开放式的数学课堂首先要放开

1、开放式的数学课堂首先要“放开”一节省级优质课： “几类不同增长的函数模型”的课例及体会湖州中学沈国根313000【 摘 要 】 ： 新课程理念下，强调以学生为主体，教师为主导的新理念的课堂教学模式。如何在课堂上真正实现开放，笔者觉得首先需要对课堂进行放开。 本文结合实际教学，深入探索实现开放式课堂的多种途径。【 关键词】 ：开放式的课、堂多视角、多层面、立体化开放式课堂教学的内涵及其意义开放式课堂教学是针对传统教育中以“课堂为主、 教材为主、 教师为主”的封闭性弊端提出的。 它指的是在教学过程中始终把学生看作处于不断发展过程的学习主体， 看作是一个身心不断构建、 升华过程的人，始终把教学过程当

2、作一个动态的、变化的、不断生成的过程笔者在前些年参加了浙江省举办的青年数学教师优质课评比， 参赛的课题是“几类不同增长的函数模型 （人教版普通高中课程标准实验教科书 必修一 第3.2.2 节） ” . 课后受到了与会专家和评委的一致好评，并获得了该届优质课比赛的一等奖. 大家普遍认为这节课内容生动， 学生参与的积极性很高, 笔者觉得能收到如此好的效果，其中一个很重要的原因就是：在教学的设计和实施过程中，能“放开” . 以下是这节课的教学实录与体会 .1. 教学实录1.1 情景创设，引入课题教师：今天有这么一个机会和在坐的各位同学一起来探讨、研究数学，我感到非常高兴. 下面请同学们来看一段视屏.

3、（视屏片段一） ：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于 2010 年元旦开张，生意蒸蒸日上。第一个月营业额达到 100 万，第二个月达到了 150 万 .试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？（面对这样生动的视屏引入，学生表现出了浓厚的兴趣） .问题 1 你觉得第三个月的营业额是多少，并说说你的理由？学生 1：我觉得第三个月的营业额是200 万，因为一、二两月的月增加量是50万，按照这个规律，答案应该是200 万 .教师：这位同学回答的非常好，他把“照此增长”理解为月增加量保持不变. 其他同学还有不同的答案吗？学生 2：按照第二个月是第一个月的 1.5 倍的话，那么

4、第三个月的营业额应该是225 万.教师：这位同学回答的相当不错，他把“照此增长”理解为一种倍数增长关系 .同学们再想想，还有没有其他答案?（学生都在认真考虑， 或者同桌讨论， 感觉答案肯定不止这两个， 但一时半会还说不上来） .教师：看问题要看它的本质，如果我们从函数的角度来看. 以月份为自变量，以营业额为函数， 那么我们要找的函数应该满足什么呢？它对应的图像又有什么特点呢？学生 3：我觉得这个函数的图像应该是在定义域上单调递增的，而且图像要经过1，、12，1.5 这两个点 .教师：看来这位学生已经看清了这个问题的本质了， 只要满足在正整数上单调递 增，而且图像经过固定的这两点的函数，都是符合

5、题目要求的 .一旦函数关系确 立了，第三个月的营业额也就有了 .追问：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在 x N上单调递增？学生4: 一次函数，指数函数，对数函数，幕函数等.教师：我们这堂课主要研究的是一次函数，指数函数，对数函数的增长差异，请 同学们以小组为单位，每个小组给出上述函数各一个.提示一下，对于指数函数,x我们在结构上做如下的拓展：y m a b的结构，对数函数也做相类似的处理（4分钟后，每个小组分别给出了各自不同的答案）第一组:2 xy 0.5x 0.5 y 1.5x31y 210g 2 x 1第二组:1 x1y 0.5x 0.5 y 2x42y 1og2 5/3gog

6、3x 1第三组:1 v 3y 0.5x 0.5 y 3-124y 10g2 51og5x 1第四组:1,xy 0.5x 0.5 y 4 24- y 10g2 70gyx 1 61.2 合作探究，辨析差异教师：每个小组都已经给出了各自的答案，同学们可以发现，一次函数是固定的, 但指数型与对数型函数可以写出很多个.由于时间的问题，下面我们就选择第一 组同学给出的函数模型，来做进一步的研究.老师通过EXCE可以很方便地给出 这三个函数在前10个月中对应的营业额.（教师当场通过EXCEL寅示操作，乂&出了数据）月份y 0.5x 0.52xy - 1.5x 31y 2iog2x 1111.000

7、1.00021.51.5001.500322.8571.79242.55.5002.000539.8572.16163.516.3572.2927425.4292.40484.537.5002.5009553.0002.585105.572.3572.661问题2结合数据，考虑这三个函数模型在土外长方式上的特点学生5:我觉得函数模型的增长是均匀变化的，指数函数模型增长的很快，对数 函数模型增长的最慢.追问：增长的快慢通过什么来体现呢？学生5:我们可以比较相前后两个月营业额的增加量，一次函数模型是固定的，增加量为50万，指数函数模型第一个增加量是 0.5,第二次增加量为1.357,第 三次增加量

8、为2.643,可以发现增加量在不断地变大，对数函数模型的增加量正 好相反，增加量越来越小.教师：这位同学分析的对不对？学生（众）：对.教师：刚才这位同学分析的相当到位，而且能从相邻两个月的增加量作为一个标 准，来分析这三个函数模型的增长方式的特点 .在这三个模型中，对数函数模型 的增长相对比较缓慢，一次函数的增长具有均匀的特点，我们称之为“线性增长”. 指数函数的增长给人一种震撼力，可以形象地称之为“指数爆炸”.下面请同学们看第二段视屏（视屏片段二）：若第10个月的营业额不超过500万，且在2010年内，一月份 到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过 50万，那么所列的模型中 哪个符合

9、要求？1y - log2 x 1教师：从刚才给出的数据中知道，只有 2这个函数模型满足第10个月的营业额不超过500万.问题3它是否满足一月份到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过50万？（学生有展开了小组讨论）110g2x 11生3:我们只要检验 x 1是否成立，其中x的范围满足大于1且小 于11的整数，上式亦可化简为10g2x x 1.追问：如何检验呢？生6:可以利用计算器，把x的取值逐个代入.教师：非常好，同学们再想想看，还有没有其他可行的办法？生7:可以通过y = 10g2x和y = x - 1的图像进行比较.师：这个主意不错（老师通过几何画板给出了这两个图像），那么怎么来比较

10、呢？生7:只要在x ? 2，10时，y = 10g2x的图像都能在y = x- 1的下方即可.从图像上看好像满足.追问：为什么是“好像”呢？生7：看不清楚，不过我们可以将图像局部放大啊.老师将图片放大后让学生观察，发现满足条件.（赢得了同学的一片掌声）教师：还有其他想法吗？（老师环顾了下四周，停留了一分钟左右，让学生思考）.生8:只需将x= 2代入计算，是符合条件的？教师：（故作思考状）为什么代x = 2就能说明当在x?2,10都满足呢？生8:因为可以发现两个函数的增长速度不同，直线的增长比对数函数的增长来 的快的多，所以当自变量越大时，差距反而越来越大 .师：大家说她回答的好吗？（生齐声说好

11、，并情不自禁的鼓掌，掀起一个小高潮） 生9:老师，我们只要看 10g2x x 1 0是否成立就可以了 .可以构造函数F （x） = log2x - x + 1,x ? 2,10 .教师：那么如何证明F（x）= 10g2x - x+ 1,x? 2,10恒小于等于0呢?生9:我们可以画出y = F（x）, X?12,10的图像，看它是否在x轴的下方即可. 教师：图像是一个不错的选择.我们能否猜测y= F（x）,x? 2,10上具有什么单 调性吗？生8:是减函数.教师：为什么？生8:因为两个函数增长速度不同.教师：所求最大值是什么？生8:在x 2时取得最大值，即F 2 .教师：非常好，下面我们来看看

12、F（x）的图像.（教师利用几何画板演示y = F（x）的 图像，并注意到函数一开始是递增的，说明对数型函数开始递增比直线型来的快）.教师：刚才这位同学通过构造函数 F（x）,这种想法非常好.其实，我们也可以构 1og2 x 1 ,H （x）与 1造函数x进行比较.（学生们透出了赞许的目光）教师通过几何画板给出了 H（x）的图像，并总结了上述的三种关于证明10g2 x x 1 的思路.1.3 课堂游戏，深化理解教师：同学们，通过刚才的例子我们初步感受到了一次函数，指数函数，对数函 数的增长方式的差异，下面我们来做个小游戏，从而进一步感受这种差异 .（老师给每个学生发了一张A4纸）教师：接下去请同

13、学们把这张纸反复对折，看看谁对折的次数最多.（学生表现出了浓厚的兴趣，积极地动手操作起来，大约过了 1分钟.）教师：大家说说看，都对折了几次.学生（众）：7次.教师：再往下折需要很大的力气了，如果这张纸再大点，或许能做得到.接下去请同学们观察老师的操作.操作1:教师把A4纸一张一张叠在上面.操作2:教师把A4纸反对地对折.教师：，告诉我它们各自的厚度变化遵循什么规律？生10:操作1的厚度变化是均匀的，每次都增加固定的厚度.而操作2的变化是 成倍增长的，每次的厚度都是前一次的 2倍.教师：回答的非常好.如果记纸张的厚度为0.1mni同学们能不能用函数来刻画 厚度的变化规律呢？（学生动笔思考了约1

14、分钟）x学生（众）:V 0.1x y 0.1 2 x N追问：如果操作1进行了 30次，厚度有多大？学生（众）：30mm.追问：如果纸张足够大，使得操作 2可以进行30次，同学们猜猜看，厚度大概是多少？（学生陷入了沉思）学生 11：我觉得可能有我这个人这么高 .学生 12：三层楼这么高，大概10 米左右 .（ 其他学生投去了惊讶的目光 ）学生 13：我估算了一下，要超过一万米，比珠穆朗玛峰还要高（ 班级气氛骤然紧张起来，大家表现出一种无法想象的神态）教师：好，请这位同学把你估算的过程在黑板上给我们演示一下学生 11 的演示 y（30）3043040.1 2 mm 102 m 1010 343

15、35210 m 10 4103105m（同学们在表现出惊叹的同时，爆发出了热烈的掌声）教师：这就是指数爆炸的威力，如果能对折 37 次，厚度将是月地距离了 .1.4 教师总结 布置作业教师总结：今天我们这堂课主要探究了一次函数、指数函数、对数函数增长方式的不同， 感受了直线上升的均匀变化， 领略了指数爆炸的无穷威力 . 同学们，刚才的那两个操作不仅有力地解释了这两种增长方式的差异， 更揭示了一个人生哲理 . 因为没有方向、缺乏规划的人生，就像是将30 张白纸简单叠在一起. 今天做做这个，明天做做那个，每次努力之间并没有太大的联系 . 这样一来，哪怕每个工作都做得非常出色，它们对你的整个人生来说

16、也不过是简单的叠加而已 . 希望同学们不仅要做个有理想，更要做个有规划的人.作业1: P98练习的第一题、第二题2 ：收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用 .2. 几点体会一直以来，笔者一直在思考，在高中数学课堂上，如何才能做到“放开”呢？从这节课的准备过程和执教后的效果中，我体会到了以下几点 .2.1 课前充分准备不怕学生放开洋思中学副校长刘金玉在他的 课堂高效八讲 中提到： 一部分老师为了所谓的课堂高效，采取“满堂灌” ， “一言堂”的方式, 把课堂的主动权、主导权牢牢地把握在自己手里. 这样表面上看上去，内

17、容讲的更多、挖掘的更深，但却忽视了一点，即这种方式违背了学生认知的规律. 学生只有被动地接受，自然达不到灵活地应用所学的知识 . 这种授课方式，某种程度上反映了授课老师的胆怯、不自信 . 因此笔者认为，只要课前下足功夫，对每个问题、每个环节尽可能多地考虑到学生的思维方式，还是能应付自如的. 在准备这堂省级优质课的时候，我们组里的其他老师给了我很多的帮助， 以问答的形式认真推敲了每个环节、 每块内容设计的意图，并提出了他们宝贵的意见. 我也通过网上的资源，借鉴其他老师在准备这节课上的经验. 通过精心的准备，增强了我的自信，也就不怕学生在课堂上放开了 .2.2 教材内容处理，有利学生放开在准备这节

18、课的时候，笔者查阅了国内其他版本的教材对这块内容的处理，发现处理的方式虽然各不相同，但教学目标都是一样的 . 人教版在这节内容上是安排了两个例题， 例题 1 是让学生有一种简单的数学建模的思想， 并初步感受三种函数增长方式的不同 . 例题 2 是对函数模型简单的应用，其中也涉及几何画板的相关作图知识 . 笔者在确保教学目标一致的情况下， 也对教材做了一番处理 , 把两个例题的功能有机地融入到“猪八戒面试”这根主线当中 . 在内容的设计上，让学生自己构造函数，符合过点 1 ，1 、 2 ，1.5 且在正整数上单调递增的函数都符合要求. 这一处理方式在内容上就做了极大的 “放开” ， 在后续过程中

19、让学生通过自己构建的函数来辨析增长方式的不同，也有利于学生的自主探究. 因此教材内容的灵活“放开” ，为学生在课堂上的“放开”创造了有利的条件.2.3 课程情景引入，激发学生放开研究表明， 兴趣能激发人的创造性思维. 学生对于自己感兴趣的内容， 往往表现出异常的活跃和积极的投入. 在本课例的开头，笔者插入了一段以“猪八戒公司招聘”为情景的 flash 视屏 . 憨态可掬的人物，嬉戏调皮的言语，栩栩如生的画片无不激起学生强烈的兴趣. 笔者更是巧妙地把本堂课的探究内容以招聘考题的形式呈现, 模拟了一种猪八戒是老板， 学生是应聘者的场景, 把课堂变成了 “招聘会” . 把课程的引入巧妙地以卡通视屏的形式呈现，不仅没有偏离主题，更让学生从一开始就感受到了轻松欢快的氛围 . 即使会场坐了近两百多个听课的老师， 学生也不在那么拘束， 从内心深处已经定义了这是一趟轻松、 欢快的数学课，激发了情绪、思维的“放开” .2.4 设置问题探究 引领学生放开课堂上，学生的“放开”不应该是盲目的、随意的，而应该是有目的、有原则的 , 这就需要老师恰当的引领， 所以教师的主导地位不容忽视. 在高中的数学课堂中， 教师引领学生 “放开” 的最基本而又最有效的策略是通过层层问题的设置.有了问题， 学生就有了思考与讨论的载体， 有了努力的方向， 自然而