专题12不等式选讲——2021年高考真题和模拟题文科数学分项汇编(解析版)

1、专题12不等式选讲L【2020年高考全国I卷文数】已知函数/（x）T3x + ll-2lx-ll.（1）画出）=/*）的图像;（2）求不等式+ 的解集.【解析】（1）由题设知/。）= <x + 3.x> 1.y = /（x）的图像如图所示.（2）函数），= /（、）的图像向左平移1个单位K度后得到函数y = /（x+i）的图像.）, = /“）的图像y = /（x + l）的图像的交点坐标为（?）. 667由图像可知当“仅、7，,<-=时，丁 = /。）的图像在y = f（x+D的图像上方, 67故不等式.X）>.f*+D的解集为（Y0,）.6【点睛】本题主要考查画分段

2、函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.2.【2020年高考全国H卷文数】已知函数危）=卜-研+|厂20+”.（1）当。=2时，求不等式兀r）24的解集：（2）若«x）24,求的取值范围.7-2x,x43,【解析】(1)当“ =2时,/(%) = - l,3<x<4, 2x-7,x> 4, 11因此，不等式的解集为或r之».（2）因为/。）=以-42| + 1工-24 + 1以标一为+ 11=3 - 1尸，故当3 1）2之4,即1。-1122时，/（幻之4.所以当心3或H或时,/（a） > 4 .当-133 时,f（

3、a2 ） T / 一为 +11= （ - 1- < 4 .所以4的取值范围是（f，TU3,m）.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.3.【2020年高考全国川卷文数】设a, b, cwR, a+Hc=0, abc=l.（1）证明：ab+bc+ca<Q；（2）用 inaxa, b, c表示 a, b, c 中的最大值，证明：maxa, b, c>/J .【解析】（1）由题设可知，a, b, c均不为零，所以ab + A + ca = (t/ + b + c)2 - (a2 +b2 + c2)2= -'(/ +b2 +c2

4、) 2<0.(2)不妨设 maxa,b,c=,因为= La = -( + c),所以 a>0,6<0, c<0.由 bcW(b + Q ,可得而c« 幺,44故,所以 maxa,0,c > >/4 .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.4.【2020年高考江苏】【选修上5：不等式选讲(本小题满分10分)设xwR,解不等式2lx + ll + lxk4.2【解析】当心>0时，原不等式可化为2a + 2 + xv4,解得0<人<；当一 IWxKO时，原不等式可化为2x + 2-x<4,解得一

5、IVxKO；当XV1时，原不等式可化为一2%24<4,解得一2vxv1.2综上，原不等式的解集为3-2、<亨.L【2020广东省湛江二十一中高三月考】已知函数/。)=k-1|.(1)解不等式/(x) + /(x + l)之4；(2)当xwO, xwR时，证明：/(-) + /(-)>2. x【答案】(1)5、+8 ： (2)证明见解析.2)【解析】(1)由/(x) + /(x + l)之4得打一1| +国之4,当X>1时，得2x124.所以工之士；2当0戈<1时，得1之4,所以XC0：3当x<0时，得1一21之4,所以工一大：2 ( 3一二，此不等式的解集为

6、：一双一不=由 “t)+ K)=|E+ 3由绝对值不等式得|x + l|+ -1 > X又因为工，同号，所以X + - =Lv|+ -, XXX由基本不等:式得：|x|+ -22,当旦仅当N = 1时，等号成立，所以/（一幻+ /（1）之2.x【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含 绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查 了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.2.【2020黑龙江省大庆实验中学高三月考】设a、b、c均为正数，（二）证明：a2 + b + c2 >ab

7、+be + ca ：（二）若。+。+（、。= 1，证明4 + /? +。之".【答案】（二）见解析（二）见解析【解析】（二）因为/?，c均为正数，由重要不等式可得a2 +b22ab，b' +c，2bc , c2 + a22ca ,以上三式相力口可得a? +从+ +/ +/勿b + 2bc + 2ca »即 a2 +h2 + c2,ab + be + ca ：（二）因为ab+bc+ca = 1.由（二）可知a- +/+c，i,故（a + + c）? =a2 + b' +c2 + 2ab + 2Z?c + 2c+ 2 = 3 ,所以“+方+。/得证.【点睹】本题

8、考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题.3.12020四川省泸县第二中学高三二模】已知函数/（x） = |2x l| + k + （1）求不等式/（x）Wx + 2的解集:(2)若函数y = /(x)的最小值记为？，设。0, 【答案】(1)0,1 (2)纪业12人0,且有。+/? = ?.求-+ -一的最小值.。+1 b+2【解析】(1)因为/(x) = |2x l| + k + l| = ,3x, x < - 1,x + 2,一,2八13x.x>.2从图可知满足不等式/(x)4x+2的解集为0.33(2)由图可知函数y = /(x)的最小值为即相=/

9、.3Q.所以 + /? = -.从而。+ 1 + + 2 = ，22从而占l+/r#+l)+("2)岛 + 言)2(。+ 1)"2 J2("-1) b + 26 + 4>/29当且仅当匕=电型，即=出二11为=!±3匹时，等号成立， 。+ 1 h + 222的最小值为空槎.4+1 b+29【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.4.【2020辽宁省高三三模】设函数x) = k -2|+|3x-4.(1)解不等式x)>2：(2)若/(x)最小值为？，实数"、Z;满足+如=3加，求( 2+的最小值.【答案】

10、(1) xlxvl或X>2： (2).25【解析】(1) /(x) = |x-2| + |3x"4| = <4x-6,x> 22x-2, <x< 2,34一 4x + 6,x«-3由“>2得<x>24x-6>24。 <x<2 3 或,2x-2>23-4x + 6 > 2得x>2或。或xvl,，不等式解集xlxvl或x>2./ 4 1 2(2)根据图象知：/(x)min=/ -| = -, ：.3a+4h = 2,1 3 / 3所求可看做点(2,0)到直线3x+4y 2 = 0的1他的平

11、方，4 = 誓曰=±V32 +42 5【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的许算能力和综合应用能力，转化为 点到直线的距离是解题的关键.5.12020山西省高三其他】已知函数/(x) = |3x + 6|, g(x) = |x-3|.(1)求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若x) + 3g(x)之为对于任意x£R恒成立，求实数。的取值范同【答案】(1)973)-(2)【解析】(1)由f(x)>g(x)，得|3x+6|x-3|,平方得(3x+6)2>(x3)，得9/ +36x + 36> x2 -6x + 9，得 8/+42

12、工 + 27>0，得(2x+9)(4x+3)>0,93解得X V 一二或X > 一 三 .24(9)(3、故不等式/(x)>g(x)的解第是一°°，-3 d 一不 .(2)若x)+3g(x)A2一方恒成立，即段+6|+|31-9|卜右一北恒成立只需(|3x+6|+3|x-3bmm >a2-2a 即可.lHi|3x+6|4-|3x-9| >|3x + 6-(3x-9)| = 15 ,所以/一2。415,得/-2a-15KO，解得一故实数。的取值范惘是：3,5【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等式的恒成立问题，考察了数学运算技能

13、和逻辑 推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.6 .【2020河北省高三其他】已知函数f(x) = k+l|+|2x2|, g(x) = kl|+k+3?|一z.(=)求函数/(x)的最小值；(=)对于任意玉eR,存在eR,使得户8(毛)成立，求 ？的取值范围.3 1【答案】(Z) 2； (I).j-3x +1, x v -1解析(二)/(a-) = |x + 1| + |2x-2| = < -x + 3,-1<x<1 ,3x-l,x > 1上单调递减，在。,+8)上单调递增，"“),. = "1) = 2,故当X = 1时，/(x)取得最小值2.

14、(口)由。得 1焉=2,而 8(大)=卜-1| + 卜+3团|一1之,_1_-丫_3团|一1 =|1+3，一团，当x = l时等号成立，由题意知，对任意玉仁足，存在使得xj2g(%)成立，则/(力出之江立犷即2邛+3向一切,2+m>0所以?(2+ /?)' >(1 + 3/7?)"31解得：一二,423 1即团的取值范围为.I 4【点睹】本题考查根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式 的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范惘，考查转化思想和运算能力.7 .【2020山西省太原五中高三月考】已知函数fWTx-41 + ll xl

15、, xgR(1)解不等式：/W<5.112(2)记/*)的最小值为M，若实数。，8满足c+=M，试证明：一一十二一2二.cr +2 /?" +1 3【答案】(1)xl0<x<5 (2)证明见解析2x-5,x> 4【解析】(1)/3)=1X-41 + 11-巾=3,1於它4一 2x + 5,x< 12x-5W5 x>4或1Q&4或,2x + 5W5 x<.4<.小或长它4或2<1,，0令举,，不等式的解集为“攵运5)：因为/(%)=1X一41 + 11-工以-4) + (1-工)1=3(当且仅当1«X工4等号成立)

16、,所以所力的最小值M = 3,即a=一(当且仅当M = 1 /2 = 2等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，属于中档题.a2 +48.【2020河北省河北正中实验中学高三其他】已知函数/(x)=x +lx + 2l(a<。)，ag(x) = 8-lx + 3L(1)当。=1时，求不等式/(x)K 11的解集：(2)若关于x的不等式/(x)Kg(x)的解集包含求。的取值集合.【答案】(1) H，7： (2) -23 - 2x, x < -2【解H】T ；1 时，/(x) = |x 5| + |x+2| =< 7,2<x<5 ,2

17、x - 3, x > 5+b2=3,所以Ke,a2 + 2 + b2 + /+2)+ ( +川弓12 + 9 +Ja2+2 b2+6/72+1x->(2 + 242/tr+2 /r+163 2工411x<-2得：-4<x<-2：由7<11-得：一2cx<5：由，-2 < x < 52x-3<llx>5得：5<x<7,综上所述：的解奥为<7(2)由题意可知：当工£-2,-1时,a2 +4 x +a+ |x + 2| < 8 |.v + 3 卜恒成立,a2 +4< 8 -|x+3| -|x+2

18、 恒成立,.avO, .<0,当 xe2,1时，x + Ii_±do, x+3>0, x + 2>0. aa/.-x-il<8-x-3-x-2 = 3-2x>2 %一3在-2,-1上恒成立,er + 4>-4,又“<0,可解得：a = -2.人的取值集合为-2.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为 在不等式在子集范惘内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的 大小关系求解问题.9.12020广东省湛江二十一中高三月考】函数/(x) = k+4+|x-4 + C

19、'其中>0，b>0, c>0.(1)当 = b = c = l时，求不等式/(x)>4的解集;,222(2)若/(x)的最小值为3,求证： + + >3. a b c【答案】(1)3)p'3u(|，+s). (2)见解析【解析】(1)当o = /? = c = l时，不等式/(x)>4,H|J |x +1| + |.v -1| +1 > 4 r |x +1| + |x -1| > 3.3当工之1时，化为x+l + x l >3,解得x>二: 2-1 <x v 1 时，化为 x +1 (x - 1) > 3

20、此时无解;3:与/« 1 廿，化为一(X + l) (x l)>3,解得x< 乙综上可得，不等式/(x)>4的解奥为:3OQ, 2【2(2)由绝对值三角不等式得f(x) = x + a + x-b + c>(x + a)-(x-b + c = a+b + c = 3 .由基本不等式得生+ 422" + b>2c, + c>2a , abc.222三式相力”. F - + a + b + c>2a + 2b + 2cf a b c整理即得生+三+工2 + + c = 3,当且仅当。=/? =。= 1时，等号成立. a b c【点睛】本

21、题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10.【2020银川高级中学高三月考】已知J'(x)=lx - ll + lx+ll,不等式/*)<4的解集为M.(1)求集合M：(2)当时，证明：2a + b<14 + ab .【答案】知=(一2；(2)证明见解析.2xx < - 1【解析】(1)/(幻=上一1|+厄 + 1| = (2-1<x<1,2x x> 1所以/*)v4等价于x<-l -1<x<1 fx>l-2x<42<4' 12x<4-241或一1

22、<*<1或1<不<2,2 v x v 2, A/ = (2,2) (2)当凡beM 时,即一2<a v2,-2v<2, 4(a+b)2 -(4 + ab)2 =4a2 +4b2-16-a2b2=(。2-4)(4一/)<0,/. 4(。+ h)2 <(4 + ab)2，.二 21 a + Z? I<l 4 + 4。I.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法 证明不等式，属于中档题.11.12020黑龙江省哈尔滨三中高三其他】已知函数x) = kd + k + M，(4>0,>0).

23、(1)当4 = 1, = 3时，求不等式f(x)v6的解集；(2)若“X)的最小值为2,求证：+ ->1. a+ b+【答案】(1) (-4,2)： (2)证明见解析.【解析】(1)依题意打一1| +卜+3|<6,当xNl时，xl+x+3<6,解得x<2,即当一3<xcl时，1x+x+3<6,解得4<6成立，即一3<xvl,当x<3时，1一工一工一3<6,解得即TcxvB,综上所述，不等式的解集为(-4,2).(2) f(x) = x-a + x+b>x-a)-x+b = -a-b = a+b,所以。+Z? = 2111/7一

24、/ 11 1 "1a + b + 14、A« + lb + 1)4 a + 1b + l J当且仅当。= b = l时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.1312.12020重庆高三月考】已知函数/(x)= 21+ 5+。工-5 .(1)当 =一1时，解不等式/(x)<3x；(2)当。=2时，若关于x的不等式4/(x)v2|l-|的解集为空集，求实数6的取值范同【答案】 “1%之一； (2) -6,8.2【解析】(1)当。=1时，不等式可化为/(x)W3xI3-(2a + -) + (x-)<3x2213(2x +

25、-)-(x-)<3x22(2x + ) + (x-) < 3x22“<或"3或24242故不等式/(X) K 3x的解集为XI %之一；乙117(2)当。=2时,/(x) =12x + -1 +12x-31>(2x+ -)-(2x-3) 1=- 222137(当且仅当一一WxK不时取等号)，则不等式4/(x)min=4x = 14 4,22因此4/(x)<2ll- I的解集为空集等价于2llbK14,解得故实数b的取值范惘是-6,8【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、绝对值三角不等式应用，考查基本分析求解能力，属 中档题.13.12020四川省绵阳

26、南山中学高三一模】已知。，b，。均为正实数，求证：(1) (t/ + Z?) ( ab + c2> 4abc ；(2)若。+c=3,则vm+>/m+T?TTwsvi.【答案】证明过程详见解析【解析】(1)要证(4+匕)("+。2”加机'，可证 a2b + ac1 + ab2 + be2 - 4abc >0 ,需 U b(。 + c 2"c) + a (c + b 2bc > 0 , 即证6(。一。)2+。«与220,当且仅当。=6 =。时，取等号，由已知，上式显然成立， 故不等式(。+ /»(，心+ c2) > 4a

27、be成立.(2)因为a,6,c均为正实数.由不等式的性质知>/百.J?K " +：+ 2 = W ,当且仅当。+ 1 = 2时，取等号， 22g四妇詈当且仅当。+1=2时，取等号，后点叶詈当且仅 2222当c+l = 2时，取等号，以上三式相加，得 >/2 (y/a + l + yjb + 1 + y/c + 1 j <= 6片以 y/a + 1 + yjb + 1 + Jc + 1 < 35/2 , "1 且仅当。=Z? = C = 1 时,取等号.【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行 化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果.3114