工程力学12-弯曲变形

1、1 1、近似挠曲线微分方程表达？如何、近似挠曲线微分方程表达？如何求解？求解？2 2、挠度是否发生在弯矩最大的位置？、挠度是否发生在弯矩最大的位置？3 3、刚度条件？、刚度条件？4 4、静定基，变形比较法。、静定基，变形比较法。工程背景工程背景 （一）建筑结构（一）建筑结构工程背景工程背景 （一）建筑结构（一）建筑结构工程背景工程背景 （一）建筑结构（一）建筑结构工程背景工程背景 （一）建筑结构（一）建筑结构工程背景工程背景 （二）大型桥梁（二）大型桥梁工程背景工程背景 （二）大型桥梁（二）大型桥梁工程背景工程背景 （二）大型桥梁（二）大型桥梁工程背景工程背景 （二）大型桥梁（二）大型桥梁工程

2、背景工程背景 （三）航天航空（三）航天航空工程背景工程背景 （三）航天航空（三）航天航空太阳能电池帆板梁在载荷作用下，要有足够的强度，它必须满梁在载荷作用下，要有足够的强度，它必须满足强度条件，但是，是否梁满足了强度条件之足强度条件，但是，是否梁满足了强度条件之后，它就能够正常地工作呢？后，它就能够正常地工作呢？往往并非如此。往往并非如此。桥式起重机的大梁桥式起重机的大梁齿轮传动轴齿轮传动轴 所以，工程实际中的构件除了满足强度条件之所以，工程实际中的构件除了满足强度条件之外，往往还要满足变形方面的要求，也就是要外，往往还要满足变形方面的要求，也就是要满足满足刚度条件。刚度条件。当然，什么事情都

3、是一分为二的，有些场合当然，什么事情都是一分为二的，有些场合，我们还要，我们还要利用弯曲变形达到一定的目的利用弯曲变形达到一定的目的，例如，各种车辆中的叠板弹簧，就要求其在例如，各种车辆中的叠板弹簧，就要求其在外力的作用下产生足够的变形，来缓和车辆外力的作用下产生足够的变形，来缓和车辆所受到的冲击和振动。所受到的冲击和振动。另外，在另外，在研究超静定梁研究超静定梁时，我们也必须考虑时，我们也必须考虑梁在外力作用下的变形。梁在外力作用下的变形。12-1 引言引言弯曲变形的描述梁 对称面 梁轴线变形：变形前为直线的梁轴线，变形后为曲线。这根曲线称为挠挠曲线曲线。q一、挠度及转角的概念一、挠度及转角

4、的概念1梁的梁的挠曲线挠曲线轴线变形后形成的光轴线变形后形成的光滑连续曲线滑连续曲线1) )转角：转角：2梁变形的度量梁变形的度量梁横截面绕中性轴转动的角度，梁横截面绕中性轴转动的角度，符号：符号：q q ，正负：逆时针转动为正，反之为负；正负：逆时针转动为正，反之为负；2) )挠度：挠度：梁横截面形心的竖向位移，梁横截面形心的竖向位移，符号：符号：w，正负：向上为正，反之为负。正负：向上为正，反之为负。挠度随轴线变化的关系挠度随轴线变化的关系3) )挠曲线方程：挠曲线方程： ；( )w f x4) )转角方程：转角方程： 转角与挠度的关系：转角与挠度的关系：dtan( )dww xxqqvx

5、BAq qwxB1略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个角度，而中性轴本身也要发生位移。角度，而中性轴本身也要发生位移。截面形心位移截面形心位移截面转角截面转角竖向位移竖向位移 y=w=f(x)水平位移水平位移 略去略去( )dwtgfxdxqqq12-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程1( )( ) (121)( )zM xk xxEI高等数学：对曲线高等数学：对曲线v=f(x) 其曲率为其曲率为 23222)(1 |)(1)(dxdwdxwdxxk12-2 挠曲线近似微分

6、方程挠曲线近似微分方程1力学关系力学关系：EIxMx)()(1 2数学关系数学关系：221d( )dwwxx3挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：( )EIwM x在图示坐标下：在图示坐标下：0,M0,w M0,w022322|1( )1 () d wdxdwxdxvxBAwxB1qq q小变形，挠曲线很平坦。小变形，挠曲线很平坦。 1dvdx与与1相比可略去相比可略去( )EIwM x应用条件：应用条件：1.1.小变形小变形2.2.最大应力不超过材料的比例极限，即最大应力不超过材料的比例极限，即满足虎克定律满足虎克定律3.W3.W向上为正向上为正EIz为常数，挠曲线近似微分方程为 xMdx

7、wdEIz22 xMdxdwdxdEIz)( dxxMdxdwdEIz)( 12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法 dxxMdxdwdEIz)( zdwEIMx dxCdx ()zEI dwMx dxC dx zEI wMx dx dxCxD C C、D D为积分常数，可由梁上某些点的位移为积分常数，可由梁上某些点的位移的已知条件来确定。的已知条件来确定。( )dEIwM xxCEIq( )d )dEIwM xxxCxD 转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程CxxMEId)(zqDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 xq0 x0|0 xw0|0 xqlx 0|lx

8、w0|lxqCxxMEId)(zqDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxqq右左AAqq右左AAff0右左AAqq0Af中间铰中间铰支座支座A中间铰中间铰A绘制挠曲线的方法：绘制挠曲线的方法：1.1.绘制绘制M M图图2.2.由由M M图的正负、零点或零值区，确定图的正负、零点或零值区，确定挠曲线的凹凸或拐点或直线区，挠曲线的凹凸或拐点或直线区，3.3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。由位移边界条件确定挠曲线的位置。BqBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(qDCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21

9、ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(qDCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0Aq0Aw0212CFl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22qEIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22qEIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22qEIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2bxa11xlFbwEI 12112CxlFbEIq1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI

10、q22232322)(66DxCaxFxlFbEIw12112CxlFbEIq1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEIq22232322)(66DxCaxFxlFbEIw01x0Awlx 0Bwaxax21|21qqaxaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC)3(622211lbxlFbEIq122311)(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEIq32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( qba EIblFbwl48)43(222积分法求梁的变形关键点积分法求

11、梁的变形关键点： 分段列弯距方程分段列弯距方程 寻找边界条件寻找边界条件分段 AB、BC、CD三段，六个积分常数边界条件 右左右左ccBBAAfffff 0 0q0 Dccf右左qqPDABC边界条件：BCBAlff 0集中力作用点，集中力偶作用点，集中力作用点，集中力偶作用点，分布力的起、终点为分段点。分布力的起、终点为分段点。支承条件、连续条件、光滑条件。支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少个有多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。边界条件。ABC12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法积分法积分法：得到挠度方程：得到挠度方程w(x)和转角方和转角方程程q q(

12、x) 。因而可求出任意截。因而可求出任意截面的挠度和转角。面的挠度和转角。积分法积分法：繁、荷载复杂时分段多，：繁、荷载复杂时分段多，因而积分常数多。因而积分常数多。依据积分法的结果发展的叠加法效率更高。依据积分法的结果发展的叠加法效率更高。221(3)26MxwPxlxEIEI()EIwMP lx212BMlwEI一、叠加法和叠力原理一、叠加法和叠力原理BAPPBAMBAMM单独作用时的挠度与转角单独作用时的挠度与转角22MxwcxDEIEIwM2323BMlPlwEIEIMxwcEIMxwEI22MxwEIP单独作用时的挠度与转角单独作用时的挠度与转角()EIwP lx 21(3)6wPx

13、lxEI323BPlwEI 2323BMlPlwEIEI221(3)26MxwPxl xEIEI=某梁对应某种荷载情况的挠度为某梁对应某种荷载情况的挠度为w1该梁对应另一种荷载情况的挠度为该梁对应另一种荷载情况的挠度为w2当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为w21www则则同样地，同样地， q q=q q1+q q2弯曲变形很小弯曲变形很小材料服从胡克定律材料服从胡克定律弯矩与载荷呈线性关系弯矩与载荷呈线性关系()E IwMx挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 qPMMM而且在工程实际中，我们往往关心的是一些而且在工程实际中，我们往往关心的是一些指定点的挠度和一些

14、指定截面的转角。指定点的挠度和一些指定截面的转角。 一一 当梁上同时作用几个载荷时，可分当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个载荷单独引起的变形，把所别求出每个载荷单独引起的变形，把所得变形叠加得变形叠加(代数和代数和)即为这些载荷共同作即为这些载荷共同作用时的变形。用时的变形。 -叠加法叠加法叠加法叠加法依据力作用的独立性原则依据力作用的独立性原则,分为：分为：载荷叠加法载荷叠加法和和几何叠加法几何叠加法,其其中载荷叠加法较常用中载荷叠加法较常用载荷叠加法载荷叠加法:将结构上共同作用的不同载荷分将结构上共同作用的不同载荷分解为各种简单载荷单独作用的情解为各种简单载荷单独作用的情况况,然后利

15、用预先计算好的简单载然后利用预先计算好的简单载荷作用下的结果荷作用下的结果(位移、应力等）位移、应力等）进行叠加后得到载荷共同作用的进行叠加后得到载荷共同作用的结果。结果。位移叠加法位移叠加法:将结构上的位移理解为结构各部分将结构上的位移理解为结构各部分累积的结果，为求某点位移，许找累积的结果，为求某点位移，许找到结构各部分变形与所求点位移间到结构各部分变形与所求点位移间的关系。然后将各部分对该点的位的关系。然后将各部分对该点的位求和，得到计算结果。求和，得到计算结果。位移叠加法通常需要将结构的一部分在想象中位移叠加法通常需要将结构的一部分在想象中理解为刚体，即刚化过程。理解为刚体，即刚化过程

16、。叠加法成立前提，线弹性、小变形叠加法成立前提，线弹性、小变形2/2qlM CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAqqqAMqEIMl3AqqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwqtan2CBqqCCqqtanCCBlwwq2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CqEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483qqEIqlEIMlBC243312qqEIqlEIlqC486)2(331q1288)2(441qlEIlqw

17、CEIqllwBC482412qEIqlBC24323qqEIqllwBC482323qEIqlwwwwEIqlCCCCCCCC1284843213321qqqq 图示悬臂梁图示悬臂梁EIz为常数，荷载情况为常数，荷载情况如图所示，试求如图所示，试求B截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。解：先将作用在梁上的荷载分为分布荷解：先将作用在梁上的荷载分为分布荷载载q和集中力和集中力P单独作用这两种情况。单独作用这两种情况。(图图1、2)ABLqPABLqLAPB(2)(1)然后由附录IV查得均布荷载单独作用时418BzqLfEI 316BzqLEIq 集中力单独作用时323BzPLfEI 222Bz

18、PLEIq 应用叠加法应用叠加法3212()62BBBzzqLPLEIEIqqq 4312()83BBBzzqLPLfffEIEI 33BzPLfEI 22BzPLEIq LAPBABLq48BzPLfEI 36BzPLEIq APB348CzPLfEI 216AzPLEIq 45384CzqLfEI 324AzPLEIq 挠度： 3、8、48、584转角： 2、6、16、24ABqPL/2L/2CL/2L/2C 求图示梁截面B的挠度解：为了利用表中的结果，可将原荷载视为图(1)和图(2)两种情况的叠加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)ABCaLqEIz418BzqLfEI

19、ABcLq(1)图(2) CB段M=0，所以CB为直线428CzqafEI326CzqaEIq)( 222aLffCCBq432 ()86BzzqaqafLaEIEIABcLqaq2cf2c(2)B由叠加原理BBBfff21 443()886zzzqLqaqaLaEIEIEI 4433644zqLaLaEI解法2dxaABxLqABxp=qdx距离A端为x的dx梁段上的荷载可视为集中力P22(3)(3)66BzzPxqxdfLxLx dxEIEI 2 (3)6LLBBzaaqxfdfLx dxEI 4433()644zqLaa LEI 对于悬臂梁和简支梁任何荷载都可用此法处理。其引起的挠度查附

20、录IV为ABxp=qdx如何画挠曲线的大致形状如何画挠曲线的大致形状EIxMw)( （1）根据弯矩图中各段）根据弯矩图中各段M的正负号，来确定相的正负号，来确定相应各段挠曲线的凹凸性；弯矩图中应各段挠曲线的凹凸性；弯矩图中M出现正负出现正负号变化的点（号变化的点（0点）为挠曲线的拐点；若弯矩图点）为挠曲线的拐点；若弯矩图中有一段中有一段M=0，则此段挠曲线为直线。，则此段挠曲线为直线。（2）然后，根据边界条件和连续光滑条件，就）然后，根据边界条件和连续光滑条件，就可以将挠曲线的大致形状画出来。可以将挠曲线的大致形状画出来。DBqa0.125qa2+_M举举 例例ABCP11BPqC 分析图示梁

21、各截面的挠度和转角分析图示梁各截面的挠度和转角P1P2ABCDABCP22BPqC 1CPf2CPfQ=P2BMqBCACMfMCPf2C C BP2CM 求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCP为了求AB梁某点的变形可考虑将外力P向B点简化, 图a和图b, AB梁段中任一截面的弯矩均相同, 即弯矩方程不变, A点、B点的支承条件也相同, 因此, 图 a和图b在梁段AB上任一点的挠度和转角均相同。解解：我们分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPLaABCP(a)(b)pam 0而图b即为 简 支梁在B端受 载 ，可查表图(a)中BC梁段与图C的区别在于图(a)中BC段的B截面有转动,

22、而图C中B截面无转动. 我们可先视B截 *Cf*Cf叠加, 即可得到图(a)中C面无转动, 求出C截面的挠度转动对C点挠度的影响与, 然后求出B截面的截面的挠度。LaABCPBCP(a)(c)zCEIpaf33*zzBEIpaLEILm330qaffBCCq* )(32aLEIpazLaABCPBCP*cfqBaqB(b)(c)pam 0aEIpaLEIpazz333一、超静定梁的概念和解法一、超静定梁的概念和解法1多余约束：多余约束： 相对于平衡而言，不需要的约束。相对于平衡而言，不需要的约束。2静定基：静定基： 超静定结构除去多余约束，代以相应约束反超静定结构除去多余约束，代以相应约束反力

23、所得到的静定结构。力所得到的静定结构。3变形协调条件：变形协调条件： 为与原超静定结构等效，静定基在除为与原超静定结构等效，静定基在除去多余约束处应满足的变形条件。去多余约束处应满足的变形条件。4超静定梁的解法：超静定梁的解法：过程：判断超静定次数，除去多余约束，代以约束过程：判断超静定次数，除去多余约束，代以约束 反力形成静定基，利用变形协调条件求解约反力形成静定基，利用变形协调条件求解约 束反力。束反力。比较变形法比较变形法二、例题二、例题例例 求下图所示超静定梁的支座反力。求下图所示超静定梁的支座反力。lABqABqFByMAFAyABqMA解：解：1) )判断超静定次数：判断超静定次数

24、：2) )取静定基：取静定基：0)()( ByFBqBByyy1次次 除去除去B点垂直位移约束点垂直位移约束( (可动铰支座可动铰支座) )，代以约束反力，代以约束反力FBy3) )变形协调条件变形协调条件48qlEIqlFBy83 33ByF lEI04) )利用平衡条件求利用平衡条件求 其余反力其余反力28185qlMqlFAAy ，5) )静定基的选取不是唯一的静定基的选取不是唯一的0)()( AMAqAAq qq qq q变形协调条件：变形协调条件：求图示梁的约束反力。求图示梁的约束反力。ABCqll解：三个反力二个平衡方程 所以为超静定问题0qBRBBfffB048)2(384)2(534zBzEIlREIlqqlRRqlRCAB43 45ACqRB12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计maxLfLfmaxqq对于梁的挠度，其容许值通常用许用的Lf挠度与梁跨长的比值作为标准。对于转角，一般用容许转角q作为标准。即梁的刚度条件