韩旭里--概率论习题答案(2)

1、习题二1一袋中有5只乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】【解】X 3,4,5P(X3)c；0.1P(X4)3 c；0.3P(X5)c；30.65故所求分布律为X345P2设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：1X的分布律；2 X的分布函数并作图；1 33PX -, P1 X -, P1 X , P1 X 2.2 22X 0,1,2.P(XP(XP(X0)1)2)C?322C535.c；g2312C5353丄%35故X的分布律为X0

2、12P221213535352当 x0 时，FX=PXwx=022当0 w x1时，F x=P Xw x=P(X=0)= 一35当1 w x2时，F 故X的分布函数X=P Xw x=10,22F (x)353435P(X)FF)J2235P(1X3、3、F(1)342F(2)35P(1X3)P(X1) P(1 XP(1X2)F(2)F(1)P(X1,34门0353、12235c、“341门2) 1 0.3次射击，每次击中率为3次射击中至少击中 2次的概率.0.8，求3次射击中击中目标的次数的35 35故X的分布律为P(XP(XP(XP(X0) (0.2)30.0081) C；0.8(0.2)2

3、 0.0962) C3(0.8)20.2 0.3843)3(0.8)0.512X0123设 XX=O, 1, 2, 3.3射手向目标独立地进行了分布律及分布函数，并求【解】P分布函数0,0.008,F(x) 0.104,0.488,1,P(X 2) P(X 2)P(X 3)0.8964. 1设随机变量X的分布律为PX=k= a -,k!其中k=0, 1, 2,，入0为常数，试确定常数 a. 2设随机变量X的分布律为P X=k= a/N，k=1, 2,，N，试确定常数a.【解】1由分布律的性质知1P(X k) akaek 0k 0 k!故ae(2)由分布律的性质知NN a1P(X k)ak 1k

4、 1 N即a 1.5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：1两人投中次数相等的概率；2甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝UXb3，0.6Yb(3,0.7) P(X Y) P(X 0,Y0) P(X 1,Y1) P(X 2,Y2)P(X 3,Y3)(0.4)3(0.3)3 C；O.6(O.4)2C3O.7(O.3)2 +C3(0.6)20.4C2(0.7)20.3 (0.6)3(0.7)30.32076(2) P(X Y) P(X 1,Y0) P(X 2,Y0) P(X 3,Y0)P(X 2,Y1) P(X 3,Y1) P(X 3,Y2)C

5、；0.6(0.4)2(0.3)3 C3 (0.6)20.4(0.3)3(0.6)3(0.3)3 C2(0.6)20.4C；0.7(0.3)2(0.6)3C；0.7(0.3)2 (0.6)3C2(0.7)20.30.02，且设各6.设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，那么Xb(200,0.02)，设机场需配备 N条跑道,那么有P(X N) 0.01即利用泊松近似200Ck00(0.

6、02)k(0.98)200 k0.01np 200 0.024.P(XN)=k Ne44k0.011 k!查表得N 9故机场至少应配备 9条跑道.7有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少利 用泊松定理？【解】设X表示出事故的次数，那么XbP(X 2)1 P(X 0) P(X 1)1 e0.1 0.1 e0.1X 满足 PX=1= PX=2，求概率 PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,那么c5 p(1 p)4 c5p2(1 p)3故所以4 1 4 2P(x 4)

7、 C5(1)210243A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号1进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】1设X表示5次独立试验中 A发生的次数，那么 X6 5, 0.35P(X 3) Ck(0.3)k(0.7)5 k 0.16308k 3(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，那么Yb7 kk7 kP(Y 3)C7(0.3) (0.7)0.35293k 3t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为1/2t的泊松分布，而与时间间隔起点无关时间以小时计.1求某一天中午12时至下午2求某一天中午1

8、2时至下午3【解】1P(X 0) e23时没收到呼救的概率;5时至少收到1次呼救的概率.P(X51) 1 P(X 0) 1 ePX=k= C：pk(1p)2 k , k=0,1,2PY=m=C：pm(1 p)4m=0,1,2,3,4分别为随机变量X, Y的概率分布，如果5PX 1=，试求 P Y 1.95【解】因为P(X 1) ，故P(X而P(X 1) P(X 0) (1 p)9故得(1 p)249即p13从而P(Y 1)1 P(Y 0)1 (1p)4650.802478112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这 2000册书中2恰有5册错误的概率.【解

9、】令X为2000册书中错误的册数，那么Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算np 2000 0.0012P(X5) e2255!0.00183 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】X 1,2,k,1 k 1 3p(xk) (-)k1-44P(X 2) P(X 4)P(X 2k)1 31.3 Z1 2k 1 3() ()一4 444443 4141 (4)2 514有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在

10、1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取2000元赔偿金求：1保险公司亏本的概率；2保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率【解】以“年为单位来考虑1在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元 设1年中死亡人数为 X,那么Xb(2500,0.002)，那么所求概率为P(2000 X 30000) P(X 15)1 P(X 14)由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有P(X15) 1145 ke 50.000069P(保险公司获利不少于10000)P(30000 2000 X 10000) P(X 10)10 e 55k0.9863

11、05k 0 k!即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P保险公司获利不少于 20000P(300002000X20000) P(X 5)5 e55kk 0 k!0.615961即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%X的密度函数为f(x)=Ae |x|,g x+ g,求：1A 值；2P0 X1;(3)F(x).【解】1由 f (x)dx 1得1Aex JAe 沁 2A故1 P(0 X 1)-2(3)当 x0 时，F(x)e | dxe dxx1e0 2dx2 21 x2e，1 xx 0F(x)x 01e2X的密度函数为16设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命f

12、(x)=1002，Xx 100,0, X 100.求：1在开始150小时内没有电子管损坏的概率;2在这段时间内有一只电子管损坏的概率;3 F X.【解】1 P(X 150)P1 P(X p2 C3g( )23 31501001牙dx100x332 38150)()32749当 x 100 时 F(x) f (t)dt100xf(t)dt 100f(t)dtx 100100dt 1100 t2x1001x 100F(x)x0,x 017.在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数【解】由题意知X U 0, a,

13、密度函数为丄0 xaf(x)a0,其他故当x0时F x=0当 0a 时，F X=1即分布函数0,F(x)-,a1,XX进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即2x51f(x) 3,0,P(X 3)5-dx3 3其他故所求概率为2 2 2 叫)3 2 3 叫)20271X以分钟计服从指数分布E(-).某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开他5一个月要到银行 5次，以Y表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY 1.1【解】依题意知X E(-)，即其密度函数为1f(x)1e550,该顾客未等到效劳而离开的概率为P(X10)1e10

14、5x5dxYb(5,e2),即其分布律为P(Y k) Ck(e 2)k(1 e2)5 k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2)50.516720某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N40, 102；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N50, 42.1假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？2又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】1假设走第一条路，XN40, 102，贝Ux 4060 40P(X 60) P(2)0.9772710 10假设走第二条路，

15、XN 50, 42，那么P(X 60) P X 50460 50(2.5)0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些2假设 XN40, 102，那么P(X 45) PX 4045 401010(0.5)0.6915假设 XN 50, 42,那么P(X 45)5045 50故走第一条路乘上火车的把握大些XN 3，22，1 求 P2X 5, P 4X c= PX 2, PX 3;【解】1P(2X 5) P2(1)(1) 10.84130.69150.532810 3P( 4 X 10)0.9996P(|X | 2)P(X2)P(X2)0.69150.99380.6977X 3P(X 3) P(h

16、(0)0.5c=322.由某机器生产的螺栓长度cmXN2，求一螺栓为不合格品的概率【解】P(|X 10.051 0.12) PX小时服从正态分布 N 过多少？【解】P(120 X200)X 10.050.06(2)(0.04560.120062) 21 (2)160, (?，假设要求P120 v X 0.8，允许c最大不超P 120 160 X 160200 1604040 240 1 0.8401.2931.25FX=0,1求常数A, B;2求 PXW 2 , PX 3;3求分布密度f Xlim F(x)1行11由 x得lim F(x)lim F(x)x 0x 02 P(X 2)2F(2)

17、1 eP(X 3)1 F(3) 1X分布函数为AAB(1xx eBext, x0,0.(0), f (x) F (x)X的概率密度为求X的分布函数F【解】当x0时F x=0当 0w x1 时 F(x)xtdt0,x,1,2 x,0,x其他.2,X，并画出f Xxf (t)dt0f (t)dtx0f(t)dtx2当 1W x2 时 F (x)2x22x 1xf(t)dt 10,2 xx02 ,0x1F(x)2 2x2x 1, 1x221,x2X的密度函数为1 f(x)=ae |x|，入 o；bx,0x1,f(x)= 4t,1 x 2,x0,其他试确定常数a,b,并求其分布函数F x【解】1由 f

18、 (x)dx 1知1ae 狐 2a 0 e &2a即密度函数为f(x)xe , x2xex2当 x0 时 F(x)xf (x)dx0e xdx2xe xdx0 2故其分布函数彳1x1e2故00F(x)(2)由 1 f(x)dx得即X的密度函数为obxdx2 12 dxxb=1x, 0 x 11f (x)2 , 1 X 2x0, 其他当 x 0 时 F x=0x0x当 0x1 时 f (x) f (x)dx f (x)dx o f (x)dxxxdx0当 1 wx 2 时 F x=1故其分布函数为x0f (x)dx 0dx1xxdx02 dxx0,x 00 x1F(x) j3 111x22 x1

19、,x2分位点，1=0.01，求 z2=0.003，求 z，z /2【解】1P(X z )0.011 (z )0.01(z ) 0.092由 P(X z ) 0.003得1 (z ) 0.003即(z ) 0.997查表得z 2.75由 P(X Z/2)0.0015得1 (z /2) 0.0015即(z /2)0.9985查表得z /22.96X的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0, 1，4，91P(Y 0) P(X 0)-5117P(Y 1) P(X 1) P(X 1)6 15301P(Y 4) P(X 2)-511P(Y 9)

20、 P(X 3)30故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/30PX=k=( -)k, k=1,2,，令21,当X取偶数时Y1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P(Y 1) P(X 2) P(X 4) P(X 2k)1 1;)P(Y1) 1 P(Y1)XN 0, 1.1求Y=eX的概率密度；2求Y=2X2+1的概率密度;3 求Y= | X |的概率密度P(X In y)【解】1当 yw 0 时，FY(y) P(Y y) 0当 y0 时，Fy(y) P(Y y) P(ex y)In yfx(x)dxfY(y)dFY(y) Ifx(lny)ydy11lny , 2 n

21、62y/2,y P(Y 2X2 1 1) 1当 yw 1 时 FY(y)P(Yy)当 y1 时 FY(y)P(Yy)P(2X2 1y)二 P2X_(y 1)/ 2E fX(x)dx-J故 fY(y)ddyFY(y)4/ fX T fX 亏12(y 1)/4e八，y P(Y 0)1当 yw 0 时 FY(y) P(Y y) 0当 y0 时 FY(y) P(|X | y) P( y X y)故 fy(y)-J八 5fX( y)yyfx (x)dx2y2/2当 z0 时，FZ(z) P(Z z)P( 2ln X z)XU 0,1,试求：1 Y=ex的分布函数及密度函数;2 Z= 2lnX的分布函数及

22、密度函数.【解】1P(0 X 1)1故 P(1 Y eX e) 1当 y 1 时 FY(y) P(Y y) 0当 1ye 时 FY(y)P(eX y) 1即分布函数Fy(Y)0,y1ln y,1ye1,ye故Y的密度函数为fY(y)1 1 y ey,0,其他2由 P 0X1=1知P(Z 0)1当 zw 0 时，FZ(z) P(Z z) 0P(ln X-)P(X e z2)z/2dxz/2故Z的密度函数为X的密度函数为试求Y=sinX的密度函数【解】P(0 Y 1)1当yw 0时,Fy(Y)P(Y当0y 22即随机数字序列至少要有22个数字。0,Fx=x 2,x 0,1,1x 2,1那么F 乂是

23、随机变量的分布函数.A连续型；B离散型;C非连续亦非离散型.【解】因为Fx在R，+上单调不减右连续，且lim F(x) 0xlim F(x)1，所以 fx 是一个分布函数。x但是F X在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F X是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选C37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0，那么区间a,b(A) 0, n /2;(C) n/2,0;(B) 0, n ；3(D)0，订2n【解】在0,上sinx?0,且2n/2sinxdx01 .故f(x)是密度函数。在0, n上nsin xdx021故f(x)不是密度函数。在

24、二0上 sin x23在0, n上，当n2应选A。XN 0,6 2，问：当b取何值时,0，故f(x)不是密度函数。3x n时，sinx0=1，故 01 e 2X1，即 p 0Y1=1 当 yW 0 时，Fy y=0当 y?1 时，Fy y=1当 0y k=2/3，求k的取值范围.2X k=_ 知 P3k0,P(Xk)=0(2000研考)【解】由PXk=13假设假设0 kw 1,P(Xk)=Tdx3当 k=1 时 PXk= 13假设假设11 . dx 0 3113kw 6,贝U PXk=-dx031w kw 3 时 P X6,贝U P Xk=-3X的分布函数为0,1,0.4,F(x)= co0.

25、8,1,x 1,x3,x 3.1991研考X113PX的概率分布为求X的概率分布.【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知43设三次独立试验中，事件AA至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中 A出现的次数，假设设 P A=p,那么Xb(3,p)198PX 1=知 PX=0= 1 p3=-2727X 在1,【解】1p=36上服从均匀分布，那么方程 y2+Xy+仁0有实根的概率是多少?f(x)1-,1 x 650,其他P(X240) P(X2) P(X 2) P(X 2)-XN 2,PX0=(T 2，且 P2X 2)台仪器假设各台仪器

26、的生产过程相互独立求1全部能出厂的概率 a ;2其中恰好有两台不能出厂的概率(3 ；3其中至少有两台不能出厂的概率e.【解】设A=需进一步调试 , B=仪器能出厂，那么A=能直接出厂 , AB=经调试后能出厂由题意知B= A U AB，且P(A) 0.3,P(B|A)0.8P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 0.8 0.24P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，贝yX6n，故P(X n) (0.94)nP(X n 2) C2(0.94)n 2(0.06)2P(X n 2)1 P(X n 1) P(X n)1 n(0.94)n 1

27、0.06 (0.94)n47.某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩百分制近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，那么 XN 72,6 20.023P(X96) p X 7296 721(d故(丝)0.977查表知242，即 6 =12从而XN72,122故 P(60X84) P60 72X 728472121212(1) ( 1) 2 10.68248在电源电压不超过 200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为0.1，0.001和0.2假设电源电压

28、 X服从正态分布 N 220，252试求：1该电子元件损坏的概率 a ；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率卩【解】 设A1=电压不超过 200V , A2=电压在200240V,A3=电压超过240V , B=元件损坏。由 XN 220, 252知P(A) P(X 200)X 22025200 22025(0.8) 1 (0.8) 0.212P(A)P(200 X 240)【解】fX(X)1,1 x 20,其他P(A) P(Xn 200 220 X 220240 22025(0.8) ( 0.8)240) 1 0.212250.5760.576250.212由全概率公式有P(B)i3P(A)P(B| A)10.0642由贝叶斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009P(B)X在区间1, 2上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fv(y).因为 P 1X2=1,故 P孕 1=