2018年数学一轮复习(热点难点)专题77把握递推关系解决数学归纳法问题

1、1专题 77 把握递推关系解决数学归纳法问题考纲要求：1了解数学归纳法的原理；2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.基础知识回顾：1、数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1) (归纳奠基)证明当n取第一个值no(noN)时命题成立；(2) (归纳递推)假设n=k(kno,kN)时命题成立，证明当n=k+ 1 时命题也成立.2 .数学归纳法的框图表示:应用举例：类型一、用数学归纳法证明等式例 1、用数学归纳法证明:【答案】详见解析.【解析】试题分析：直接运用数学归纳法对命题进行证明即可得出所证的答案，其关键是第(n)的证明过程.试题解析：(I)当n =1时

2、，左边=1，右边=1，所以上式成立；n2(n 1)24(n)假设当n =k时等式成立，即13 2 3 33宀呼，那么当2o2=(k.1)2k 4k 4 _(k 1) (k 2)2父(k 1)3=(k 1)2(k 1)42 2(k 1)(k1) 1，即当k 1时，命题也成立.综上所述，原命题成立.类型二、用数学归纳法证明不等式例 2、【2016 届江苏省清江中学高三上学期12.29 周练】已知fn(X)= (1一X)n, N”.2(1)若g(x) = f4(x) - 2f5(x) 3f6(x),求g(x)中含x项的系数；(2)若Pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和， 数列an是由各项都大于

3、 1 的数组成的数列，试用数学 归纳法证明：Pn2 an 1) (1 a1)(1 a?)(1 an).【答案】(1)56；( 2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由已知更= (对+2欢力+3坨伍) =(1 +依+2(1+3(1 +%&几 利用二项式定 理求出/项的系数；(2)由题青，7=2 .首先证明当川=1时成立；假设n=fc时成立即Eg鬥十DX1十呦)(1十吋(1十代)成立，再证明当“氏+1时也成立.试题解析：(1)解：g(x)二f4(x) 2f5(x) 3f6(x) =(1一x)42(1 .x)53(1 -x)6, g(x)中含x2项的系数为C：2C：3C；=110 45=56.(2

4、 )证明：由题意，Pn=2 心当n =1时，只(印+1)=印+1，成立；假设当n =k时，Pk(a1a ak1)(1 - a)1 a?)(1 - ak)成立，当n二k1时，(1 y)(1 a?) (1 aQ(1 ak)- 2k4(a1a ak1)(1 ak 1)k _1=2akak 1da?比ak 1O()ak ha1a2ak(ak 1_1) _ak 1-1,即a1a2 akak 11- 耳比akak 1，132333-k3(k 1)3=43代入(*)式得(1 - a)1 a?)(1 aQ(1 ak 1) - 2k(ca2 akak!1)成立.综合 可知，pi(a1a an1)(1 a1)(1

5、 a2p (V an)对任意n，N”成立.类型三、归纳一一猜想一一证明例 3、将正整数作如下分组：(1) ,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S+ S+ $+ d 1的结果， 并用数学归纳法证明.S= 1,S2= 2 + 3 = 5,S3= 4+ 5 + 6= 15,S= 7 + 8 +9+10 = 34,S5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15 = 65,Ss= 16+ 17+ 18+ 19+ 20 + 21 = 111 ,解析：由题意知，当n= 1 时，S=

6、 1 = 1 ;当n= 2 时，S+S3= 16=2;当n= 3 时，S+S3+S5= 81 = 3; 当n= 4时，S+S3+S5+S= 256 =4;猜想：S+S3+ S+S2n1= n4.下面用数学归纳法证明：(1) 当n= 1 时，S= 1 = 1，等式成立.(2) 假设当n=k(kN)时等式成立，即S+S3+S5+S2k1=k4,那么，当n=k+1 时，S+S3+ $+ Sk1+ Sk+1=k4+ (2k2+k+ 1) + (2k2+k+ 2) + (2k2.4.2.4.3.2.4+k+ 2k+ 1) =k+ (2k+ 1)(2k+ 2k+ 1) =k+ 4k+ 6k+ 4k+ 1

7、= (k+ 1),这就是说，当n=k+ 1 时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知对于任意的nN,S+S+S5+S2n1=n4都成立.点评：“归纳一一猜想一一证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式.方法、规律归纳：1、用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值no的值.由n=k到n=k+ 1 时，除考虑

8、等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.2 .数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)4缺一不可，步骤(1)是步骤 的基础，步骤 是递推的依据.3.在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n=n0 的no 不一定为 1，而是根据题目要求选择合适的起始值.实战演练：1 .【山东省邹城市第一中学2018 届高三上学期期中考试】用数学归纳法证明：“(n n +2川|(n+n ) = 2n勺汉3工5勺卄(2n _ 1(2n +1)(n N尸时，从n =k至y n = k+1，等式的左边

9、需要增乘的代数式是5B C空D2k 1 2k 2k 1k 1k 1【答案】D【解析】等式的左边为伉+1）仗+2）心+花）肌=丘+1等式的左边为(Jt+l +l)(jt+l + 2卜(疋+所以需要増乘的代数式是*）（2*叽 皆心巳选A故选 C.A 2k 1*+12 .【吉林省乾安县第七中学 2018届高三上学期第三次模拟考试】用数学归纳法证明53n n- n u N2，,则当n =k 1时，应当在=k时对应的等式的两边加上（）3Ak31广k32川k 133B. k31C.k 1D.【答案】A【解析】当1 +2 +3|l| + k3+(k3+1 )+(k3+2 )+川+(k+1)，所以左边增加的项

10、为333k31 k32川k 1，3 .【河北武邑中学 2017 2018 高三年级上学期第二次调研考试】用数学归纳法证明1 1 13川厂Tnn N*，n 1时，由nkk 1时不等式成立，推证n = k 1时，左边应增加的项数是（A. 2k4B2k-1C2kD.2k+1【答案】C1 1 1n=k时，左边=12 32k-11 1 1 1当n=k+1 时，左边=1-厂 +飞+232k-12k【解析】 当12k 1-1因为 2k，2k+1,kk+1 2 +2,，2 -1 是个首项为 2：公差为 1 的等差数列，共有2k项,所以左边增加了2k项.6丄.兰门一？的过程中，由n二k递推到n = k 1时,2

11、n 241D.增加了，又减少了2（k +1）【答案】C【解析】+(jt+i)+(A7+i)=tm+rr2+m)i+i+2ji+i+2jt+2 故选【方法点睛】在用数学归纳法，从k项到k 1时，应弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.简言之：两个步骤、一个结论；递推基 础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.5.【江苏省仪征中学 2018 届高三 10 月学情检测】设i为虚数单位，n为正整数.(1)证明：cosx isinx = cosnx isinnx;(2)结合等式 卩亠icosxsinx : 1cosxTisinx ,证明

12、:xnx1 +C：cosx +C：cos2x +.+C；cosnx =2ncosn-cos.22【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：1利用数学归纳法即可证明。nn-nrr,.2由1可知|1cosx isinxCncosx isinxCncosrx isinrx,求得其实部，等式右r出r勻4.用数学归纳法证明不等不等式左边（A.增加了一项12(k 1)B.增加了一项-+-2k 12(k 1)1C.增加了，又减少了2k 12（k 1）试题分抓当“时左边二市十后石P新十呎左边二济r頁而nn7onnx nx . . nx=2 cos cos isin2 I 22丿x nx其实部为2ncn

13、 sc,o根据两个复数相等，其实部也相等可得2 21 +C；cosx+C：cos2x + +Cncosnx=2ncosncos-.2 26 .【浙江省温州市 2018 届高三 9 月高考适应性测试】_1_ l + anan+1已知数列中，( ).(1) 求证：；1(2) 求证：是等差数列；t_11亠94(3)设；一一二，记数列的前 项和为，求证：边Q1 - cosx !亠isinx =fcos+2ISIn。込=2ncosnxcosxisin -22 2，则其实部也为xnx2ncosncos，由两个复数相等，其实部也相等，即可证明2 21+cncosx + C：cos2x+，+ C：cos= 2

14、ncos必cos巴2 2解析：(1)当n =1时，cosx is in x = cosx is inx,即证;k假设当n二k时，cosx isinx coskx isinkx成立,cosx isinx二coskx isin kx cosx isinx=coskxcosxs inkxsin x 亠s inkxcosx sinxcoskx i二cos k 1 x is in k 1 x， 故命题对n =k +1时也成立，由得，(cosx + isinx)n=cosnx + isinnx；(2 )由(1)知,n n1 cosx isinxC：cosx isinxn=7 C：cosrx isin rx

15、，r=0其实部为1 C：cosx C；cos2x亠亠C：cosnx；电1 cosx i亠isinx2co 2lsicosV 222)-2ncosn- i cos isin 2( 2 2丿nn8.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析1一1+叫9【解析】试题分析：（1 ）利用数学归纳法可证明；（2 ）化简人 + 1H+ 1 n2+ 3n + 2+ 1 n2+ 3n + 26-=- - - ddjj； 厶,先证明 ；,：匕 ，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.11t% =荃 件 1试题解析：（1）证明：当时，满足，1 _12,tT- anlT“ 叫+ 1= 5_ E r

16、1）假设当（）时，则当仏:U 时，一占u 1即时，满足；1-anl所以，当时，都有所以，数列笫提等差数列.二-2 十（说亠 1）（ 一 1） =- ?i - 1（3）由（2）知，na7i=,% + i -n + 1_ n2+ 3n + 2因此二+；J小厶 x +出当时 心广 +_ I?厂 + 门； + i.门-:S + 7;f.-二:叫+厂1 11n + 1_ 11可得&厂丄丿是等差数列；（3）由（2）从而可得（2由陷41=11寺,得窃般=盒,所以叫T+1 _ 1=匸打_1 =2_CLRCn+1-l虬丈+册+26107数列满足an- 5an彳=36n 18,n N，且q = 4.（1）写出a

17、1的前 3 项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想 .【答案】（1）an=6n-2（ 2）见解析【解析】试题分析：（1）由c =4,a2=10,a3=16，猜想an= 6n-2;试题解析：解：（1）a4,a2=10,a3=16，猜想an= 6n -2；（2）验证n = 1时成立；时，猜想成立，即有ak=6k -2，由ak+5ak*=36k +18,，及ak=6k -2，证得 题成立.（2）当w = 1B寸00=4= 6x12成SZ；假设闪二上丘已川时，猜想成立即有a ak k=6k-2,=6k-2,由勺+5畋J =36疋+18八 及= = 6k6k 2 2? ?得勺+】=6疋+4

18、=6（丘+1）2,即当兀二疋+1时猜想成立, 由可知,6=5 一2对一切正整数兀均成立8.给出四个等式：1 =1 ；1 -4 - - 1 2；1 -42 3；假设n二k,k Nn = k 1时成立，故命即 n 2 时，虬2矗+3n.显然5W ，只需证明，即可.25、7=- -361 71 -4 9 -1 - 1 2 3 4猜测第n n N*个等式，并用数学归纳法证明.112222n _1 2n _1【答案】1 -23 -4 -亠i 1一n=-1一1 2 3 n，证明详见解析.【解析】试题分析：由归纳推理不难写出第n nN*个等式.用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证n =1时等式成立，第二

19、步假设n=kk二N*时，等式成立，证明当n1时等仍然成立即可.试题解析：第n个等式为：2222n_1_2n_11 -23 -4-1 _n=-1一1 2 3 n201汇(1 +1 证明：(1)当n =1时，左边=1=1,右边=(-1 x一-;= 1,2左边=右边，等式成立(2)假设n =k k N*时，等式成立2 22 2k2kkk(k+1)即1 -2 +3-4+(-1) k=( 1)(1+2+3+k ) = (1 )-.则当n =k 1时，1222+3242+ + (1$坯2+(1$(k+1 f(一旷 1 世磐+(_i)讹+护k=(k +1*k+1)1k当n = k 1时，等式也成立根据(1)

20、、(2)可知，对于任何nN等式均成立.cx + d9.【江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试】已知函数f0 xa = 0, ac-bd =0,ax + b设fnx为fn 4x的导数，n N*.(1)求f1x , f2x；12（2）猜想fnx的表达式，并证明你的结论【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用导数知识分别求解;想结论，再运用数学归纳法分析推证:点睛：数学归纳法是中学数学中重要的证明与自然数有关命题的数学思想方法，运用该方法时，一定要验问，借助题设条件运用导数知识直接求解；第二问归纳法推证时，借助（1）猜想的结论，进而运用数学 归纳法

21、分析推证而获证。10已知fnxx-1n-1kC：x-kn川-1ncmx-nn，其中x R,n N*,k N,k_n.（1）试求f1x,f2x,f3x的值;（2）试猜测fnx关于n的表达式，并证明你的结论【答案】（1）f1x =1,f2Xi=2,f3x=6（2）fnx=n!【解析】试题分析：（1 ）根据对应以及组合数公式展开化简得 角度猜想fnx关于n的表达式，证明时注意利用性质kC；=nC；：及C：，（2）依据题设条件及（1）的结论先猜解:（1）f1（x）0（x）彳熬着，f2（x）=f1cb + ad I-2a（bc-ad）=3.jax + b）cb ad3ax b（2）猜想fnX二二1n 1

22、n a7be ad n!*,nN.证明：当n=1时，由（1）知结论正确;n舟ax b假设当n =：k,kN时，结论正确，即有fkx二k _1k 1-1a be - ad k!k41ax bk dkiabead（ax+ bk=（一1）ak_lbe- ad k!k k（-1 ） a f be - ad ） （k +1） !k七ax b，所以当n =k 1时结论成立，由得，对一切nN结论正确.证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从n二k,到n = k 1的台阶更是尤为重要。本题的第f1x,f2x,f3x的值；（2）从阶乘13Cnk二进行转化：配凑成归纳假设的条件14试题解析：解：0 1(1)f1(x)=Gx_G (x_1 )= x_x+1=1；0 2 1222f2x =C2x -C2x -1 C2x -22 2 2x2-2 x -2x 1 x -4x 4 =2；0 3132333f3(x ) = C；x3C3(x1 ) f (x2 ) C；(x3)3333=x -3 x -13 x -2 - x -3 i；=6.(2)猜想:fnx=n!.所以kC：=nC：；.用数学归纳法证明