【2020年】上海市虹口区高考数学一模试卷及解析

1、上海市虹口区高考数学一模试卷一 填空题（本大题共 1212 题，1-61-6 每题 4 4 分，7-127-12 每题 5 5 分，共 5454 分）1._（ 4 分）函数 f （x） =lg（ 2-x）定义域为_.2. （4 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，则 f （- 1） +f（ 0） +f（ 1） =.3 . （4 分）首项和公比均为応的等比数列an， Sn 是它的前 n 项和，贝 U2.I : =_.4. （4 分）在厶 ABC 中，/ A，ZB，ZC 所对的边分别是 a，b，c,如果 a：b:c=2: 3: 4，那么 cosC=_.5._（4分）已知复数 z=a+bi

2、 （a，b R）满足|z|=1,则 a?b 的范围是_.6. （4 分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 _ .7 . （5 分）已知M、N 是三棱锥 P- ABC 的棱 AB、PC 的中点，记三棱锥 P-ABC的体积为三棱锥 N-MBC 的体积为 V2,则-等于18 9 10 118（5 分）在平面直角坐标系中，双曲线丄 ：；.的一个顶点与抛物线 y2=12xa的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 _ .9（5 分）已知 y=sinx 和 y=c

3、osx 的图象的连续的三个交点 A、B、C 构成三角形 ABC，则厶 ABC 的面积等于_ .2 210 . （5 分）设椭圆.亠i的左、右焦点分别为 F1、F2，过焦点 R 的直线交椭圆于 M、N 两点，若 MNF2的内切圆的面积为n则S叫二_ .11 （5 分）在厶 ABC 中，D 是 BC 的中点，点列 Pn（n N*）在线段 AC 上，且满足，若 a1=1，则数列an的通项公式 an=_ .nrn 1 n n n12 . （5 分）设 f （x） =x2+2a?x+b?2x，其中 a，b N，x R，如果函数 y=f （x）选择题（本大题共 4 4 题，每题 5 5 分，共 2020

4、分）13.（5 分） 异面直线a 和 b 所成的角为9,贝U B的范围是（）A.（0,牛）B.（0, n）C.（山手D.（0, n14.（5 分）命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为（）A.若XM1,则XM1 或XM-1 B.若 x=1，则 x=1 或 x=- 1C.若XM1,则XM1 且XM-1 D.若 x=1，则 x=1 且 x=- 115.（5 分）已知函数则 f（ 1）+f（2）+f （3） *+f （2017）fCj-2） x0=（ ）A. 2017 B. 1513C.二 D.2216. （5 分）已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=6,在三角形所在的平

5、面内有A.毙！ B. 4, 6C ;化-vJ D.:.- .-三解答题（本大题共 5 5 题，共 1414+1414+1414+1616+18=7618=76 分）17. （14 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPALAB, AC 丄 AB, M为 AC 的中点.（1） 求证：PM 丄平面 ABC;与函数 y=f （f （x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为_ .满足小则瓦|的取值范围是（2） 求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.18- (14分)已知函数-：.1_I :1二 | |,其中 x R,30,且此函数的最小正周期等于n(1) 求的

6、值，并写出此函数的单调递增区间；(2) 求此函数在一、的最大值和最小值.219. (14 分)如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为 2km，宽为 1km的矩形，矩形两边 AB AD 紧靠两条互相垂直的路上，现要过点 C 修一条直 线的路 I,这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点 P 和 Q.(1) 设 AQ=x (km)，将厶 APQ 的面积 S 表示为 x 的函数；(2) 求厶 APQ 的面积 S (km)的最小值.20. (16 分)已知平面内的定点 F 到定直线 I 的距离等于 p (p 0)，动圆 M 过 点 F 且与直线 I 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C,在曲

7、线 C 上任取一点 A,过 A 作 I 的垂线，垂足为 E.(1) 求曲线 C 的轨迹方程；(2)记点 A 到直线 I 的距离为 d,且 -，求/ EAF 的取值范围；JJ(3) 判断/ EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.E1AF21.(18 分)已知无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn, ai=4.(1) 如果 a2=2,且对于一切正整数 n,均有.求 Sn;(2) 如果对于一切正整数 n,均有 an?an+i=S,求S;(3) 如果对于一切正整数 n,均有 an+an+i=3S,证明：a3n-i能被 8 整除.2018 年上海市虹口区高考数学一模试卷参考

8、答案与试题解析一 填空题(本大题共 1212 题，1-61-6 每题 4 4 分，7-127-12 每题 5 5 分，共 5454 分)1. (4 分)函数 f (x) =lg (2 -x)定义域为(-, 2).【解答】解：要使函数有意义，可得 2- x0,即 xv2 .函数 f(x)=lg(2-x)定义域为：(-X，2).故答案为：(-X，2).2 . (4 分)已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，则 f ( - 1) +f (0) +f (1)【解答】解：f (x)是定义在 R 上的奇函数， f (-1)=-f(1)，f(0)=0，即 f (- 1) +f (0) +f (1) =0

9、，故答案为：0.则根据余弦定理得：cosC=+b-F _4k2+9k，T6k _ 12ab12k24故答案为一coa：b：5. (4 分)已知复数 z=a+bi (a, b R)满足| z| =1,则 a?b 的范围是 J 2 2【解答】解： z=a+bi (a, b R),且|z|=1,1，即 a2+b2=1,令 a=cosQb=sinQ则 ab=cosQ?sinQ =疋：三, ab .2 2故答案为：.L2 26. （4 分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三 门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地 理这三门也至少要选一门，则该生的

10、可能选法总数是 18 .【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分 2 种情况讨论：1、从物理、化学、生物这三门中选 1 门，政治、历史、地理这三门选 2 门，有C31C32=9 种选法，2、从物理、化学、生物这三门中选 2 门，政治、历史、地理这三门选 1 门，有C31C32=9 种选法，则一共有 9+9=18 种选法；故答案为：187. （5 分）已知M、N 是三棱锥 P- ABC 的棱 AB、PC 的中点，记三棱锥 P-ABC 的体积为 V1,三棱锥 N- MBC 的体积为 V2,则 h 等于.设三棱锥 P- ABC 的底面积

11、为 S,高为 h,M是 AB 的中点，. ”：;， N 是 PC 的中点，.三棱锥 N- MBC 的高为2则I :,:门一丄二勺吉弘 1故答案为：1.48.（5 分）在平面直角坐标系中，双曲线 1 的一个顶点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 _ _.3【解答】解：根据题意，抛物线 y2=12x 的焦点为（3，0），2若双曲线的一个顶点与抛物线 y2=12x 的焦点重合，a则双曲线的顶点坐标为（土 3, 0），则有 a2=9,2则双曲线的方程为：-y2=1,双曲线的焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为丄故答案为：y2=12x【解答】解：如图,P9.（5 分）已知 y=sinx 和

12、 y=cosx 的图象的连续的三个交点 A、B、C 构成三角形 ABC,则厶 ABC 的面积等于 _近兀_.【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx 和 y=cosx 的图象的连续的三 个交点 A、B、C 构成三角形 ABC 是等腰三角形，底边长为一个周期 T=2n高为伍， ABC 的面积2 匚二匸-,2故答案为：匸.2 210. （5 分）设椭圆.的左、右焦点分别为 Fi、F2,过焦点 Fi的直线交椭圆于M、N 两点，若 MNF2的内切圆的面积为n则 S职卩=4 .2 2【解答】解：椭圆+、的左右焦点分别为 F1, F2, a=2,过焦点 R 的直线交椭圆于 M （冷，y1）,

13、N （X2, y2）两点， MNF2的内切圆的面积为n MNF2内切圆半径 r=1. MNF2面积 S=X1X（MN+MF2+MF2） =2a=4,211. （5 分）在厶 ABC 中，D 是 BC 的中点，点列 Pn（n N*）在线段 AC 上，且满足-1十，若 a1=1，则数列an的通项公式 an=_ I:_.【解答】解：如图所示，TD 是 BC 的中点，二三 Ji 二丁了 +丨匕珂5+1 :：,.+ =Fj+an(+化为：|= ( 1 - an- an+1)： ；+一：,U1n 2 %点列 Pn(n N*)在线段 AC 上，二 1 an an+l+_ =1,2化为：an+i=-丄,-i，

14、又 ai=1,2 则数列an是等比数列，首项为 1,公比为-.212. (5 分)设 f (x) =x2+2a?x+b?2viii ix x,其中 a, b N, x R,如果函数 y=f (x)与函数 y=f (f (x)都有零点且它们的零点完全相同，则(a, b)为 (0, 0)或 (1, 0).【解答】解：根据题意，函数 y=f (x)的零点为方程 x2+2a?x+b?2x=0 的根，如果函数 y=f (x)与函数 y=f (f (x)的零点完全相同，则有f (x) =x,即x2+2a?x+b?2x=x,方程 x2+2a?x+b?2x=x 的根就是函数 y=f (x)与函数 y=f (f

15、 (x)的零点，f x2-H2ax+b* 2z=0的曰c则有，解可得 x=0,.x-F2ax+b* 2x=x即 x2+2a?x+b?2x=0 的 1 个根为 x=0,分析可得 b=0,则 f (x) =x2+2a?x,解可得 X1=0 或 x2= - 2a,00f（f（x）=（x2+2a?x）2+2a（x2+2a?x）,若函数 y=f （x）与函数 y=f （f （x）的零点完全相同，分析可得 a=0 或 a=1,则（a, b）为（0, 0）或（1, 0）; 故答案为（0, 0）或（1, 0）.二选择题（本大题共 4 4 题，每题 5 5 分，共 2020 分）13. （5 分）异面直线 a

16、和 b 所成的角为9,贝U B的范围是（）A.（0,今）B.（0, n）C.（0,今D.（0, n【解答】解：异面直线 a 和 b 所成的角为9, 9的范围是（0,.故选：C.14. （5 分）命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为（）A.若XM1,则XM1 或XM-1 B.若 x=1，则 x=1 或 x=- 1C.若XM1,则XM1 且XM-1 D.若 x=1，则 x=1 且 x=- 1【解答】解：命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为若XM1，则X2M1”；即若XM1,贝 UXM1 且XM-T.故选：C. f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2017)15,5分

17、）已知函数f（唱心2）则 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2017)=( )A. 2017B. 15133025【解答】解:;函数00=1009Xf(-1)+1008Xf(0)=1009X2-1+1008X20=.故选：D.16. (5 分)已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=6,在三角形所在的平面内有B. 4, 6D.；.二1 _【解答】解：以 AB, AC 为坐标轴建立坐标系，则 B (4, 0), C (0, 6),| 丁|=2,二 M 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径的圆.N 是 MC 的中点.设 M (2cosa2sin )贝 U N

18、(cosasina3),二【匸(cos a- 4, sin +3),QQQ二 | BN| =(cos4)+(sin +3)=6sin-8cosa2 6=10sin( a- )+26,当 sin ( a- ) =- 1 时，| ：门| 取得最小值-J iui 二 24, 当 sin ( a- ) =1时，| ：门|取得最大值 J. W.故选 B.满足 d | . , u 则正；丨的取值范围是()C.A.- 2 -穆刃 15 5 题，共 1414+1414+1414+1616+18=7618=76 分）17.（14 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPAAB, AC 丄

19、 AB,M 为 AC 的中点.(1) 求证：PM 丄平面 ABC;(2) 求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.【解答】证明：(1)在三棱锥 P- ABC 中,PA=AC=PC=AB=aPA!AB, AC 丄 AB, M 为 AC 的中点. PM 丄 AC, AB 丄平面 PAC PM 丄 AB, ABAAC=A 二 PM 丄平面 ABC.解：（2）连结 BM, PM 丄平面 ABC, / PBM 是直线 PB 和平面 ABC 所成的角,PA=AC=PC=AB=aPA!AB , AC 丄 AB, M 为 AC 的中点,二 PM=,BM=，.：一 ,c三解答题(本大题共V5tan/ PB

20、M= 丫 =*/i r_1u- - - - 5直线 PB 和平面 ABC 所成的角为 arctan 丨5可得 f (x) =2sin (汰)，由二广- -二 2xi , 一；I -I -,得：，二 x0,(1)求3的值， 并写出【解答】解：函数 m1 二1 = sin3+COS3x=2sin(1)v函数的最小正周期等于n即-JkZ(2)vf(x)=2sin(2x(2x当 2x.二时，函数 f （x）取得最大值为2.当 2x.：时，函数 f （x）取得最小值为-1 .19.（14 分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为 2km，宽为 1km的矩形，矩形两边 AB AD 紧靠两条互相

21、垂直的路上，现要过点 C 修一条直 线的路 I,这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点 P 和 Q.（1）设 AQ=x（ km），将厶 APQ 的面积 S 表示为 x 的函数；（2）求厶 APQ 的面积 S（ km）的最小值.【解答】解：(1)设 AQ=x,则由得：.”BC BP AP-AB * AP-2即 AP=-x-112故 S=：一 = (x1)；2x-1(2)由(1)得：S - (x 1);(K-l)2当 x（1，2）时，Sv0，当 x（2，+x）时，S0，故 x=2 时，Smin=4.20.（16 分）已知平面内的定点 F 到定直线 I 的距离等于 p （p 0），动圆 M 过

22、点F 且与直线 I 相切， 记圆心 M 的轨迹为曲线 C,在曲线 C 上任取一点 A,过 A 作 I 的垂线，垂足为 E.（1）求曲线 C 的轨迹方程；（2） 记点 A 到直线 I 的距离为 d,且*，求/ EAF 的取值范围;43(3) 判断/ EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.E1AF【解答】解：(1)如图，以 FK 的中点为坐标原点 0,FK 所在的直线为 x 轴，过 0 的垂线为 y 轴建立直角坐标系,即有 F (号，0),直线 I: x=-号,动圆 M 过点 F 且与直线 I 相切，可得 | AE =| AF|，由抛物线的定义可得曲线 C 的轨迹为 F 为焦点、

23、直线 I 为准线的抛物线,可得方程为 y2=2px；(2)点 A 到直线 I 的距离为 d,可得|AE=|AF|=d，且二设 A (xo, yo),可得 yo=2pxo,即有 dT ,则xo=d，即有| EF2=p2+yo2=p2+2p (dJ)=2pd,在厶 EAF 中，cos/ EAF=1I.I.-2 |AE| - |AF |可得-1 wcos/ EAF34可得 arccos 0,则直线 AM 的方程为 y- y=(x- xo),贝Uyoy- yo2=px- pxo,化为 yoy=px+pxo,代入抛物线的方程 y2=2px,消去 x 可得，y2- 2yy+2pxo=O,即为(y- yo)2=0,可得 y=yo, x=xo,即ZEAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.1IZA、21.(18 分)已知无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn, a=4.(1) 如果 a2=2,且对于一切正整数 n,均有.，-：,求 Sn;(2)如果对于一切正整数 n,均有 an?an+1=Sn,求S；(3)如果对于一切正整数 n,均有 an+an+1=3S,证明：a3n-1能被 8 整除.【解答】解：(1)v无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn, a1=4.82=2,且对于一切正整数 n,均有：;_