坐标系，选m为分离体进行受力分析为分离体进行受力分析( )( )( )( )mx tBx tkx tf tmxBxkxf14选择坐标系方向时，尽量与输入或受力方向一致。选择坐标系方向时，尽量与输入或受力方向一致。质量体为刚体时，

12、坐标系在刚体上的位置对系统分析影响不大。质量体为刚体时，坐标系在刚体上的位置对系统分析影响不大。被分析的物体通常称为分离体，分离体可以是质量，也可以是系统中的一个点。被分析的物体通常称为分离体，分离体可以是质量，也可以是系统中的一个点。例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入f、输出输出y之间的微分方程之间的微分方程( )( )( )( )my tBy tky tf t15例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入x、输出输出y之间的微分方程之间的微分方程解解：建立如图所示坐标系，选：建立如图所示坐标系，选m为分离体进行受力分析为分离体进行受力分析()myByk xymyByky

13、kx16例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入x、输出输出y之间的微分方程之间的微分方程分析：分析：1、弹簧的作用力与两端位移有关，阻尼的作用力与两端的速弹簧的作用力与两端位移有关，阻尼的作用力与两端的速度有关，从已知变量中无法确定它们的作用力。必须知道另一端的状度有关，从已知变量中无法确定它们的作用力。必须知道另一端的状态。因此必须设一中间变量态。因此必须设一中间变量x1 1。而且必须假设而且必须假设 。1xxy3、因为多了一中间变量因为多了一中间变量x1 1，此时有三个变量，要消去中间变量，必，此时有三个变量，要消去中间变量，必须有两个方程，因而必须选两个分离体进行受力分析。须有

14、两个方程，因而必须选两个分离体进行受力分析。2、通常认为离输入端越近变量值越大，离输入端越远值越小，从物理通常认为离输入端越近变量值越大，离输入端越远值越小，从物理学角度考虑：输出滞后与输入的原因。学角度考虑：输出滞后与输入的原因。17解：解：设中间变量设中间变量 ，且，且 ，选，选1、2两点作为分离体进行受两点作为分离体进行受力分析。力分析。1xxy1x111()()kxxB xy12()B xyk y211211()kkxxk yxxyk221(1)kByk yBxk注意：对简单的问题可直接消去中间变量，对复杂的问题可通过拉氏变换消元，注意：对简单的问题可直接消去中间变量，对复杂的问题可通

15、过拉氏变换消元，再拉氏反变换即可得到系统的微分方程。再拉氏反变换即可得到系统的微分方程。18例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入f、输出位移输出位移 x2 之间的微分方程之间的微分方程解：解：设中间变量设中间变量x1，且假设且假设x1x21 11121()m xB xxkxf2222112()m xB xB xx2111121()m s XB s XXkXF22222112()m s XB sXB s XX32121112221221221()()()m m sm BB mB msB Bkmsk BBXB F 122111222212221221()()()m m xm BB mB

16、 mxB Bkmxk BBxB f19 必须首先明确系统的输入和输出必须首先明确系统的输入和输出（这一点很重要）（这一点很重要） 必须确定各组成要素的运动状态必须确定各组成要素的运动状态（尤其是阻尼和弹簧两端的状态）（尤其是阻尼和弹簧两端的状态）。 合理的选择中间变量合理的选择中间变量（中间变量越靠近输入端其值越大）（中间变量越靠近输入端其值越大）。例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入x、输出输出y之间的微分方程之间的微分方程解：解：设中间变量设中间变量 ，且，且 ，选，选1、2两点作为分离体两点作为分离体进行受力分析。进行受力分析。1xyx1x1121()()()BxykxyBy

17、x2121()Byxk x20解：解：设中间变量设中间变量 ，且，且 ，选，选1、2两点作为分离体进行受力分析。两点作为分离体进行受力分析。1xyx1x1121()()()BxykxyByx2121()Byxk x1121()()()B s XYkXYB s YX2121()B s YXk X2122B sXYB sk 22121 22 1221 2121 22 11 2()()B B sB kB kB ksk kYB B sB kB ksk kX121 22 1221 2121 22 11 2()()B B yB kB kB kyk k yB B xB kB kxk k x21在外力扭矩在外

18、力扭矩 T 作用下，产生惯性力矩作用下，产生惯性力矩 ；它与外力矩方向相反，起阻碍物体的相对转动的趋势。它与外力矩方向相反，起阻碍物体的相对转动的趋势。转动包含的要素转动包含的要素三个要素：转动惯量三个要素：转动惯量J、扭转弹簧、扭转弹簧kJ和回转粘性阻和回转粘性阻BJ 转动惯量转动惯量J( )Jt 扭转弹簧扭转弹簧 kJ扭转弹簧产生扭矩的大小与两端的相对转角有关，因此在有弹簧存在的系统扭转弹簧产生扭矩的大小与两端的相对转角有关，因此在有弹簧存在的系统中必须两端的转角量大小进行比较。通常假设离输入近的一端转角大。假设中必须两端的转角量大小进行比较。通常假设离输入近的一端转角大。假设 ，它产生的

19、作用力矩为，它产生的作用力矩为 。在外力。在外力矩矩 作用下，弹簧通常作用下，弹簧通常产生反作用力矩，起阻碍物体的相对转动的趋势。没有外力矩作用时，根据产生反作用力矩，起阻碍物体的相对转动的趋势。没有外力矩作用时，根据情况判断其作用。情况判断其作用。12 12()Jk 22列写微分方程通常利用刚体转动微分方程：列写微分方程通常利用刚体转动微分方程：通常形式为：通常形式为：0JMJJJBKT 回转粘性阻尼回转粘性阻尼BJ粘性阻尼力矩与两端的转角速度变化量有关，因此在有阻尼存在的系统中粘性阻尼力矩与两端的转角速度变化量有关，因此在有阻尼存在的系统中必须对两端的转角速度大小进行比较。通常假设离输入近

20、的一端速度大。必须对两端的转角速度大小进行比较。通常假设离输入近的一端速度大。假设假设 。它产生的作用力矩为。它产生的作用力矩为 。在外力。在外力矩矩 作用下，通作用下，通常产生反作用力矩，起阻碍物体的相对转动的趋势。没有外力矩作用时，常产生反作用力矩，起阻碍物体的相对转动的趋势。没有外力矩作用时，根据情况判断其作用。根据情况判断其作用。12 12()JB 23例：如图所示机械卷筒系统，输入转矩T作用于图中所示的轴上，通过卷筒上钢索带动质量m作直线运动，其位移x为输出，卷筒惯量为J，求系统微分方程。分析：1、可将系统分为转动与直线运动两部分，单独分析每一部分，再消去中间变量。2、两部分之间存在

21、作用力与反作用力，对第一部分起阻碍作用，第二部分起主动作用。此力为中间变量。3、两部分之间变化参数不同，转动系统为转角，移动部分为位移x，它们之间的关系是 。xr 24解：分别选卷筒和质量m作分离体进行受力分析1TJBrf22fmxB xk xxr 122()JBr mxB xk xT122()xxJBr mxB xk xTrr222122()()Jr m xBr Bxr k xrT10()Tk101()kJBrf1TJBrf25电工学基本知识电阻电阻RRRuiR RRuiR 电容电容CCCduicdt 1CCcui dt Cdqidt 电感电感LLLdiuLdt 1LLiu dtL 26基本

22、原理基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律电路里只要有分支路存在，就必然存在节点，则汇集到某节点的所有电流之代数和应等于零（流出节点的电流之和等于流入节点的电流之和）。0Ai 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。010203120iiiii01020312iiiiiERi 0123ui Ri Ri R27电网络微分方程的建立实例 方法同机械系统微分方程的建立方法同机械系统微分方程的建立例1：如图所示电路， 为输入电压， 为输出电压，求系统的微分方程。iu0u分析：电容两端的电压就是输出电压；电感、电阻两端电压相同 ，流过三个元件的电流可以求出。找

23、出电路中的节点，即可使用基尔霍夫电流定律。0iuu 解：对电路中的节点分析可得分析可得LRCiii1LLiu dtL RRuiR CCduicdt 0LRiuuuu0001()0iiuuduuu dtcLRdt 0Cuu 200021111iid ududucuuR dtLR dtLdt28例2：如图所示电路， 为输入电压， 为输出电压，求系统的微分方程。iu0u分析：没有节点可用，电流定律不适用；但流过三个元件的电流相等，只要知道电路中的电流，就可求出三个元件的电压降，而且回路闭合，可以使用基尔霍夫电压定律。电阻两端的电压就是输出电压，回路中的电流可以表达出来。为直观表示压降方向，应标出回路

24、中的电流方向。解： 对图示电路可得：0LdudiLuLdtR dt0Ruui RiR 110CcRcuidtu dt0Ruu iLRCuuuu0100iRcduLuuu dtR dt 20002id uduuduLRdtRcdtdt29例3：如图所示电路，ui 为输入电压，电容的电荷q 为输出，求系统的微分方程。分析：和例2不同的是系统元件位置不一样，输出有所变化，没有节点可用，基本思路应该是一致的，回路闭合，可以使用基尔霍夫电压定律。解： 对图示电路可得：LdiuLdt 1Ccuidt iLRCuuuu22id qdqqLRudtcdtRui R dqidt 30例4：如图所示两级RC 滤波

25、电路， 为输入电压， 为输出电压，求系统的微分方程。iu0u分析：对、两个回路可单独使用基尔霍夫电压定律。但两个回路有所不同。为什么？解：对回路可得：对回路流过两个元件的电流相等，电容两端的电压就是输出电压，而其输入电压为第一级电容两端的电压；回路流过两个元件的电流并不相等，其输入电压为系统的输入电压。原因是什么？回路电流对回路的电流产生影响。这就称为负载效应。分析时必须考虑。1 1121111()iRCuuuR iii dtc 对回路可得：2 2212221CRCuuuR ii dtc 02221Cuui dtc 2 22RuR i 2001 12 21 12 21 2002()id udu

26、R c R cR cR cR cuuudtdt31例5：对上例为了消除回路对回路对回路的负载效的负载效应应，加入隔离器，试分析对系统的影响。解：对回路可得：分析：加入隔离器的作用就是只让级对级输出电压，而屏蔽回路电流对回路电流对回路电流的影响。1 111111iRCuuuR ii dtc 对回路可得：2 2212221CRCuuuR ii dtc 02221Cuui dtc 2001 12 21 12 2002()id uduR c R cR cR cuuudtdt1111Cui dtc 课本中本节内容的第2部分举例说明了液压系统线性化的方法；第4部分说明了系统增量化微分方程的写法，留给同学们

27、自学。3233微分方程在时域内（时间范围）研究系统的时间响应极为方便；求解微分方程即可。传递函数在复域内（复数范围内）研究系统参数对系统性能的影响更为方便。1111011011nnmmnnmmnnmmd ydydydxdxdxaaaa ybbbb xdtdtdtdtdtdt对任一单输入、单输出的线性定常系统，必能写成如下的微分方程形式：其中其中，输入为x（t），输出为y（t）；且必有 ， 为常系数，系数只与系统本身的结构有关而与输入输出无关。nm 00nmaabb、假设系统的初始条件均为零（输入、输出的初值及各阶倒数均为零）11110110() ( )()( )nnmmnnmma sasa s

28、a Y sb sbsb sbX s11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa 3411101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa 传递函数的定义：传递函数的定义：对单输入对单输入单输出的线性定常系统，在初始条件为零的情况下，单输出的线性定常系统，在初始条件为零的情况下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。错误的理解传递函数的定义有以下几种情况：错误的理解传递函数的定义有以下几种情况：1

29、、该定义对任何系统都起作用；、该定义对任何系统都起作用；2、不注意初始条件；、不注意初始条件；3、并不是系统输出量与输入量的之比；、并不是系统输出量与输入量的之比；4、输出、输入顺序搞混。、输出、输入顺序搞混。强烈要求大家注意！强烈要求大家注意！351、传递函数是关于复变量s的复变函数，只适应于线性定常系统，只反映系统初始条件为零时的动态性能。2、系统传递函数反映系统本身的动态性能，只与系统本身的参数有关，与系统的外界输入无关。它的分子、分母的阶次以及系数都是系统本身所固有的特性，与外界输入无关。3、系统输入给定，输出完全取决于系统的传递函数。4、由于现实物理系统总存在惯性，输出不会超前于输入

30、，因此，传递函数分母中s的阶次必不小于分子中s的阶次，即 n m 。5、传递函数的量纲根据系统的输入量和输出量决定，可有可无。6、不同性质的物理系统，只要其动态特性相同，可以用同一类型的传递函数来描述。36零点零点()()()( )( )( )( )()()()( )1212mnK szszszY sB sG sX sspspspA s12mszzz，12mzzz，极点极点12nsppp，12nppp，( )0A s 37()()()( )( )( )()()()112110112110mmmmmnnnnnK szszszb sbsb sbY sG sX sspspspa sasa sa0s

31、()()()( )()()()1201200mnKzzzbGpppalim( )( )lim( )lim( )( )lim( )( )0000tsssy tysY ssG s X sG sG ( )1X ss纵上所述：系统传递函数零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能纵上所述：系统传递函数零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。和稳态性能。38 对于一个复杂系统来说，由于有许多结构和功能不同的元件组成，所以微分方程对于一个复杂系统来说，由于有许多结构和功能不同的元件组成，所以微分方程的阶次一般是高阶的，分析起来很不方便。为了研究方便，通常把复杂系统分为几的阶次一般是高阶的，分析起

32、来很不方便。为了研究方便，通常把复杂系统分为几个基本环节的组合，这些基本环节称为典型环节。个基本环节的组合，这些基本环节称为典型环节。 通常分析典型环节的特性，就能方便的研究整个系统的动态特性。通常分析典型环节的特性，就能方便的研究整个系统的动态特性。 比例环节、比例环节、 积分环节、积分环节、 微分环节、微分环节、 惯性环节、惯性环节、 一阶微分环节、振荡环节、一阶微分环节、振荡环节、 二阶微分环节、延时环节。二阶微分环节、延时环节。 注意：这些典型环节在现实物理系统中不一定真实存在，有些是需要近似得到。注意：这些典型环节在现实物理系统中不一定真实存在，有些是需要近似得到。39输入输入x（t

33、）、输出）、输出 y（t）关系符合方程）关系符合方程 ，均称为比例（放大）环节，均称为比例（放大）环节，K 为比例常数或者放大系数。为比例常数或者放大系数。 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为( )( )y tKx t ( )( )L y tL Kx t( )( )Y sKX s( )( )( )Y sG sKX s比例环节的特点：输出量与输入量成正比，输出不滞后，不失真。比例环节的特点：输出量与输入量成正比，输出不滞后，不失真。40 例：例：运算放大器原理如图所示。输出电压u0( ( t ) ) 与输入电压u i ( ( t ) )之间有如下关系：经拉氏变换得其传递函数为：11012(

34、 )( )( )( )iu tu tu tu tRR 021( )( )( )iUsRG sKUsR 。1( )u t112( )0 RRu tii201( )( )iRu tu tR 41例：齿轮传动副如图所示。输出转速例：齿轮传动副如图所示。输出转速与输入转速与输入转速 之间有如下关系：之间有如下关系：经拉氏变换得其传递函数为：经拉氏变换得其传递函数为：2 21 1n zn z 2112( )NzG sKNz 2n1n42积分环节的输出积分环节的输出 正比于输入正比于输入 对时间的积分对时间的积分。输出：输出： y（t），输入：，输入： x（t），）， T：积分时间常数：积分时间常数。(

35、)( )1y tx t dtT( )( )1Y sX sTs( )( )( )1Y sG sX sTs43输入阶跃信号，观察积分环节输出的特点？输入阶跃信号，观察积分环节输出的特点？( )( )1Y sX sTs研究一下积分环节的特点研究一下积分环节的特点( )1( )x tt 1( )X ss ( )21Y sTs( )ty tT特点特点1 1：输出量是输入量对时间的累积，输出幅值输出量是输入量对时间的累积，输出幅值呈线性增长，呈线性增长，对输入有滞后和缓冲作用对输入有滞后和缓冲作用。输入脉冲信号，观察积分环节输出的特点？输入脉冲信号，观察积分环节输出的特点？( )( )x tt ( )1X

36、 s 1( )Y sTs ( )1y t 特点特点2 2：积分环节具有记忆功能。：积分环节具有记忆功能。44例：有源积分网络电路如图所示。输出电压例：有源积分网络电路如图所示。输出电压u0( ( t ) ) 与输入电压与输入电压u i ( ( t ) )之间有如下关系之间有如下关系0( )( )iu tdu tcRdt 01( )( )iU sCsUsR 0( )11( )( )iUsG sU sRCsTs TRC 0( )( )( )iU sG sRCsUs 45微分环节的输出微分环节的输出 正比于输入正比于输入 对时间的导数。对时间的导数。输出：输出： y（t），输入：，输入： x（t），

37、）， T ：微分时间常数。：微分时间常数。( )( )dx ty tTdt( )( )Y sTsX s( )( )( )Y sG sTsX s 46研究一下微分环节的特点研究一下微分环节的特点输入阶跃信号，微分环节的输出信号是什么？输入阶跃信号，微分环节的输出信号是什么？对阶跃信号，零时刻值从对阶跃信号，零时刻值从0 0变为变为1 1，导数为无穷大，零时刻以后导数又变为，导数为无穷大，零时刻以后导数又变为0 0，相当于其速度瞬时从零变化为无穷大后又变为，相当于其速度瞬时从零变化为无穷大后又变为0 0。可能存在？。可能存在？现实物理系统由于惯性的存在，这种情况不可能出现，现实物理系统由于惯性的存

38、在，这种情况不可能出现，因此理想的微分环因此理想的微分环节不存在。节不存在。只能近似模拟。工程中微分环节的表达式如下：只能近似模拟。工程中微分环节的表达式如下：12( )( )( )dy tdx tTy tTdtdt 12( )( )( )T sY sY sT sX s 21( )( )( )1Y sT sG sX sT s T1 、T2 为时间常数，当为时间常数，当 T1 1 时，时，2( )( )( )Y sG sT sX s近似的微分环节近似的微分环节微分环节对速度信号很敏感，因此在系统校正时经常采用。微分环节对速度信号很敏感，因此在系统校正时经常采用。47输入输入x（t）、输出）、输出

39、 y（t）关系符合方程）关系符合方程 ，均称为惯性环节，均称为惯性环节，T 为时间常数为时间常数 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为( )( )dy tTy txdt( )( )( )11Y sG sX sTs惯性环节的特点：输出量滞后于输入量，不能立即达到稳态值。惯性环节的特点：输出量滞后于输入量，不能立即达到稳态值。一般由一个储能元件和一个耗能元件组成。一般由一个储能元件和一个耗能元件组成。( )( )( )TsY sY sX s观察对阶跃信号惯性环节的输出观察对阶跃信号惯性环节的输出储能元件：质量、弹簧、电容、电感；耗能元件：阻尼、电阻。储能元件：质量、弹簧、电容、电感；耗能元件：

40、阻尼、电阻。48()dyk xyBdtdyBkykxdt( )( )( )BsY skY skX s ( )( )( )Y skG sX sBsk 11Bsk BTk 49iRCuuuRuRi 01Cuuidtc 00CIUUIcsUcs0RURIRcsU0001( )1iRCiUUUURcsUUG sURcs TRc 50( )( )( )Y sTsX sX s( )( )1( )Y sG sTsX s 输入输入x（t）、输出）、输出 y（t）关系符合方程）关系符合方程 ，均称为一阶微分环节，均称为一阶微分环节，T 为时间常数为时间常数 ( )( )( )dx ty tTx tdt现实物理系

41、统中一阶现实物理系统中一阶微分环节也不存在。微分环节也不存在。只能近似模拟。但它和其它典型只能近似模拟。但它和其它典型环节一起存在于某一系统中。环节一起存在于某一系统中。51例例1 1：如图所示电路，：如图所示电路， 为输入电压，为输入电压， 为输出电压，求系统的传递函数。为输出电压，求系统的传递函数。iu0u解：对电路中的节点分析可得分析可得112CRRiiicCduicdt 111RRuiR 222RRuiR 01CRiuuuu02Ruu 00012()iid uuuuucdtRR00012( )( )( )( )( )iiU sUsUsCs U sUsRR 011( )(1)( )( )

42、(1)iUsKR CsG sUsKR Cs 212RKRR 52凡用二阶微分方程凡用二阶微分方程 描述的系统统称为振荡环节。描述的系统统称为振荡环节。输出：输出： y（t），），输入：输入： x（t）。2222d ydyTTyxdtdt 22( )1( )( )21Y sG sX sT sTs 振荡环节的标准形式：振荡环节的标准形式：222( )( )( )2nnnY sG sX sss 2221()21()TssTT 其中：其中： 为系统的无阻尼自然频率；为系统的无阻尼自然频率； 称为阻尼比。称为阻尼比。1/nT 53研究一下振荡环节的特点研究一下振荡环节的特点输入阶跃信号输入阶跃信号1（t

43、），），振荡环节的输出信号是什么？振荡环节的输出信号是什么？1、当、当 时，输出为一振时，输出为一振荡过程，且荡过程，且 越小，振荡越剧烈。越小，振荡越剧烈。01 2、当、当 时，输出不再振荡，时，输出不再振荡，输出曲线类似于惯性环节。输出曲线类似于惯性环节。1 振荡环节出现振荡现象的原因是什么？振荡环节出现振荡现象的原因是什么？物理学角度认为：振荡环节有两个储能元件和一个耗能元件物理学角度认为：振荡环节有两个储能元件和一个耗能元件（如（如m c -k系统系统中，质量和弹簧属于储能元件，质量形成动能，弹簧形成势能，它们相互转换；阻尼中，质量和弹簧属于储能元件，质量形成动能，弹簧形成势能，它们相

44、互转换；阻尼的存在又消耗了能量），的存在又消耗了能量），正是由于储能元件之间的能量交换，使系统发生了振正是由于储能元件之间的能量交换，使系统发生了振荡，荡，而由于耗能元件的存在，消耗了系统的能量，使振荡逐渐衰减。而由于耗能元件的存在，消耗了系统的能量，使振荡逐渐衰减。 而且阻尼越小，而且阻尼越小，系统的能量消耗的越少，系统振荡的就越厉害。系统的能量消耗的越少，系统振荡的就越厉害。 ,系统类似于两个惯性环节系统类似于两个惯性环节的叠加。的叠加。1 54例：图示机械卷筒系统，输入转矩T，质量m的的位移x为输出，求系统的传递函数。解：分别选弹簧、卷筒和质量m作分离体进行受力分析，假设 ，0 10()

45、Tk101()kJBrf22fmxB xk xxr 2222122( )()()rG sJmrsBB rsk r 552222122( )()()rG sJmrsBB rsk r 22( )21KG sT sTs 2222JmrTk r 212222BB rTk r 21Kk r 由传递函数可以看出，该系统由比例环节和振荡环节组成。由传递函数可以看出，该系统由比例环节和振荡环节组成。56凡用微分方程凡用微分方程 描述的系统统称为二阶微分环节。描述的系统统称为二阶微分环节。输出：输出： y（t），），输入：输入： x（t）。2222d xdxyTTxdtdt 22( )( )21( )Y sG

46、sT sTsX s 二阶微分环节与微分环节一样，在现实物理系统中不存在，只能近似。二阶微分环节与微分环节一样，在现实物理系统中不存在，只能近似。57当该环节受到输入信号的作用，经过一段时间后，输出端才完全复现输入信号，这样的环节称为延时环节。延时环节输入x（t）与输出y（t）之间有如下数学关系( )()y tx t ( )( )sY SeX s ( )( )( )sY sG SeX s 延时环节的特点：输出滞后延时环节的特点：输出滞后 于输入，但不失真。于输入，但不失真。58输入阶跃信号，观察三个环节输出的特点？输入阶跃信号，观察三个环节输出的特点？对比研究一下比例、惯性、延时环节的特点对比研

47、究一下比例、惯性、延时环节的特点1( )1G sTs ( )G sK ( )sG se 比例环节从一开始就有输出，输出值成比列的变化。比例环节从一开始就有输出，输出值成比列的变化。惯性环节的输出需要延迟一段时间，才接近于所要求的输入值，但它从惯性环节的输出需要延迟一段时间，才接近于所要求的输入值，但它从开始时刻起就有输出存在。开始时刻起就有输出存在。延时环节在输入开始一段时间内并无输出，在延时环节在输入开始一段时间内并无输出，在时间后，输出就完全等于时间后，输出就完全等于输入；是输入的整体滞后。输入；是输入的整体滞后。2 2111112!ssesess 为了处理方便，延时环节往往采用有理函数为

48、了处理方便，延时环节往往采用有理函数 来近似。来近似。11s 59例：图示带钢轧制过程中的厚度检测装置。带钢在例：图示带钢轧制过程中的厚度检测装置。带钢在A A点轧制，厚度点轧制，厚度h（t）为输）为输入厚度；在距轧辊入厚度；在距轧辊L的的B B处设置厚度检测，设轧制速度为处设置厚度检测，设轧制速度为v，求系统传递函数。，求系统传递函数。分析：分析：在在B B处检测厚度，由于轧制速度为处检测厚度，由于轧制速度为 v，从轧制点到检测点存在传输的延时，延时时从轧制点到检测点存在传输的延时，延时时间为间为， L/v 。所以实际检测信号为所以实际检测信号为h（ t ），为输出信号。），为输出信号。解：

49、解：( )()h th t ()( ) ( )sL h tG seL h t 60u求系统传递函数的一般步骤1、确定系统的输入与输出；2、按照信息的传递顺序，从输入端开始，按物体的运动规律，列出各环节的微分方程；（可不用消去中间变量）；（可不用消去中间变量）3、初始条件为零，对微分方程逐项取拉氏变换；4、按定义，输出的拉氏变换比输入的拉氏变换可得系统的传递函数。61解：解：设中间变量设中间变量 ，且，且 ，选，选1、2两点作为分离体进行受两点作为分离体进行受力分析。力分析。1xxy1x111()()kxxB xy12()B xyk y例：例：写出图示机械系统输入写出图示机械系统输入x、输出输出

50、y之间的传递函数。之间的传递函数。111()()kXXBs XY12()Bs XYk Y21BskXYBs 121 21()Bs kkk kk XYBs121 21()( )Bs kkk kXG xYBsk1121 2( )()BskYG xXBs kkk k6263构成三个构成要素构成三个构成要素 将组成系统的各个环节用传递函数方块单元表示，并按信息流向连接起将组成系统的各个环节用传递函数方块单元表示，并按信息流向连接起来，就构成系统的方块图。来，就构成系统的方块图。1 1、方块单元、方块单元方块图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表示方法。方块图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表示方

51、法。2 2、运算符号、运算符号方块单元显示了系统中各单个环节的功能，方块中表明环节的传递函数；方块单元显示了系统中各单个环节的功能，方块中表明环节的传递函数；指向方块的箭头表示输入，方块出来的箭头表示输出。在这个单元中有如指向方块的箭头表示输入，方块出来的箭头表示输出。在这个单元中有如下的关系（完成如下的功能）下的关系（完成如下的功能）( )( ) ( )Y sX s G s 运算符号是信号之间代数求和运算的图解表示。运算符号是信号之间代数求和运算的图解表示。 表示相加点；指向它的表示相加点；指向它的箭头表示输入，离开的表示输出；箭头旁的符号表示信号的加、减关系。箭头表示输入，离开的表示输出；

52、箭头旁的符号表示信号的加、减关系。在相加点处，输出信号等于各输入信号的代数和。在相加点处，输出信号等于各输入信号的代数和。 CAB 64方块图的特点方块图的特点2、通过方块图很容易评价每一个环节对系统性能的影响。1、根据系统信号流向，将各环节的方块连接起来，容易得到系统的方块图。3、复杂系统可先画出系统的方块图，再通过方块图简化求出其传递函数。3、分支点、分支点分支点表示同一信号向不同方向的传递。在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相同。方块图和传递函数一样，和系统的物理结构无关；不同的系统可用同一个方块图表示。由于分析角度不同，同一个系统可以画出许多不同的方块图，这和传递函数是不同的。

53、65串联串联1 1、串联联接的形式、串联联接的形式任何一个系统都是由若干个典型环节构成的，这些环节之间的联系方任何一个系统都是由若干个典型环节构成的，这些环节之间的联系方式有三种：式有三种：串联串联、并联并联和和反馈联接反馈联接。通过研究三种联接的简化方式，。通过研究三种联接的简化方式，可以把复杂系统的方块图简化，从而求出系统的传递函数。可以把复杂系统的方块图简化，从而求出系统的传递函数。各环节的传递函数一个个顺序联接称为串联。或者说前一级的输出是后一各环节的传递函数一个个顺序联接称为串联。或者说前一级的输出是后一级的输入。级的输入。11( )( )( )Y sX s G s 12( )( )

54、( )Y sY s Gs 12( )( )( )( )( )Y sG sG s GsX s串联环节总的传递函数等于各个环节传递函数的乘积。但需要注意的是：串联环节总的传递函数等于各个环节传递函数的乘积。但需要注意的是：后面的环节对前面的环节应该没有影响（称为无负载效应影响）。后面的环节对前面的环节应该没有影响（称为无负载效应影响）。2 2、串联联接的简化（等效）特点、串联联接的简化（等效）特点12( )( )( )( )Y sX s G s Gs 66例：负载效应对串联环节的影响。例：负载效应对串联环节的影响。0111( )1( )( )1iiUsG sU sR C s 02022( )1(

55、)( )1iUsGsUsR C s 021 12 21 12 21 2( )1( )( )()1iUsG sU sR c R c sR cR cR cs12( )( )G s Gs 021 12 21 12 2( )1( )( )()1iUsG sU sR c R c sR cR cs12( )( )G s Gs 说明：由串联环节所构成的系统当无负载效应影响时，总传递函数等于各说明：由串联环节所构成的系统当无负载效应影响时，总传递函数等于各环节传递函数的乘积。环节传递函数的乘积。当系统由当系统由n各环节串联而成时，总传递函数可表达为：各环节串联而成时，总传递函数可表达为：1( )( )niiG

56、 sG s ( ) (1,2, )iG sin 表示第表示第 i 个串联环节的传递函数。个串联环节的传递函数。67并联并联1 1、并联联接的形式、并联联接的形式几个环节的输入相同，输出相加（或相减）的联接形式称为并联。几个环节的输入相同，输出相加（或相减）的联接形式称为并联。11( )( )( )Y sX s G s 22( )( )( )YsX s Gs 1212( )( )( )( )( )( )( )( )Y sYsY sG sG sGsX sX s 并联环节总的传递函数等于各并联环节传递函数之和。并联环节总的传递函数等于各并联环节传递函数之和。2 2、并联联接的简化（等效）特点、并联联

57、接的简化（等效）特点n个环节并联时，总的传递函数为：个环节并联时，总的传递函数为：1( )( )niiG sG s 12( )( )( )Y sY sYs 68反馈联接反馈联接请大家回忆一下反馈（信息反馈）的概念？请大家回忆一下反馈（信息反馈）的概念？正反馈：反馈回去的信号与原系统的输入信号方向相同（或相位相同）。正反馈：反馈回去的信号与原系统的输入信号方向相同（或相位相同）。负反馈：反馈回去的信号与原系统的输入信号方向相反（或相位相差负反馈：反馈回去的信号与原系统的输入信号方向相反（或相位相差180）请大家再回忆一下正、负反馈的概念？请大家再回忆一下正、负反馈的概念？正反馈：反馈信号与输入信

58、号相加称为正反馈。正反馈：反馈信号与输入信号相加称为正反馈。负反馈：反馈信号与输入信号相减称为负反馈。负反馈：反馈信号与输入信号相减称为负反馈。反馈联接的概念反馈联接的概念69内在反馈与外加反馈内在反馈与外加反馈0( )( )( )xtx ty t0( )( )( )XsX sY s70输出信号通过一中间环节返回到输入端，此返输出信号通过一中间环节返回到输入端，此返回信号称为反馈信号。这里用回信号称为反馈信号。这里用 表示。表示。返回时所经环节的传递函数称为反馈传递函数，通常用返回时所经环节的传递函数称为反馈传递函数，通常用H（s）表示。）表示。反馈联接的等效处理反馈联接的等效处理1( )Xs

59、1( )Xs反馈传递函数可以为实数，也可为复变函数，当反馈传递函数可以为实数，也可为复变函数，当H（s）1，称为单位反馈，称为单位反馈系统系统，此时环节可简化。此时环节可简化。1( )( ) ( )X sY s H s 1( )( )( )X sH sY s 1( )( )X sY s 反馈信号的量纲与输入信号相同。只有当反馈传递函数为反馈信号的量纲与输入信号相同。只有当反馈传递函数为1时，反馈信号才时，反馈信号才等于输出信号，二者量纲才相同。等于输出信号，二者量纲才相同。1( )Xs71反馈控制系统的基本原理：就是通过误差信号进行系统控制。误差信号就是输入信号与反馈信号的代数和，通常用E (

60、 s )表示。误差信号与输入信号量纲相同。误差信号总是在输入端度量。1( )( )( )E sX sX s 1( )( ) ( )X sY s H s 上式中误差信号与输入信号之比就称为误差传递函数。上式中误差信号与输入信号之比就称为误差传递函数。什么是误差信号呢？什么是误差信号呢？( )E s( ) ?Y s 1( )( ) ( ) ( )X sE s G s H s ( )( )( ) ( ) ( )E sX sE s G s H s ( )?( )E sX s 11( ) ( )G s H s 注意：对于反馈控制系统，我们总是希望误差趋向于零或最小；此时输出为零，系统进入稳态状态。( )