2013年高三理科数学第一轮复习(2)--函数的值域及最值(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年高三理科数学第一轮复习（2） 函数的值域及最值考纲要求1、会求函数的值域2、会求函数的最值命题规律函数值域问题高考考查一般都有一定难度，虽然课本上出现较少，但高考中却时常出现，因此对一些常用方法要熟练掌握。函数的最值问题通常同值域和单调性一起考查。单调性和最值的几何意义也时常出现，这种题往往具有一定的技巧性。考点解读考点1 函数的值域 确定函数的值域或最值必须首先探求函数在其定义域内的单调情况。若是基本初等函数，则优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图像和性质求解；若为其他函数，则可先利用单调性定义或导数法确定其性质，再

2、求值域。考点2 函数的最值求最值的方法很多，常见的有单调性法、换元法、判别式法、不等式法及导数法等。用法也比较灵活，解题时要注意具体问题具体分析，根据给出的函数的特征决定用何种方法。分段函数求最值一般以选择题或填空题的形式出现，难度较小。考点突破考点1 函数的值域典例1 设函数，则的值域是（ ）（A） （B） （C）（D）解题思路 分段函数，分段求值域，然后综合考虑。解题过程 依题意知，。选D易错点拨 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，难点在于没有直接给出分段范围，要去自己去解，理解上有一定难度。变式1 函数的值域为 ( ) AR B C D点拨 对于分段函数的值域，可看做两个函数，分别

3、求出值域再取并集。答案 当时，；当时， 所以值域为 选B典例2 已知二次函数f(x)ax2x(aR)，对任意总有，则实数a的最大整数值为( )A -2 B0 C2 D4解题思路 求分式型函数的值域的方法：（1）上下都是一次时，分离常数；（2）既有一次又有二次时，先把一次换为，再用表示二次，最后转化为“倒和”或“倒差”；（3）上下均为二次时，判别式法。解题过程 由得， 即，所以，题目要求实数的最大值，即求函数的最小值，现令，即求的最小值，则时取最小值2，故选C。易错点拨 本题也可先换元：令的范围，再结合的图象解题。变式1 规定符号表示一种运算，即其中、；若，则函数的值域；点拨 由已知可得1则得所

4、以=，又因为，所以在定义域上单调增，则最小值在时取得，为1，所以值域为。答案 考点2 函数的最值典例1 求在区间上的最大值和最小值。解题思路 解决该问题的方法是结合图象分类讨论。解题过程 ，对称轴为直线。（1）当时，画出简图，由图可知，（2）当时，画出简图，由图可知，（2）当时，画出简图，由图可知，（2）当时，画出简图，由图可知，易错点拨 该题为典型的“轴动区间定”型题目，求最小值时可以分三种情况讨论，但对称轴在区间内所对应的区域时，最大值可能是，也可能是，故应分4种情况。解答此类问题时，画出草图是必不可少的，有助于解题。变式1 求函数的最大值。点拨 可以考虑用换元法将其转化为二次函数的最值问

5、题，但注意倒为增函数，为减函数，则原函数是增函数，于是利用函数的单调性求其最值。答案 法一：令，则所以因为，所以在上为减函数，所以当时，y有最大值。法二：函数的定义域为因为在上递增，在上递减，所以在上为增函数，所以当时，y有最大值。综合突破突破1 函数的最值问题与单调性结合考查典例1 已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1)。(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3，3上的最大值和最小值解题思路 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(

6、x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2·或x1x2x1x2等解题过程 (1)证明：法一：函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0。再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二：设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0

7、，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3，3上也是减函数，f(x)在3，3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2。f(x)在3，3上的最大值为2，最小值为2。易错点拨 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形变式1 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0。(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2，9上的最小值点拨 (1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0。(2)

8、任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在0，)上是单调递减函数f(x)在2，9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2。f(x)在2，9上的最小值为2。答案 （1）f(1)0；（2）单调递减函数；（3）最小值为2。突破2 函数最值与导数结合考查典例2 已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。解题思路 对函数进行求导运算，然后根据函数的单调性确定其最值解题过程 （I），令；

9、所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以易错点拨 注意求导的准确性。注意各个区间的单调性的讨论。快乐训练1、函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，) B0，) C(1，) D1，)2、若函数，则（）Alg101BbC1D03、函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）A（，1） B（，+） C（，）D（，+）4、函数的最大值是_。5、方程的解为_。6、已知函数则的值是( )A 27 B C D 7、定义， 则等于（ ） A B C D8、设函数，证明：当0时，0；提高训练1、设，则的

10、解集为（ ）A。 B。 C。 D。2、设，则_。3、设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 。 4、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_。5、设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是6、已知函数，求函数的最大值；7、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为。设该容器的建造费用为千元。（）写出关于的函数表达式

11、，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的。8、设。（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值。超越训练1、如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米。某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3。2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由。2、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时

12、）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）3、如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（）写出的表达式（）设0v10，