对面积的曲面积分

1、第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义 设函数f x, y, z在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n小块 Si( Si也表示第i小块曲面的面积)，在 Si上任取一点 Mi( i, i, i),作乘积f( i, i, i) Sin(i 1,2,L ,n),并作和 f i, i, isi ,记各小曲面直径的最大值为，如果对曲1 1面的任一分法和点(i, i, i)的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z在曲面上对面积的曲面积分

2、或第一类曲面积分，记nf(x,y,z)dS lim0 i 1f( i, i, i)【注】定义中的“ Si”是面积元素，因此，Si 0 .2 .性质关于曲面具有可加性，若12,且1与2没有公共的内点，则f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS;12当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ,即f (x, y, z)dS S .3 .对面积的曲面积分的计算设曲面 由z z x, y给出， 在xoy面上的投影区域为 Dxy, 函数z z x, y在Dxy上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在 上连续，则22f (x, y,z)dSf(x, y,z(x,y

3、)J1 dxdyDxy、x y同样地:x x y,zf (x, y, z)dSf x y,z , y,z , 1Dyz,22x xdydz ，2y .dzdx . zx,y,z dS, y ym1 x,y,z dS z 一z x, y, z dS:y y z,xf（x, y,z）dSf x, y z,x ,zDxz4 .对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点 x, y, z处的面密度是x, y, z ,则曲面的质量m x, y, z dS.曲面的质心 x, y, z曲面的转动惯量22x z x, y, z dS ,222x y z x, y,z dS.22Ix y z x,y,z dS Iy2

4、2Iz x y x,y,z dS, I。4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分例1 填空题设：x8y2）dS 8 y2 z2 4,则 0（x2 y2）dS .222 八解 由积分区域的对称性知乙x dSydS ? z dS,于是一 22 c 2乙x y）dS -（x222y2 z2）dS .而积分在,222,一上进行，x y z 4,代入上式得,乙（x2dS 8 43221283128故应填.3例2选择题、i2222 ,设：x y z a （z 0） ,1为 在第一卦限中的部分，则有（A）xdS4xdS .（B）ydS 4 xdS .11（C）zdS4xdS .（D）xyzd

5、S4 xyzdS解因为曲面是上半球面， 关于yoz面对称且被积函数fi(x, y, z) x ,f2(x, y, z) xyz都是变量 x 的奇函数，于是 xdS xyzdS 0 .类似地， 关于xoz面对称且f3(x,y,z) y是变量y的奇函数，于是 ydS 0 .而 xdS 0, xyzdS O,11故应选(C).事实上，由对称性，zdS 4 zdS, zdS xdS (Q正确.111【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：(1)利用对称性，但要注意，曲面关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面的方程化简被积函数.例3 计算曲面积

6、分(2x 2y z)ds,其中 是平面2x 2y z 2 O被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分 .解法一 ：z 2 2x 2y,zx2, zy2.在xoy平面上的投影是三角形，记为D : O x 1,0 y 1 x.(2x 2y z)ds2g. 1 zx2 zy2dxdy6dxdy 3.DD解法二 (2x 2y z)ds 2dS 2g2、2g ?223 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4计算I(x2 y2)dS ,为立体配y7 z 1的边界.【分析】根据积分曲面的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元dS,将曲面积

7、分转化为投影区域上的二重积分进行计算.解设 12,1为锥面z xx2 y2 , 0 z 1 ,在1上，22dS J1x-y dxdy = V2dxdy,图4-12为z 1上x2 y21部分，在 2上，dS dxdy，22i, 2在xOy面的投影区域为D：x y 1,所以(x21y2)dS +(x2 y22)dS2(x222y )、.2dxdy (x y )dxdyD21(.2 1) (x2y2)dxdy (1 、2) d3dD10,-2).例5计算 z2dS ,其中为 x2 y24介于z 0,z 6之间的部分.【分析】 积分曲面如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz面

8、，yoz面对称，被积函数是偶函数，则有z2dS = 4故可利用对称性解之.解 设1 : x <4 y2 ,其在yoz面的投影域为Dyz：z2dS = 4dS . 1 xy2 xz2dydzdydzz2dS =4zD yz,2 dzdy 4 y24 6z2dz0dy 288 .图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy面作投影，因为投影为曲线，不是区域.基本题型II ：对面积的曲面积分的应用1例6求物质曲面S: z - (x y )(0 z 1)的质量，其面号度z(x,y,z) S).2解 S在xoy平面上的投影区域 D : x2 y2 (J2)2.是，所求质量为M1(xy. R y2)dS

9、 1 (x2 y2). 1 x2 y2dxdy 22 d-1 2d2 0,2212 ,r 1 r rdr0r3.1 r2dr (1 6,3)15试求半径为R的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离.且任意点以球心为原点,铅锤直径为z轴建立直角坐标系，则球面方程为y2 z2R2,M(x, y,z)处的密度为4.4 教材习题解答设球壳的质心坐标为(x,y,z),由对称性知，x y 0.z dS其中 为上半球面z Jr2x2dS1 z22zdxdy yR_ dxdy Jr2 x2 y2，于是球壳的质量为其中dS R y .R2x2y2dxdy在xoy面上的投影域:2R .利用极坐标

10、计算上述二重积分，得- Ry R-x22R3.22R2dxdy d d20022Mxyz dSy2dSR .dxdy22x yR x2 y2dxdyD2d立R4.3,于是半球壳的质心坐标为4R (0,0, 3) .2 R43 R4R1 2R3321 .有一个分布着质量的曲面，在点(x, y, z)处它的面密度u(x,y, z),用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴转动惯量。解：假设u(x, y, z)在曲面 上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块dS ,设(x, y, z)使曲面块dS内的一点，则由曲面块 dS很小，u(x, y,z)的连续性可知，曲面块dS的质量近似等于u(x,

11、y, z)dS ,这部分质量可近似看作集中在点(x, y, z)上，该点到x轴的距离等于x2 y2 ,于是曲面对于x轴的转动惯量为： 2222、dI x (z y )u(x, y,z)dS ,所以转动惯量为：Ix (y z )u(x,y,z)dS2 .按对面积的曲面积分的定义证明公式f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f (x, y,z)dS ,其中 由 i 和 2 组成12证明：因为f (x, y,z)在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面时，可以永远把 1和2的边界曲线作为分割线，从而保证 §整个位于 i上，于是 上的积分和等于

12、i上的积分和加上2上的积分和，即f( i, i, i) Sif( i, i, i) Sif( i, i, i) Si()(l)( 2)令各小块的直径的最大值趋向于0,去极限得到：f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS123 .当 时xoy面内的一个闭区域 D时，曲面积分f(x,y,z)dS和二重积分有什么关系。解：当 时xoy面内的一个闭区域 D时， 在xoy上的投影区域即为 D, 上的f(x, y,z)恒为 f (x, y,0),并且 zx zy0 ,所以 f (x, y,z)dS f (x, y,0)dxdy ,即曲面积分与二重积分相等。4 .计算曲面积分 f x

13、, y,zdS,其中 为抛物面z 2 x2 y2在xoy面上方的部分，f x, y, z分别如下：22(2) f x, y,z x y ；(3) f x,y,z 3z.I解(2) f x, y, zdS= x2 y2 弋 1 z2x zy2dxdy ,其中 Dxy为 在 xoy面上Dxy的投影区域，即22Dxy : x y 2 z 0 .x,y,zdS= x2Dxy22y 1 4(x)dxdy- -22 上014149-305.(3) fX, y,zdS32Dxy计算(1)锥面(2)锥面解(1)影区域均为Dxy： x2dS所以2222x y 1 4(x y )dxdy2o 3d11110y2d

14、S,其中是:Jx2y2及平面z3( x2y2)被平面中属于锥面部分为y2 1 z1所围成的区域的整个边界曲面z 0和z 3所截部分。1 ,上底面部分为2在xoy面上的投DxyDxydS =所截的锥面为:x2 y2 dSx2y2 dS2 2zxzy dxdy(-.2 1)dxdy 2z 3 x2 y2(Dxy ：x216x2、3(x2 y2)6y2.3(x2y2)2xDxy2y dxdy1 3d03),dxdy 2dxdy(x2 y2)dS2(x2Dxy2、y )dxdy 96.计算下列对面积的曲面积分:4x(1) (z 2x y)dS,其中 为平面一32-1在第一卦限中的部分.3 4424 2

15、斛 z 4 2x-y , dS'1( 2)( §)dxdy 一,44、61一(z 2x y)dS4gdxdy 4.613Dxy3(2)(2xy 2x2 x z)dS,其中 为平面 2x 2y42261 dxdy3z 6在第一卦限中的部分斛 z 4 2x - y, dS 7 32(2xy 2x x z)dS (2xyDxy3:3 dx00(3)(x y z)dS ,其中1 ( 2)( 2) dxdy 3dxdy22x x 6 2x 2y)3dxdy3 x,cCC 2cc、，27(63x2x2xy2y)dy一14为球面x2 y2 z2 a2上z h(0 h a)的部分.2c2VcdS 1 (adxdy 222a x y(x y z)dS(x y Jax y )g-2=Dxy. ax2a2 仔 r2(cos sin )0H'7 rdxdy y2dr0-022a r(a3 ah2)(4)(xy yz zx)dS,其中 为锥面 z Jx2 y；有限部分. 22_解 dS 、1222 y 2 dxdy . 2dxdy, x y x y22Dxy: xy 2ax1(xy yz zx)dS 2 xy (x y)(x2 y2 )2 dxdyDxy2 .22-被枉面x y2 ax所截得的J，d22acosr2 sin cos2 ,r (c