初三数学-几何证明(三)综合-北师大版-含答案

1、9 / 14初三数学（尖子班）讲义几何证明（三）综合题型分类： 无星代表普通高中重点高中 三大名校一、魔法装备图形形状定义判定菱形一组邻边相等的平行四边形叫菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；四 条边都相等的四边形是菱形；对角线互 相垂直的平行四边形是菱形。矩形一个内角是直角的平行四边形叫矩形一个内角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形；三个 内角都是直角的四边形是矩形。止方形一组邻边相等的矩形叫止方形一组邻边相等的矩形是止方形；对角线 互相垂直的矩形是正方形；有一个角是 直角的菱形是正方形；对角线相等的菱 形是止方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图所示）

2、：一个内角为直角“菱形一组邻边相等 V -.一邻边相等 矩形7.组邻边相等且一个内角为直角I 二/. | 正方形平行四边形/（或对角线互相垂直平分）对角线相等广二、魔力升级椀题1、（2011肇庆）如图1,矩形ABCD勺对角线相交于点 O, DE/ AC, CE/ BD.（1）求证：四边形 OCEDE菱形；（2）若/ ACB30 ,菱形OCEDJ面积为83 ,求AC变式练1-1、（2011南京）如图，将口 ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC连接AE,交BC于点F.求证： ABf AEC F若/AFC=2 D,连接 AC BE.求证：四边形 ABEB矩形.变式练1-2、（2010山东日照）如

3、图，四边形ABC麋边长为a的正方形，点 G E分别是边AB BC的中点，/ AE乒90,且EF交正方形外角的平分线 CF于点F.(1)证明：/ BAE=Z FEC(2)证明： AG除AECF(3)求 AEF的面积.例2、（2011浙江衢州）如图， ABC中，AD是边BC上的中线，过点 A作AEPBC ,过点D作DE/AB, DE与AC、AE分别交于点 O、点E ,连接EC（1）求证：ADEC；当 BACRt时，求证：四边形ADCE是菱形;变式练习2-1、如图，在平行四边形 ABCD中，以AC为斜边作 RtAACE ,又/ BED = 90 , 则四边形ABCD是矩形。试说明理由。变式练2-2、

4、（09甘肃兰州）如图，在四边形ABCD43, E为AB上一点， ADE和 BCE都是等边三角形，AR BC CD DA的中点分别为 P、Q M N,试判断四边形 PQMM怎样的四边形，并证明你的结论.例题3、（2010宁夏回族自治区）在 ABC中，/ BAC=45 , AD! BC于D,将 ABDgAB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将4 ACD沿AC所在的直线折叠，使点 D落在点F处，分别延长ER FC使其交于点M.判断四边形AEMF勺形状，并给予证明.（2）若BD=1, CD=2试求四边形 AEMFF勺面积.三、魔法比拼（一）选择题：相信你一定能选对!1、已知菱形的边长和一条对角线的长均

5、为2cm,则菱形的面积为（2A . 3cmB. 4cm2C.3 cm2D. 2.3 cm22、下列说法正确的是（）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形；C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；3、顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是A. 矩形B.菱形4、下列命题中，不成立的是（）.A .等腰梯形的两条对角线相等B.B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;D.两条对角线平分且相等的四边形是正方形。（ ）C.正方形D.平行四边形菱形的对角线平分一组对角C.顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5、若。是四边形ABCD寸角线的交点且

6、OA=OB=OC=O则四边形 ABC虚（）A.等腰梯形B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形6、用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形矩形菱形正方形等腰三角等边三角形，一定可以拼成的是（A.B.C.D.（二）填空题：你能填得又快又对吗？7、菱形 ABCD勺周长为 52cm, BAD: ABC 1:2，贝UBD= 8、如下图，以正方形 ABCD勺对角线 AC为一边，延长AB到E,使AE= AC,以AE为一边作菱形 AEFC若菱形的面积为9J2 ,则正方形边长为 9、（2010甘肃定西）如下图，在 ABC中，点D E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE/CA,DF II BA. 下列四种说法

7、:四边形AEDF是平行四边形;如果 BAC 90,那么四边形AEDF是矩形;AD BC且AB AC ,那么四边如果AD平分 BAC ,那么四边形 AEDF是菱形；如果形AEDF是菱形.其中，正确的有（只填写序号）DA（第8题图）（第10题图） 10、（2011湖北襄阳）如上图，在梯形ABC珅，AD/ BC AD= 6, BC= 16, E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点 A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t =时，以点P, Q E, D为顶点的四边形是平行四边形三、解答题：耐心做一

8、做11、如图，在 ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在 AD及其延长线上，CE / BF,连接BE、CF.(1) 求证： BD障 CDE(2)若AB=AC求证：四边形 BFCE菱形. 12、如图，在正方形ABC邛,E、F分别在BCCD上，且/ EAF=45。求证：EF=BE+DFFB EC四、越战越勇K (2011天津市)如图，有一张长为 5宽为3的矩形纸片 ABCD,要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形.(I)该正方形的边长为 (结果保留根号);(H)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程:2、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等

9、腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相 等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在 ABC中，点D, E分别在 AB, AC上，设CD, BE相交于点。，若 A 60 , ABCOD/- E逻辑学的用处有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他： 两个人从烟囱 里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡?当然是脏的那个。”学生说。不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡?2、已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm,则菱形的面积为（）3、如图3,在平行四边形ABCM,DB=DC / C

10、= 70,A已BD于E,则/DA&度。4、如图4, BD是DABCD勺对角线，点E、F在BD上，要使四边形 AECF平行四边形，还需要增加的5、如图5,在正方形 ABCM取一点 M使 MA醍等边三角形，那么/ ADM勺度数是DCBEBC1 A.请你写出图中一个与A相等的角，并证明图中哪个四边形是等对边四边形;2(3 )中，如果 A是不等于6的锐角，点D, E分别在AB, AC上，1 A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.2ABC丁五、魔力宝盒（每题2分，共1分）A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形A. 3cm22B. 4cmC.3 c

11、m2D. 2.3cm2一个条件是（填上你认为正确的一个即可）DCBEBC1、（2011湖北襄阳）顺次连接四边形 ABC序边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD，定是（）六、巅峰对决七、英雄排行榜自我评价今天你回答了几个问题？4个魔法师（）3个学徒（）W2个 平民（）小组评价小组今天最后成绩？第一名飞龙队（）第二名飞虎队（）第三名飞马队（）s-八、闭关修炼（每小题25分，满分100分）1、几种特殊四边形的定义（在箭头上填上适当的条件）15 / 142、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带 别在胸前，如图所示。红丝带重叠部分形成的图形是（）。A

12、.正方形B.等腰梯形C.菱形D.矩形答案例题1、解：（1）证明：: D曰OC , C曰OD，四边形 OCE里平行四边形.四边形 ABC麋矩形 AO=OC=BO=OD，四边形OCE区菱形.(2)/ ACB30DCO = 90 30 = 60又 OD= OCOC虚等边三角形过 D作 DF，OS F,则 CF=1 OC 2设 CF=X ,则 OC= 2 X , AC=4X在 RtDFC中,tan 60 =DF . DF=FC tan 60 愿xFC由已知菱形 OCED勺面积为8J3得OC DF=8j3 ,即2x J3x 873解得 x=2, AC=4 2=8变式练1-1、证明：四边形 ABCD1平行

13、四边形，AB/1 CD,AB=CD，/ABF= ECF. EC=DC AB=EC在ABFW ECF中， ZABF=/ ECF /AFB= EFC AB=EC. NAB监/ECF(2)解法一：.AB=EC, AB/ EG，四边形 ABEC1平行四边形. AF=EF BF=CF四边形 ABC虚平行四边形， /ABC= D,又ZAFCZD, . ZAFC=ZABC/AFC=ABF吆 BAF:/ABFBAF . . FA=FB . FA=FE=FB=F, C. AE=BC 口 ABEC1 矩形.解法二：= AB=EC, AB/ EC，四边形 ABEO平行四边形.四边形ABC麋平行四边形，AD/ZBGZ

14、D=ZBCE又.ZAFC=ZD, . . ZAFC= Z BCE. /AFC=FCE吆 FEC/ FCE= FEC . /D=/FEC . . AE=ADX / CE=DC - AC DE,即Z ACE=9D . .口 ABEB矩形.变式练 1-2、(1)证明：AEF= 90, / FEG/AEB= 90. 1分在 RtABE中，/ AEBZ BAE= 90,/ BAE= / FEC 3分(2)证明：: G E分别是正方形 ABCM边AB, BC的中点，.AG= GB= BE= EC 且/ AGE180-45= 135.又CF是/ DCH勺平分线，/ ECF= 90 +45 = 135. 4分

15、 在AGE ECF 中,AG EC, AGE ECF 135o, GAE FEC.AGM ECF 6 分(3)解：由 AGM ECI?彳导 AE= EF.又AEF= 90,.AEF是等腰直角三角形. 7分由 AB= a, BE= 1 a,知 AE= a,.S AEF= 5 a2.8例 2、(1) 证明： DE/ AB, AE/ BC,9分四边形ABD既平行四边形,AE/ BD 且 AE=BD又; AD是BC边上的中线，BD=CDAE/ CD 且 AE=CD二.四边形 ADCE平行四边形AD=CE(2) 证明：/ BAC=R1Z, AD上斜边BC上的中线，AD=BD=CD又二.四边形 ADCE平

16、行四边形四边形ADCE菱形变式练习2-1、证明：连EO,ABCM平行四边形，则 AO=CO,BO=DO/ BED=/ AEC=90 ,则根据 RT三角形的中线定理得：EO=AO=CO,EO=BO=DO则 AO=CO=BO=DO./ ABC=/ BCDW CDAW DAB=90 (RT三角形的中线定理的反应用)ABCD为矩形变式练2-2、证明：如图，连结 AC BDPQ ABC勺中位线，PQ 旦 1AC1分2同理 MN_ 1AC一2MN_PQ四边形PQMN；平行四边形.分在 AECHADE珅,AE= DE EC= EB, / AE氏60 =Z CEB即 /AEG= Z DEB AE室 DEB分.

17、 AC= BD-1-1PQ= -AC：= -BD= PN分DPQMr菱形.例题 3、.解：（1） AD BC AEB是由 AD所叠所得 / 1 = /3, / E=ZADB=900 , BE=BD, AE=AD又AFC是由 ADC折叠所得1/ 2=/4, / F=/ADC=900 , FC=CD AF=ADAE=AF又 / 1+/ 2=450 ,. / 3+/4= 4503. 1710分2217 / 14 ./ EAF=900，四边形AEM跳正方形。（2）方法一：设正方形 AEMF勺边长为根据题意知：BE=BD, CF=CD1；CM=x在RtABMC ,由勾股定理得:BC22CM 2_ 2BM

18、(x 1)2(x 2)293x 2 0解之得:、，17XiX2（舍去）一S正方形 AEMF)213317三、魔法比拼J一、选择题：相信你一定能选对！D; C; B; D; B; D.二、填空题：你能填得又快又对吗？7、13cm；8、3;9、；10 、2 或 14/3.三、解答题：耐心做一做11、证明：(1) . CE/ BF ，/CEDW BFD BD=CD , / BDF=/ CDE .BDF CDE(2) ,. BDHACDE. . ED=FD BD=CD四边形BECF平行四边形 AB=AC D是BC中点EF BC四边形BECF菱形12、延长FD至H,使DH=BE连接 AH在 ABE与 ADE中AB=AD / ABE4 ADH. BE=DH ABE全等于 ADH (SAS/ BAE4 DAH AH=AE/ EAF=45/ FAH=/ BAE吆 DAF=45.AF为/ EAH的角平分线.-.AH=AE在人5与4 AHF中SAS)AE=AH , Z AEF=/ HAF AF=AF/.A AEF AHF (EF=