上海市2020-2021学年青浦区高三数学一模试卷

1、青浦区2020学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有10题，1-6每题5分,7-10每题6分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1 .已知集合A = 1,2,3,4, 8 = 0,2,4,6,8,则AC|8 =.2 .函数y = 2、的反函数是.1 2 33.行列式4 5 6中，元素3的代数余子式的值为.7 8 944 .已知复数z满足z + = 0,贝Ulzl=.z5 .圆锥底而半径为k加，母线长为2。，则其侧而展开图扇形的圆心角夕=.6 .已知等差数列q的首项 = 1,公差d = 2,其前项和为S

2、“，则Jim”k=.7 .我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为2和 N*）,则也14是x的a c v/ a+c1572215722更为精确的近似值.己知外兀,，试以上述兀的不足近似值而和过剩近似值早为依据，那么使用两次“调日法”后可得兀的近似分数为. 8.在二项式（6+白）。 0）的展开式中X-的系数与常数项相等，则的值是.22229 .点A是椭圆G：二+t=1与双曲线C：二一二=1的一个交点，点0A是椭圆G的两 25 16- 45个焦点，则146114入1的值为.10 .盒子中装有编号为1, 2, 3

3、, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是.（结果用最简分数表示）二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11 .已知则 “ = /?” 是 = 的（）.2（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件12 .类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论:垂直于同一条直线的两条直线互相平行：垂直于同一条直线的两个平面互相平行：垂直

4、于同一个平面的两条直线互相平行：垂直于同一个平面的两个平面互相平行.其中正确的是（）.（A） （B） （C）（D）13 .已知顶点在原点的锐角e绕原点逆时针转过g后，终边交单位圆于（一?，），），贝k加a的63值为（）.233谑毡 （D）6666其中是实数集R的两个非空子集，又规定-x, xe P14 .设函数/（x）= 1一,xeM,xA（P） = y y = f（x）,xP , A（M） = yy = f （x）,x e M,则下列说法： 一定有A（P）nA（M）= 0： （2）若PUMWR,则A（P）UA（M）wR；（3） 一定有0p|M=0：（4）若尸UM = R，则A（P）U4（M）

5、= R.其中正确的个数是（）.（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4三.解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤.15 .（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，长方体中，AB = AD = 441=2 ,点尸为OR的中点.（1）求证：直线平面尸AC：（2）求异面直线8鼻与4P所成角的大小.16 .（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数/（x） = /+lx al,。为常数.（1）若/（X）为偶函数，求。的值：（2）设。0, g（x） = 42, xw（0,a为减函数

6、，求实数的取值范围. X17 .（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCQ是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在A3上，在梯形QE8C区域内 部展示文物，OE是玻璃幕墙，游客只能在AOE区域内参观.在AE上点尸处安装一可旋转 的监控摄像头，NM/W为监控角，其中M、N在线段OE （含端点）上，且点用在点N的 右下方.经测量得知：40 = 6米，A七=6米，A尸=2米，ZMPN =-.记/EPM = B （弧 4度），监控摄像头的可视区域4 PMN的面积为S平方米.（1）分别求线段尸M、PN关于。的函数关系式，并写出。的取值范闱：（2）求S的最小值.18

7、 .（本题满分16分）本题共3小题，第（D小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知动点M到直线x + 2 = 0的距离比到点b（1,0）的距离大1.（1）求动点M所在的曲线C的方程：（2）已知点P（l,2）, A、8是曲线。上的两个动点，如果直线R4的斜率与直线08的斜率 互为相反数，证明直线A8的斜率为定值，并求出这个定值：（3）已知点P（l,2）, A、8是曲线。上的两个动点，如果直线R4的斜率与直线08的斜率 之和为2,证明：直线A3过定点.19 .（本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.若无穷数列%和无穷数列满足：存在正常数使得对

8、任意的wN均有 an-bn0,且x（0,a /、 f（x） x2+|x - a| x1 + a-xa ,所以 g（x） = L_ =!= x + - l ,XXXX任取。VX xya9 g（X）-g（x）=演 + J-X）- - - 王 .因为0玉工24。，所以X1 0且0 为工2 ,又g（X）在区间（0, 4上为减函数，所以玉4 为工2，所以又。0，所以17.（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：(1)在PME 中，ZEPM = 8, PE=AUP=4 米,/PEM = , /PME = -6,PM由正弦定理得PEsin /PEM sin /PME所以PM二

9、生勺比空上sin /PMEsin(江-6) sin 6 +cos 6 4PN同理在中，由正弦定理得PEsin /PEN sin 4PNE所以2/22/2z九4 cos 0 sin(0)2当M与E重合时，8 = 0 ；当N与。重合时，tan ZAPD = 3,即ZAPD = arctan 3 ,jt、p37r6 = tiarc tan 3 = - - arc tan 3 , 所以arc tan 3 ：(2) APMN 的而枳 S=工PM x PN xsin NMPN =2cos2 8 + sin6cos61 + cos 20 J . ga sin 2 + cos 2 + 1十sin 20V2si

10、n(26 + -) + l43兀因为0W6K2 wrtan3,所以当29 +2=2即6 =三 0,二一ctan3时,S取得最小值为-4 = 8( JI 1)V2 + 1所以可视区域尸MN面积的最小值为8( JI-1)平方米.18.(本题满分16分)本题共3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分.解：(1)已知动点M到直线x+2 = 0的距离比到点尸(1,0)的距离大1,等价于动点M到直线x = -l的距离和到点F(1,0)的距离相等,由抛物线的定义可得曲线C的方程为丁 =以设直线PA的斜率为A ,因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为A,则/小：

11、 )_2 =攵(工-1), I/ y-2 = _k(x l) ,)(1)=b,2_4),_必 + 8 = 0或小2_(2公_4攵+4卜 +(2一攵)2 =0即b，+ (2A4)(y 2) = 0,所以可得4 土二1,匕主 k k /同理得2 = k(x 1),/、)、+4y - 4k -8 = 0 或 kx-(2内+4k + 4)x + (A + 2) =0)广=4工即b，+(2Z+4)(y 2)= 0,所以可得8 f，二41乂4一2攵 4一2攵- k =KK一 = -1一心（2 +4（2-攵即直线A8的斜率为定值1：（3）设直线月4的斜率为k,所以直线08的斜率为2k,则)_2 k(x -

12、1) 9 lPH： y - 2 = k(x - l)_2 =攵(1) y2 = 4x-4y-4k + 8 = 0即b，+（2A4）（y 2） = 0,所以可得4 二Ll,匕主 同理得 k ky-2 =(2 - 1)、7=(2_k)y-y +4k=0k1 2kj2=4x即(2 %)y 2打(y 2) = 0,所以可得82k 4 2k相仄- k _ Hk-2）k2 （2-k）2 代-2k+ 22-k k2-2k + 2 （2-k）2） / H-2k + 27所以直线A8恒过（1,0）19.体题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）因为4“ =

13、2 , bn = + 2（ e N）若数列与具有关系尸,则对任意的均有an-bn1,所以数列对与也不具有关系尸.1/1 y-1（2）证明：因为无穷数列%是首项为1,公比为的等比数列，所以q=,3131因为，=2N+1,2= 1- -1,所以数列禺与也具有关系P（A）.所以设乂的最小值为A），|。 一 4，因为|q7 1 22若 0alog3 二-时，3 2则1一市4,这与“对任意的eN*,均有旧一仇区4”矛盾， 所有4 = 1,即,4的最小值为L（3）因为数列q是首项为1,公差为d（dR）为等差数列,无穷数列也是首项为2,公比为q伍七N）的等比数列，2所以a” =q +（-l）d = d +

14、l-d , bn =耳旷 =不广,2设_ = 4，_ = 0 ,则 % =,加 + a , bn = bqn , n e N*. q数列4与他具有关系（4），即存在正常数4使得对任意的 e N* ,均有|。 一区A .（二）当4 = 0, “ = 1 时，|。“一| = |1-2| = 11,取A = l,则an-bnA,数列4与也具有关系P（A）；（）当4 =。，4之2时，假设数列4与也具有关系P（4）, 则存在正常数儿 使得对任意的N均有何21KA.因为可一同同一切,所以，对任意的eN，麻卜区A,1 1 A1 + Ahqn + A,所以 Wlog“T，bb这与“对任意的wN,均有四|一网区4”矛盾，不合；（=）当400, 4 = 1时，假设数列q与妇具有性质尸（A）, 则存在正常数4使得对任意的 wN均有|可一年区A.因为同一版区小一切,所以，对任意的eN 一版区4,即2+A, |d+42+A,所以口川一问2+4, Wj , 这与“对任意的eN，均有|2区4矛盾，不合：（二）当400, qN2时，假设数列4与也具有性质尸（A）,则存在正常数，4,使得