13.建模作业_优化问题

1、数学建模课程作业题-13第五章优化模型优化问题1.已知某工厂计划生产I,II,III三种产品，各产品需要在 A,B,C设备上加工，有关数据如下：产品设备IIIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058400C21310420单位产品利润（千兀）322.9试问：（1）如何发挥生产能力，使生产盈利最大?模型的建立及求解：设生产I,II,III 产品x1 , x2, x3件z为所获得的利润。于是数学模型如下: max z = 3X| 2x2 2.9x38x1 +2x2 +10x3 <30010x1 +5x2 +8x3 <400%为 +13x2 + 10x3 <420x1,

2、x2,x3>0;利用matlab求解（附录一）得到最优值Z =135.2667 （千元），生产方案如下表。产品IIIIII数量23237生产I,II,III产品分别为23,23,7利润最大为125.2667千元（2）若为了增加产量，可租用别的工厂设备 B,每月可租用60台，租金1.8 万元，租用B设备是否划算？模型的建立及求解:租用别的工厂设备B以后模型为:max z =3x1 2x2 2.9x38x1 +2x2 +10x3 <30010x1 +5x2 +8x3 <460 2x1 13x2 10x3 <420 x1,x2,x3.0;利用matlab求解（附录二）得到最优

3、值 Z =129 （千元）， 生产方案如下表。产品IIIIII数量31280生产I,II,III产品分别为31,28,0利润最大为129千元。（3）若另有俩种新产品IV、V，其中新产品IV需用设备 A为12台时，B为5 台时，C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需用设备 A为4台时，B 为4台时，C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如A,B,C的设备台时不增加， 这两种新产品投产在经济上是否划算？模型的建立及求解：添加两个新产品IV、V后，IV、V对应的产品数分别为x4, x5,建立模型如下：maxz = 3x1 2x2 2.9x3 2.1x4 1.87x58x1 +2x2 +1

4、0x3 +12x4 +4x5 <30010x1 +5x2 +8x3 +5x4 +4x5 <4002x1 13x2 10x3 10x4 12x5 <420x1,x2, x3,x4, x5 :二 0;利用matlab求解（附录三）得到最优值 Z =136.9625 （千元），生产方案如下表。产品IIIIIIV数量27160014生产I,II,III , IV, V产品分别为27,16,0,0,14 利润最大为136.9625千元（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构.改进后生产每件产品I需用设备 A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对 原计划有何

5、影响？模型的建立及求解：改进结构后，建立的模型如下：max z = 4.5x1 2x2 2.9x39x1 +2x2 +10x3 <300/2.5x1 +5x2 +8x3 <4004x1 13x2 10x3 -420x1,x2,x3 -0;利用matlab求解（附录四）得到最优值 Z =153.1618 （千元），生产方案如下表。产品IIIIII数量23250生产I,II,III产品分别为23,25,0利润最大为153.1618千元2.有一个大型的冶金矿山公司，共有 14个出矿点，已知其年产量及各矿点 矿石的平均品位（含铁量的百分比）如下表所示：各矿点信息矿点号出矿量（万吨）平均铁品

6、位（%）矿点号出矿量（万吨）平均铁品位（%）17037.16815.448.342751.2592.749.0831740.00107.640.2242347.001113.552.715342.00122.756.9269.549.96131.240.727151.41147.250.20按照炼铁生产要求，在矿石产出后，需按要求指定的品位值T进行不同品位矿石的混合配料，然后进入烧结工序.最后，将小球状的烧结球团矿送入高炉进行 高温炼铁，生产出生铁 该企业要求：将这14个出矿点的矿石进行混合配矿.依据 生产设备及生产工艺要求，混合矿石的平均品位T规定为45% .问：应如何配矿才能获得最佳效益？

7、 模型的建立及求解：设从第一矿点到第十四个矿点，每个矿点的配矿量分别为xi万吨（i表示矿点数），每个矿点铁的平均品味为yi。由题目给点条件，可得如下线性规划模型：Max=£ （xiyi）,i =1,2,3,111,14 （1）将（1）展开Max =0.3716x10.5125x20.4x3 0.47X4 0.42x50.4996x60.5141x70.4838X80.4908x90.4022x1。 0.5271xn0.5692x120.4072x130.5020x14约束条件为混矿后的平均品味限制和各矿点的含矿量限制：工（xyMN X,i =1,2,3,|,14 （2）将（2）展开(

8、0.3716为 0.5125x2 0.4x3 0.47x4 0.42x5 0.4996x6 0.5141x7 0.4838x80.4908x9 0.4022x10 0.5271刈 0.5692x12 0.40723 0.5020x14)二0.45(x1 x2 x3 M x5 x6 x x8 x9 x10 x11 %2 X3 x14)'0.0784xi-0.0625x2+ 0.05x b0.02x 才 0.03x -0.0496x0.0641x7 0.0338x80.0408x/0.0478x 巾0.077仅 一-0.1192x1 2+0.0428x 1T0.052x 10简化得:0 &

9、lt;Xi <70,0<X2<7,0<x 云 170 <x4 <23,0<X5<3,0<x S9.50Mx7 <1,0<x8<15.4,0<x 矣2.70 <Xio <7.6,0<i <13.5,0<Xi2 <2.70<Xi3< 1,2,0 <Xi4 <7.2得到最终模型:Max=' (xy )i,= 1, 2|3,。0784为-0.0625x2 +0.05x3 -0.02x4 + 0.03% 0.04964-0.0641x7 -0.0338x8 -

10、0.0408x9 +0.0478x10 -0.07711-0.1192x12 +0.0428x13 -0.052x14 <0S.T<0< <70,0 <x2 <7,0<x3 <170<x4<23,0<x5 <3,0<x6 <9.50<x7 <1,0 <x8 <15.4,0<x9 <2.70<o <7.6,0<xn <13.5,0<2 <2.70<3 <1.2,0<x14 <7.2利用matlab求解（附录五）得到最佳

11、效益 Max=63.8991,具体分配方案见下表。矿点1234567891011121314J里317172339.5115.42.77.613.52.71.27.23.三个家具商店购买办公桌：A需要30张，B需要50张，C需要45张. 这些办公桌由两个工厂供应：工厂 1生产70张，工厂2生产80张,下表给出了 工厂和商店的距离（单位公里），假设每张每公里运费0.5元,寻求一个运送方案使运费最少?工厂和商店的距离工厂家具店ABC11053027205模型的建立及求解：设工厂1运给A x1a张，给B x1b,给C x1c张。工厂2运给A x2a张，给B x2b,给C x2c张，z表示最小费用。m

12、in z = 10* x1a 5* xlb 30* x1c 7* x2a 20* x2b 5* x2c* 0.5'x1a +x1b +x1c <70x2a +x2b + x2c <80xla +x2a =30xlb + x2b = 50xlc +x2c = 45，0 Exla <300<x1b<500 < x1c < 450<x2a<300 Ex2b <500 Mx2c <45.利用matlab求解（附录六）得到 A B C分别在工厂1和工厂2的购买张 数，如下表：工厂家具店ABC10500230045最优方案为：工厂一

13、运给A店铺0张，给B店铺50张，给C店铺0张。 工厂二运给A店铺30张，给B店铺0张，给C店铺45张 总运费为342.5元4 .某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多），今为制造零件， 要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分.生产任务规定，这 三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根.所有截法如下表所示.我们知 道，截钢管时不免要产生 边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度? 所有可能的截法截法(1)(2)(4)(5)(6)(8)需要量长度 7021110000100520210321015

14、03510130235100边料（cm）56235246235模型的建立及求解：设Xi表示第i种方法截的数量，（i =1,2,8） , Z表示剩余边料的总和，为了 节约材料，Z越小越好，而且还得满足各个长度的数量要求。建立模型如下：min z = 5x16x223x35x424x56x623x75x8123456782x1 + x2 + x3 + x4 之 1002x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 > 150st.x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 5x8 之 100Xi > 0,i =1,2,|,8利用matlab求解（附录七）得到剩余边料最小

15、值为600cm,具体截取方案如下表。力杀12345678数量（根）15601011015055 .某人有一笔50万元的资金可用于长期投资，可供选择的投资机会包括购 买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等.不同的投资方式的具体参数如下表所示.投资者希望投资组合的平均年限不超过 5年，平均的 期望收益率不低于13%,风险系数不超过4,收益的增长潜力不低于10%.问在 满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？投资参数序号投资方式(i)投资期限(年)ni年收益率%ri风险系数S增长潜力%甲1国库券311102公司债券10153153r 房地产6258304股票

16、2206205短期存款110156长期储蓄5122107现金存款0300模型的建立及求解：设国库券、公司债券、房地产、股票、短期存款、长期储蓄、现金存款分别存Xl，X2，X3, X4，X5，X6, X7，X8 , Z表示平均年收益，由题意可建立模型如下: Zmax =(11x1 15x2 25x3 20x4 10x5 12x6 3x7)/50(3xi +10x2 +6x3 +2x4 +1k +5x6)/50 <5(1x1 +3x2+8x3+6x4+1x5 +2x6)/50<4 S.T(15x2 30x3 20x4 5x5 10x6)/50 _10x x2 x3 x4 x5 x6 x

17、7 =50利用matlab求解(附录八)得到最优年收益为 17%,投资方案如下表格。存款方家国库券公用债券房地产股票短期存款长期储蓄现金存款存款额(万)26.5782.790720.631200006 .设有M=400万元资金，要求4年内使用完，若在一年内使用资金x万元, 则可获得效益g(x) = Tx万元，效益不能再使用，当年不用的资金可存入银行， 年利率为r=10%,试制定出这笔资金的使用方案，使 4年的经济效益总和最大. 模型的建立及求解：设前四年使用的资金分别为Xi,X2,X3,X4万元，总的经济效益为Z,第一年 使用了 及万元，则可剩余400-Xi万元，则第一年末的时候得到的效益为

18、人 万 元二二T”使用的资金为(1 + r)(400 - ),第二年末得到经济效益为Vj，Xi 十辰,第三年可使用的资金为(1+r)(1+r)(400-%)-X2万元，第三年末 经济效益为辰+ &2 + jk ,第四年可使用的资金为 (1+r)«+r)(1+r)(400 xJX2X3万元， 第四 年末总 效益为 以 十 反 十 亚 十”4因此可以建立模型如下：Z max = XiX2X3 、X4x1M 40QX1 x2 < 440;X1 x2 x3 , 484x1 x2 x3 x4 < 532.4利用matlab求解(附录九)得到四年可获得最大效益为Z=43.08

19、58万元，投资方案如下表所示年份第一年投资额第二年投资额第三年投资额第四年投资额投资额(万元)86.3027103.7161127.0870152.23907 .某个中型的百货商场要求售货人员每周工作5天，连续休息2天，工资200元/周，已知对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，问如何安排可使配备销售人员的总费用最少？销售人员调查表星期一一二四五六日所需售货员人数18151216191412开始休息的人数X1X2X3X4X5XX模型的建立及求解:设星期一到星期天每天休息的人数分别为 X, X2 , X3, X4, X5, X6, x7由于要求 售货人员每周工作5天,连续休息2天，工资200元

20、/周，则可建立如下模型：Z min = 200(x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7)x2 + x3 + x4 +x5 + x6 >18 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >15 x1 + x4 + x5 + x6 + x7 >12 x1 + x2 + x5 + x6 + x7 >16 S.T« x1 + x2 十 x3 十 x6 + x7 >19x1 + x2 + x3 + x4 + x7 >14 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 >12 x 之Qi =12,3,4,5,6,7利用matlab求解(附录十)得到最

21、少费用为 46400元,每天安排休息的人数如下表。星期一一二四五六日所需售货员人数18151216191412开始休息的人数0000135148 .某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表。工厂在做决策时， 要考虑如下的问题：(1)根据市场信息，产品甲的需求有所上升，故产品甲的产量大于乙的2倍;(2)超过计划供应的原材料时，需高价采购，这就增加成本；(3)不要使设备超负荷运行；(4)应尽可能达到并超过计划利润指标 48;试问问如何安排生产？给出数学模型和计算结果。生产数据甲乙拥/白里原材料51060设备4436利润68模型的建立及求解:设生产甲产品为x1,生产乙产品为x2,获得利润为Z。根

22、据问题一，应有Xi之2x2 ;根据问题二，可知 Xi +X2 <60;根据问题三可知4X1 +4x2 <36 ;根据 问题四，要尽可能实现利润最大化。由此可建立如下模型：Z max = 6x1 8x2Xi - 2x2 - 0S.T x1 x2 三 604x1 4x2 . 36利用matlab求解（附录H一）得到最大利润 Z=400,生产甲乙产品的数量如下表。生产类别甲产品乙产品数量40.000020.0000附录一：%zs13_1_1.mc=-3,-2,-2.9;a=8,2,10;10,5,8;2,13,10;b=300,400,420;vlb=0,0,0;vub=;x,z=lin

23、prog(c,a,b,vlb,vub);xi=round(x')Z=-z附录二：%zs13_1_2.mc=-3,-2,-2.9;a=8,2,10;10,5,8;2,13,10;b=300,460,420;vlb=0,0,0;vub=;x,z=linprog(c,a,b,vlb,vub);xi=round(x')Z=-z-18附录三：%zs13_1_3.mC=-3,-2,-2.9,-2.1,-1.87;a=8,2,10,12,4;10,5,8,5,4;2,13,10,10,12;b=300,400,420;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,z=linprog(c,a,b,

24、vlb,vub);xi=round(x')Z=-z附录四：%zs13_1_4.mc=-4.5,-2,-2.9;a=9,2,10;12,5,8;4,13,10;b=300,400,420;vlb=0,0,0;vub=;x,z=linprog(c,a,b,vlb,vub);xi=round(x')Z=-z附录五：%zs13_2.mc=-0.3716 -0.5125 -0.4 -0.47 -0.42 -0.4996 -0.5141 -0.4838 -0.4908-0.4022 -0.5271 -0.5692 -0.4072 -0.5020;a=0.0784,-0.0625,0.05,

25、-0.02,0.03,-0.0496,-0.0641,-0.0338,-0.0408,0.0478,-0.0771,-0.1192,0.0 428,-0.052;b=0;vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;vub=70;7;17;23;3;9.5;1;15.4;2.7;7.6;13.5;2.7;1.2;7.2;x,z=linprog(c,a,b,vlb,vub);disp( ' 取最优值对应的各个矿点的产值 ' )xi=x'disp( ' 最优值 ' )Z=-z附录六：%zs13_3.mc=10 5 30 7 10 5;a=1

26、 1 1 0 0 0;0 0 0 1 1 1;b=70 80;aeq=1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1;beq=30 50 45;vlb=0 0 0 0 0 0;vub=30 50 45 30 50 45;x,z=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);xi=round(x')Z=0.5*z附录七：%zs13_4.mc=5,6,23,5,24,6,23,5;a=-2,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,-2,-1,0,-3,-2,-1,0;-1,0,-1,-3,0,-2,-3,-5;b=-100,-150,-100;vlb

27、=0;0;0;0;0;0;0;0;vub=;x,z=linprog(c,a,b,vlb,vub);disp( ' 取最优值所对应各个方案截的数量' )xi=round(x)'disp( ' 最优值 ' ) z附录八：%zs13_5.mc=11,15,25,20,10,12,3./(-50);a=(1/50).*3 10 6 2 1 5 0;1 3 8 6 1 2 0;0 -15 -30 -20 -5 -10 0;b=5 4 -10;aeq=1 1 1 1 1 1 1;beq=50;vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;vub=;x,z=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);disp( ' 投资方案 ' )X=x'disp( &