2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题06切比雪夫函数

1、专题06切比雪夫函数-考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定 义域和值域相同。大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问 题，然后就进入讨论的误区。深入讨论，就会发现，计算复:杂，讨论纷扰。最后就是不了了 之。然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此 时的应用，就可以让我们秒解这类题目。数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数 学。二.经验分享L切比雪夫不等式马尔科夫不等式：P(Xa)0)；切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：P(|X-kb) (其中0,4是期望，b是标准差).

2、2.切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定 理。主要意思：小情的大多会集中在平:均值附近或者事情的发生大多在平:均值上的概率最大。 也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可 能正确，也有可能不正确。但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。发生的概率是 最大。但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。三、题型分析()切比雪夫函数的巧解例 1.己知函数若时，|/(x)归 1,则;4 + 6 的最大值是.【传统解法】解析：先找必要条件|/(-l)H

3、-| + l|+6 + l|l=-k+l|+6i(r+l)+60=ia + &- 22222取= -L 令4 = 0,5 =f(K)=f +-|x| -36-11易知/(力为偶函数在0内增,验证1/(0)区LI/(D|W1=M切W1满足题意。【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：/(l)=/+1-。|+及786/?),若e-Ll时，|/(x)| 0) , xe-1,1时，|/(x)归1恒成立，则 |)=【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式:若xe时，|到41恒成立，也就是对称轴应该是X = 0 ：工=上=0，解之得：m=2, f(x) = 2x?+，故此|/(l)|=|

4、2 + n区 1 恒成立：-2m故此麓=一1,所以/(x) = 2x?l1_9(-)其他类型函数的 例2. 2019年高考浙江】已知。R,函数/(x) = o？-x,若存在fwR,使得2 |/(f + 2)-/(0|-则实数。的最大值是4【答案】-322【解析】存在f R，使得|/(f+ 2) /(f)区 ,即有| (f + 2)3 (f + 2)+f区 , 化为|2(3产+6/ + 4)-2区;,可得一;K2Q(3 + 6f + 4)2：, 即,产+ 6f + 4)g,由3 + 6f + 4 = 3(f + l + l2 1,可得0ag.4 则实数的最大值是.【名师点睛】本题考查函数的解析式

5、及二次函数，结合函数的解析式可得2|n(r+2)3-(r+2)-ar3 + r|-,去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试(B卷)数学】已知函数x +1./(1) = ,X 0 g(x) = x2_x_2,设6为实数，若存在实数。，使得g(b)+/(a) = 2成立，则b的取值范围为A. -1,2B.3 7 252C.3 72,2D.-r4【答案】A【解析】因为/(1) = 0所以当xNO时，f(x) = 2单调递增，故f(x) = 2加之2；当 X(T)+ (一J 之2,当且仅当一4 = 一1,即工二一1时，取等号， X

6、综上可得，/E 2,+8)一又因为存在实数力使得9(b)+a)=2成立，所以只需训2 矶附，即g(b)=/匕2 o,解得一1 b2.故选A.【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域,将存在实数即使得ffW +/(a) = 2成立，转化为g(b) 0；22 22121构造函数 H(x) = ln(),(x 0), / (x) = xf - - in (x 0) 222 22)故当工0,2五卜/(x) = x1-ln |0, 3) = 3-311吟)是单调递增; 当工2后,40), ” (x) = x(g-ln) 0)的最大值”(2 JZ) = e ：从而得到ab的最大值为e四.迁移应用，/ 、 f

7、log,(l-x),x0/(-c. (-,+oo)D. (4,”)【答案】A【解析】函数/(工)=1082(/一3X一4),则 x? - 3工一4 0=*(x-4)(x + l) 0=x4或14或工一1,由y = log?x是单调递增函数，可知函数“X)的单调减区间即y = V -3x4的单调减区间，)+/(1023)=A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】B【解析】,函数 /(力=吃(3)+ f (log, 3)= log2 4+”3 =2+9=11.故选B.【名师点睛】本题考杳分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题.2.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二

8、次模拟数学】函数/(工)=108式丁-31-4)的单调减区间为3A. (-,-1)B. (-O0,-)3当时，函数y = / 3%一4单调递减，结合“X)的定义域，可得函数/(力=1唯(/一31一4)的单调减区间为(-8,1).故选A.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调 区间.3.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)数学】若函数/(X)是定义在R上 的奇函数，/0)= 1，当X0时，/W = log2(-x) + w,则实数阳=A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】/(x)是定义在R上的奇函数，/(；) = 1，且x /

9、(4),而选项c在Xo时是递增的，故排除c.故选D.【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是 解题的关键，属于基础题.5 .【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数y = /(x)的大致图象如图所示，则/(x) 的解析式可以是A. = e +eex + e-xc. =B. /=- e ee* _ eD.=【答案】C【解析】当XT。时，f (x) Tioo,而A中的0,排除A； 当 xVO 时，/(x) 0,0,排除 B, D,选项 D 中，f(x)=e e故选C.【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的 取值范

10、围可快速解决这类问题.6.【北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学】已知函数/(1) = ，若函数/(X)存在零点，则实数。的取值范围是-x, xaA. (-oo,0)B. (-oo, 1)C. (l,4-oo)D.(0,+s)【答案】D2* x a【解析】函数/() = ，Xa的图象如图：-x,xa-I3 4 5公函数/(X)存在零点，则实数。的取值范围是(0, -KX).故选D.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力.7.【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习(二)数学】已知函数丁 = /。)的定义域为R,f(x+1)为偶函数，且对

11、/周居41,满足J- ”0.若/(3) = 1,则不等式 X2X1/(log2 X)V1的解集为A. 8)B. (1,8)C. O,；)U(8,”)D. (f4)U(8,K)【答案】Af(x )_ f(x 【解析】因为对l时，是单调递增函数，又因为/(3) = 1,所以有/(-1)= 1,当logxKl,即当0vx2时，/(log?x)/(log2x)log2x-l=xi,.；l,即当x2时，/(log2 x) f (log2 x) log2 jvx8,/.2x8,综上所述：不等式/(1。氏工) 0)，则 y = f(x)是。上的增函数；X2-Xl若(7(公) 一 %) (9 8) 0(/区)

12、-/0的解集是22A. (- 2)2 222C. , )D. (-O0,-)U(-, + oo)【答案】D 【解析】因为/(x+2)是偶函数，所以/(x)的图象关于直线x = 2对称，因此，由0) = 0得*4) = 0,又f(X)在(F，2上单调递减，则/(X)在2,内)上单调递增，所以，当23x22即xKO时，由23劝0得”2_3冷/(4),所以23%4,解得X -y:当23x0时，由/(2 3劝0得f(2 3x)/(0),所以23x - 9322因此，/(2-3刈0的解集是(_8, ：)U(, + 8).故选D.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得

13、到函 数在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式.9.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R上的函数/(X)在区间0,+8) 上单调递增，且y = x-l)的图象关于x=l对称，若实数满足log24)v/(2),则 。的取值范围是A.B.D. （4,-Kx）【答案】C 【解析】根据题意，y = f(xl)的图象关于直线x=l对称，则函数f(x)的图象关于丁轴对称，即函数f(x)为偶函数，又由函数“X)在区间0,+8)上单调递增，可得 /(| log26f |)/(2),则 I log?” | 2,即一2log,a2,解得4即的取值范用为(,4).故选C.【名师点睛】本题考查

14、函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法.10.【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试(B卷)数学】已知函数一+1 x 0g(b) + f(a) = 2成立，则6的取值范围为A.B. -37f 3 /22(2【答案】AX2 4-1_Z X，X 0所以当xNO时，f(x) = 2单调递增，故/(力=26之2；当x2 ,当且仅当一4 = -1,即x = 1时，取等号， X综上可得，f(x)e 2,+00).又因为存在实数Q,使得g(b) +/(a)=2成立，所以只需9(b)工2 - f(a)mjn,即9(b)=从一5一 2二0,解得一1 b2.故选A.【名师点睛】本题主要考查分段函数的

15、值域，将存在实数q,使得9g)+/切=2成立，转1JlogJ2x+l)化为9(b) 0log1 (2x+l) 0，解得一 Lx0.2则f(x)的定义域为(一,0).【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.12.【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学】若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，b,使得对定义域的任意x值，均有/(冷+ /(2。一#=26,已X知/W =为准奇函数“，则a-rb=.X-1【答案】2 【解析】由/(劝+/(2。一口=26知”准奇函数叮关于点Q6)对称.X1因为/(劝= =1+关于(L1)对称，所以。=1，b = l， x-1x-l则a+b=2

16、.故答案为2.【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题.13.【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数/(x) =4+ log、生竺为奇函数，则实数。=.X 1-X【答案】1【解析】.函数/(X)= L + Iog?生丝为奇函数，.J(T)= f(x)，即 f (-x)+/(x) = 0,nil 1 . 1-ax 1 .1 + ajc _ nnl(1 + ax 1-arA则+ log,+ + log,= 0 ,即 log J=0 ,x 1 + x x- 1-x 1-x 1 + x)1 + ax 1-ax l-a2x2 . mi

17、.,.,1-X1+X1-X-a2 = 1,则。= 1.11 Y当 4 = -1 时，/(X)= - + 10g2p,则f(x)的定义域为：卜卜。0且XW1，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；11 + X当 a=i 时，y(x)=-+iog,-,满足题意，X - 1-X.a -1 -【名师点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解 决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误.14.【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线/与曲线y = x5-x + l有三个不同的交点4(士,弘)，B(x2,y2), c(x3,y3),且|A8|=|AC|,则(4 + 乂)=1=1【答案】3【解析】由题意，函数y = 是奇函数，则函数y = d x的图象关于原点