一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

1、z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为 200万元，十月份的销售额下降了20% ,商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2=1.21 ,解这个方程，得 X1 = 0.1 , x2=2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中 每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2=n求解，其中mv

2、n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 -x)2=n即可求解，其中 m>n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品， 该商品可以自行定价， 若每件商品 售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20% ,商店 计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a21)(350 10a) = 400,整理，得 a2-56a+775 =0,解这个方程，得 a1 = 25, 82 = 31.因为21 X1+20%) =25.2 ,所以82=31不合题意，舍去.所以 350 10 8=350 10

3、 X25 =100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ,这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+ x) 500(1+0.9 x)=530.整理，得 90x2+145 x3= 0.解这个方程，得 x

4、-0.0204 =2.04% , x2 = 1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2= 1.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚 好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm ,那么渠底宽为(x+0.1)m ,上口宽为(x+0.1+1.4)m.1则根据题意，得 2(x+0.1+ x

5、+1.4+0.1) x=1.8,整理，得 x2+0.8 x- 1.8 = 0.解这个方程，得x1 = 1.8 (舍去)，x2=1.所以 x+1.4+0.1 =1 + 1.4+0.1 =2.5.答 渠道的上口宽2.5m ,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量 关系，列出方程求解五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意，得 x2=

6、 10（x-3）+ x,即x2-llx+30 =0,解这个方程，得 x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记 1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 ,1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n 1）个选手比赛一局，共计 n（n 1）1局，但两个选手的

7、对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 nm1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n 1）分.显然（n1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979 ,1984 , 1985 ,因此总分只能是1980 ,于是由n（n 1） = 1980 ,得n2-n- 1980 =0,解得n1 = 45, n2=44 （舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标

8、准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000 >25 = 25000 V27000 ,所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得1000 20(x25) x= 27000.整理，得 x2 75X+1350 =0,解这个方程，得 xi = 45, X2=30.当 x=45时，1000 20(x 25) =600 <700 ,故舍去 xi ；当 x2=30 时，1000 20(x25) =900 >700 ,符合题意.答：该单位这次共有30名

9、员工去天水湾风景区旅游 .说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数不超过25人，1/人均旅游费用为1000 xl 管1人数超过25人，每增力小、人，人均旅游费用降(氐20元， J 费用不得78翻1愕八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）（1）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符

10、合条件，请说明理由.2解 者B能.（1）设小路宽为 x,则 18x+16 x-x2= 3 M8 M5 ,即 x2 34x+180 =0,34 土阿解这个方程，得x=2 ，即x=6.6.2(2)设扇形半径为 r,则 3.14r2= 3 X18X15,即 r257.32 ,所以 r=7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变； 或形变积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在 ABC 中，/ C=90?/SPAN> , AC = 6cm , BC= 8cm，点 P 从 点A出发沿边 AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿C

11、B边向点B以2cm/s 的速度移动（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由解 因为/ C = 90?/SPAN> ,所以 AB = “d+初=10 (cm ).(1)设 xs 后，可使 PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = xcm , PC=(6 x)cm , CQ = 2xcm.则根据题意，得(6 x) 2x= 8.整理，得x26x+8=0,解这个方程，得 xi = 2, x2=4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 P

12、CQ的面积为8cm 2.(2)设点P出发x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的一半.1 1 1则根据题意，得 2 (6 x) 2x= 2 x2 X6X8.整理，得 x2-6x+12 =0.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据 路程=速度x时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m ,求梯子的底端水平滑动多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑动 1m ,梯子的顶端滑动多少米？(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的

13、距离，那么滑动的距离是多少 米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 也一6' =8 (m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+ x)2= 102,整理，得x2+12x15 = 0,解这个方程，得x-1.14, X2 = 13.14 （舍去），所以梯子顶端下滑1m ,底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程 （8 x）2+（6+1） 2=100.整理，得x216X+13 =0.解这个方程，得x1 = 0.86, x2=15.14 （舍去）.所以若梯子底端水平向

14、外滑动 1m ,则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 （8x）2+（6+ x）2 = 102,整理，得2x24x=0,解这个方程，得x1 = 0 （舍去），x2=2.所以梯子顶端向下滑动 2m时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三 角形.十一、航海问题图5例11如图5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标 B,在B的正东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向

15、，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的 2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于 E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，则 DFLBC.因为ABXBC, D为AC的中点，所以 DF1=2 AB=100海里，所以，小岛 D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了 x海里，那么DE = x海里，AB+BE=2x海里，EF= AB+BC(AB+ BE)-CF= (300 2x)海里.在RtADEF中，根据

16、勾股定理可得方程x2 = 100 2+(300 - 2x)2,整理，得3x2-1200 x+100000 =0.解这个方程，得x1 = 200 3 118.4 , x2 = 200+3(不合题意，舍去).所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 ABCD的边长为12,划分成12X12个小正方形格，将边长为n (n为整数，且2wnw11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放， 第一张n为的纸片正好盖住正方形 AB

17、CD左上角的nM个小正方形格，第二张纸片盖住第 一张纸片的部分恰好为(n 1) X(n 1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长 n的取值不同，浣成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同， 请 填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数(2)设正方形 ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为Si ,未被盖住的面积为S2.当n=2时，求Si ： S2的值；是否存在使得 Si = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由图6 解(1)依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.(2) S1=n，(

18、12 n)n2(n 1)2 = n，25 n 12.当 n=2 时，S1 = - 22+25 X2-12 =34 , S2= 12 X12 34 = 110.所以 S1 ： S2 = 34 ： 110 = 17 ： 55.1若 S1= S2,则有n2+25 n- 12= 2 X122,即 n2 25n+84 =0,解这个方程，得 n1=4, n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，&=S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第(3)小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根

19、来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20x) cm.则根据题意，得= 17,解得 Xi = i6 ,当 x=16时，20 x=4,当 x= 4时，20 x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm ,则另一段为

20、(20 y) cm.则f20-jr2由题意得4)+1 4 J =12,整理，得y220y+104 =0,移项并配方，得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2 4ac来判定 若b2-4ac>0,方程有两个实数根，若b2-4ac<0,方程没有实数根，本题中的b2 4ac=16 <0即无 解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD中，AB = DC = 5, AD = 4, BC=10.点E?E下底边BC上，点F在月AB上.(1)若EF平分等月梯形 A

21、BCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示 BEF 的面积；(2)是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；(3)是否存在线段 EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 ： 2的两部分？若存 在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由图7解(1 )由已知条件得，梯形周长为 12,高4,面积为28.过点F作FG± BC于G,过点 A作AK± BC于K.127则可得，FG=5 M,224所以 S/bef=BEFG=- 5 x2+ 5 x (7WXW10).224(2)存在.由(1)得一5 x2+ 5 x=

22、14,解这个方程，得 xi = 7, X2 = 5 (不合题意， 舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在.假设存在，显然有 SBEF： S多边形AFECD =1 ： 2,21628即(BE+BF) ： (AF+AD + DC)=1 ： 2.则有一5 x2+ 5 x= 3 ,整理，得3x224x+70 =0,此时的求根公式中的b2-4ac=576 -840 < 0,所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 1 ： 2的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2=5时，并不属于7WxW10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时