2020年高考数学(理)热点专练09解析几何(解析版)

1、热点09解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度谈中等.填空题目也是综合题目，难度中等 .大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行

2、详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可

3、.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可 .关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】 选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时： 55分钟）221. （2019福建三明一中高三月考）已知Fi，F2为椭圆C:得 J i,（a b 0）的左、a b右焦点，过原点。且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为 A ,若AFiAF2,S F1AF22,则椭圆C的方程是（2“ xA .8B.2y_2C

4、.2 x D.6先由题意，不妨设点x,y位于第一象限，根据AF1AF2,得到OA1 -2 F1F2C,根据OA与x轴正方向的夹角为 30 ,得到A1C，2c,从而由S F1AF2.-31c cA J3,1 ,得到1 , a b 4, a b联立，即可求出结果因为过原点。且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A,不妨设点A x,y位于第一象限,1因为AFAF2 ,所以 AF1F2为直角二角形，因此 OA 3EF2 c；又OA与x轴正方向的夹角为30 ,一,.J3o 1. V3 1所以 x OA cos30c, y OAsin30 c,即 A c,-c ；2222所以 S F1Af212cle

5、 2 ,解得：c 2 ,所以 A J3,1 ；1 222一.31因止匕一22-1，a b又 a2 b2 c2 4，,一 口a2 6 、x2 y2由解得：2,因此所求椭圆方程为二£ 1.b2 262故选：CA.y【名师点睛】 本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程， 以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.2. （2019贵州高三月考（理）已知抛物线C：y2 4x的焦点为F, Q为抛物线上一点，连接PF并延长交抛物线的准线于点P,且点P的纵坐标为负数，若 J3| PQ| 2|QF |,则直线PF的方程为（）A. 3x y 73 0B. T3x y 73 0C.石x y 百 0或

6、 V3xyT30D.x 73y 1 0【答案】D【解析】【分析】根据P的纵坐标为负数，判断出直线 PF斜率大于零，设直线 PF的倾斜角为 ，根据抛 物线的定义，求得 cos的值，进而求得 ，从而求得tan也即直线pf的斜率，利用 点斜式求得直线PF的方程.【详解】由于P的纵坐标为负数，所以直线 PF斜率大于零，由此排除 B,C选项.设直线PF的倾斜角为.作出抛物线y2 4x和准线x1的图像如下图所示.作QA PA,交准线x 1于A点.根据抛物线的定义可知 QF QA ,且 QFxAQP.依题意30|QA |QF|PQ| |PQJ3| PQ | 2 |QF |,故在直角三角形 PQA中cos故直

7、线PF的斜率为tan: § ,所以直线PF的方程为yx 3y 1 0.故选：D.考查数形结【名师点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系,合的数学思想方法，属于中档题3. （2019广东实验中学高三月考（理）2m (, 2)是方程m 5示的图形为双曲线的（A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条D.既不充分也不必要条件方程表示双曲线，可得m 5m 20,解得m范围即可判断出结论，解得m范围即可判断出结论.2由方程m 52-y- 1表示的图形为双曲线,m m 6可得m 52m m 60,即 m 5m 3m 20即 m 2,或 3 m 5 ,2m (, 2)是

8、方程 xm 52y-2m m1表示的图形为双曲线的充分不必要条件,故选：A【名师点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4. （2019全国高三月考x2（理）双曲线C: ay24一ai山二1 a 0,b 0的右焦点为F ,以F b2为圆心的圆 x 3y2 2与双曲线C的两条渐近线相切,则双曲线C的方程为（）2A xA .7B.2C.82D.1由已知圆的圆心即为焦点,可得c的值,利用渐近线和圆相切,列方程求出a,b,即可得双曲线白方程.由题意知：c 3,有 a2 b29,3,0 到 bxay0的距离为3ba2 b2得 9b2 2b

9、218b22, a2 7,故双曲线C的方程为21.故选A.2【名师点睛】 本题考查双曲线的标准方程和性质,考查渐近线方程的应用,考查学生计算2-yy1(a b 0)的右焦点为F 3,0 ,b2能力，是基础题.2X5. （2019广东高三月考（理）已知椭圆E ：-2a过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为1, 1，则E的方程为（）2“ xA . 452上136B.2x362L 127C.2x272y18D.2x18【解析】设 A Xi,yi ,B x2,y2,直线AB的斜率k032 X1 -2a2 x2 -2 a2 y b2 y22 后两式相减得xx2xx22ayy2y2yy2 y

10、1 y2x1 x2x1 x21b2_ 22b ，c 2, 29, a b18,b2182y9D.6. （2019安徽高三月考（理）已知2F2是双曲线C :91的右焦点，动点A在双曲线左支上，点 B为圆E:x2 （y22）1上一点，则ABAF2的最小值为（A. 9B. 8C. 5aD. 673值即为由 AF2AF1 2a, AB的最小值是AEr ,转化为求AF1AE的最小22243, F1( 2j3,0),圆 E 半径为双曲线上 _y_ 1中a 3, 93r 1, E(0, 2),AF2 AF1 2a AF16, AB AE BE AE 1 (当且仅当 A, E,B共线且B在A,E间时取等号 A

11、B AF2 AF16 AE 1 AF1 AE 5EF1 5 J（2>/3）222 5 9,当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号. AB AF2的最小值是9.故选：A.【名师点睛】 本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径.7. （2019河北高三月考（理）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2 2x yC：-2 y2 1 b 0,a 0的左焦点为F,点B的坐标为（0, b）,若直线BF与双曲线C a

12、 buuu uuur的两条渐近线分别交于 P, Q两点，且PB 5BQ,则双曲线C的离心率为A . 2B. -C. 73D.23 2【答案】B【解析】【分析】uuuuuin将直线BF与双曲线渐近线联立，可求得 x的值；利用PB 5BQ可得Xp5xq ,将x的值代入，可得3a 2c 0,从而求得离心率.【详解】由题可知，F c,0 , B 0,b则直线BF方程为y 1 c bb又双曲线C渐近线方程为y -x aa y i由 c b 可解得x -aj或x -a bc a a cy X auuuumr由 PB 5BQ 可知，Xp5xqacacac nrt ac由题可知： Xp , xQ ,则 c a

13、a c c ac 3关键在于能够通过向量的关系得到a, c的齐化简得3a 2c 0,所以e a 2【名师点睛】 本题考查双曲线离心率的求解,次方程，通过方程求得离心率8. （2019山东济南外国语学校高考模拟（理）已知Fi, F2分别为椭圆22今 4 1（a b 0）的左、右焦点，点 P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交a b椭圆于点Q,若PFi PQ,且PFi PQ ,则椭圆的离心率为（）A.志向 B. 2 42C. V3 &D. V2 1【答案】A【解析】【分析】设PF1 m m 0 ,则PF2 2a m, QF2 2m 2a,再次利用椭圆的几何性质可得QFj 4a 2m,利

14、用QF/ J2PF1求得m后再利用 PFR 为直角三角形得到关于a,c的方程，进而可求得椭圆的离心率【详解】设 PF1 m m 0 ,则 PF2 2a m, QF2 2m 2a, QF1 4a 2m,因为 QEl J2PF),故 m 4 272 a.因PF1PF22224c ,故 4a 2j2a2a 4a 2j2a4c2 ，整理得到36 24J2,即 c J9 6"娓 J3,故选 A. a【名师点睛】 圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系.而离心率的取值范围， 则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组.

15、二、填空题9. （2019山东高三）2直线l过抛物线C： y 2Px的焦点F 1,0，且与C交于A,B两点，则1AF1BF由题意知,所以抛物线方程为4x.联立方程，利用韦达定理可得结果.由题意知,所以抛物线方程为当直线AB斜率不存在时:x 1代入，解得AFBF2,从而1AF1BF1.当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y ky，联立2 y4x2k2 4 x.2k 0,设 Ax1，y1 , Bx2,y2x1x22k2 4k2x1x21从而1AF1BF1x1 11x2 1x1x2x2 x1x2 1Xx2 21 .x1x2 2（方法二）利用二级结论:1AF1BF2口一,即可得结果.P【名师点睛】本题

16、考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.10. （2019浙江高三期中）已知椭圆222Y2 1与双曲线 ：J -y2 bmn1共焦点,F2分别为左、右焦点,曲线在第一象PM交点为P ,且离心率之积为1.若sin F1PF22sinPF1F2 ,则该双曲线的离心率为根据正弦定理，可得曲线的离心率乘积为设焦距为2c在三角形PF1F2 中,PF2c,根据椭圆与双曲线定义可求得a m c ,1,可得c2 m2根据正弦定理可得结合椭圆与双mc 0 ,进而求得双曲线的离心率PF2F1F2sin F1PF2sin PF1F2因为sin F1PF2 2sin PF1F

17、2,代入可得F1F2 2 PF2I，所以 PF2 c在椭圆中，PF1 PF2 PF1 c 2a在双曲线中，PF1 PF2 PF1 c 2m所以 PF1 2a c, PF1 2m c即 2a c 2m c所以a m c因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即c1 ,即a c2 a mm2所以m c m化简得c2 m2 mc 0 ,等号两边同时除以 m22得 c 1 0,因为 即为双曲线离心率 m mm所以若双曲线离心率为 e,则上式可化为e2 e 1 0由一元二次方程求根公式可求得e 1一5-2因为双曲线中e 1所以e 152【名师点睛】 本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离

18、心率的表示方法，计算量复杂，属于难题.22x y11. (2019浙江局三月考)已知 F1、F2分别为椭圆C：-2 - 1(a b 0)的左、右焦 a b点，点f2关于直线y x对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为 ;若过F1且斜ujLr urnr率为k(k 0)的直线与椭圆相交于 AB两点，且AF1 3F1B ,则k .【答案】_212【解析】【分析】根据对称性和中位线判断QF1F2为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设uur uurA,B X2,y2根据AF1 3F1B得到y3y2 ,设出直线AB的方程，联立直线AB的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得k的值.【详解

19、】. .一 一 ，.，.一 ,一 一，一 兀.由于点f2关于直线y x对称的点Q在椭圆上，由于y x的倾斜角为-，回出图像如下图所示，由于O是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知QF1F2为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率£ cos2.不妨设a J2t,b c t,则椭圆方程化a 421为x2 2y 2t 0,设直线AB的方程为x my t m , 0 ,代入椭圆万程并化-2_2_22mt间得 m 2 y 2mty t 0 .设 A xy ,B X2K2 ，则 yi y J，m 2t2uur uury1 y2.由于AF1 3F1B，故yi3y2.解由组成的方程组得m 1,

20、m 2rr 1即一1,k 1. k故填：（1）YI； （2）1.【名师点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题.2212. （2019浙江高考真题）已知椭圆 y- 1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的95上方，若线段 PF的中点在以原点 。为圆心，OF为半径的圆上，则直线 PF的斜率是【答案】15【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁 【详解】方法1：由题意可知|OF|=|O

21、M |= c= 2,由中位线定理可得 PFi| 2|OM| 4,设P（x,y）可得（x 2）2 y2 16,2 2联立方程土 L i 95一一 321可解得x -,x 一（舍），点P在椭圆上且在 X轴的上万， 22153 <15求得p ,所以kPF JT54 2PF 12方法2:焦半径公式应用解析1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2 ,由中位线定理可得 PF1 210M | 4,即a exp 4 xp-_35求得p 3亚，所以卜三而.2 212【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径三、解答题2

22、213. (2019重庆高三月考(理)已知椭圆C:14lab0的半焦距为c，圆a bO:x2 y2 c2与椭圆C有且仅有两个公共点，直线y 2与椭圆C只有一个公共点.(1)求椭圆C的标准方程；x轴上(2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F ,且与椭圆C分别交于P,O两点，试问:是否存在定点uuuR ,使得RPuumRQ为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在,请说明理由5uur uum1)(2)在x轴上存在点R -,0 ,使得RPgRQ为定值(1)根据已知求出a,b即得椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的5方程为y k x 2 ,设R m,0 ,利用韦达定理和向量的数量

23、积求出m 5 ,此时22,求出此时点Ruuu uuir7RPgRQ为定值 一；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x 4也满足前面的结论，即得解.【详解】依题意，得c b 2,则 a2 b2 c2 4 4 8，22故椭圆的标准方程为 1.842当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y k x 2 ,一 、一一 .2 , 2 一.2 一.2 一 一代人椭圆C的方程，可得 2k 1 x 8kx 8k 8 08k28k2 8设 P 为，W ,Q x2,y2 ，则 x1 x2 2， x1x2 -22k2 12k2 1uurr uurg X2m, V2设 R m,0 ,则 RPgRQx1 m, y1k

24、2 18k2 8 8k2 2k2 m2k2 12k2 14k2_222_2m 8m 4 k m 82k2 1,2m2 8m 4 k2 m2 8若22k2 1为定值，则2m28m1, 2解得,n, 2m2 8m 4 k2 m2 8此时22k2 1，5 cR点的坐标为一,02当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x2,代人2 y4不妨设P2, .2 ,Q 2,、.25八，若 R ,02uuuRP,2uur,RQuuu uur RPgRQ综上所述,在x轴上存在点R5uuu uuur-,0 ,使得RPgRQ为定值【名师点睛】 本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题,意在考查学生对这些知识

25、的理解掌握水平.14. （2019陕西高考模拟（理）已知抛物线C;2y 2 Px 过点 A 1,1 .1求抛物线C的方程;2过点P 3, 1的直线与抛物线C交于M, N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM , AN的斜率分别为k1 ,k2,求证：kik2为定值.【答案】(1) y2 x. (2)见解析.【解析】【分析】(1)利用待定系数法，可求抛物线的标准方程;(2)设过点P (3, -1)的直线MN的方程为X t y 13,代入黄=*利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求 匕？&的值.【详解】(1)由题意得2p 1,所以抛物线方程为 y2 X.设M x,y1 , N X2,y

26、2 ,直线MN的方程为x t y 13,代入抛物线方程得 y2 ty t 3 0.所以 t 28 0, yy2所以k k y 1 y2 1 y1 1 y21k1 k222x 1 X2 1y11 y2 1t, y1y2t 3 .1111y1 1 y2 1y y2 y y2 1 t 3 t 12所以k1 , k2是定值.【名师点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22x y15. (2019江苏金陵中学局考模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： -2 e 1a b(a>b>0)离心率为

27、盘，其短轴长为2.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，A为椭圆C的左顶点，P, Q为椭圆C上两动点，直线 PO交AQ于E,直线1 uuuruuur uuuQO交AP于D,直线OP与直线OQ的斜率分别为 k1,k2,且k1k2= - , AD DP, AE2uuuEQ (入，科为非零实数)，求 %+/的值.2【答案】（1） ± y2 1 ； （ 2） 12【解析】【分析】(1)由题意可得b=1,运用离心率公式和 a, b, c的关系，可得a, b,进而得到椭圆方程；(2)求得A的坐标，设P (X1, y1)，D (x0, y0),运用向量共线坐标表示，结合条件c1c2k2c C求得

28、P的坐标，代入椭圆方程，可得 *=2 ，同理得 长=彳，即可得 好+P1 2k21 2k；的值.【详解】(1)因为短轴长2b= 2,所以b= 1,又离心率e= c 乂4 ,且a2- b2= c2, a 22解得a= ,72 , c= 1,则椭圆C的方程为 +y2= 1;2（2）由（1）可得点 A （ >/2 ,。），设 P （X1, y1） , D （xo, yo）,则 y1 = k1X1, yo=k2X0,uuir由ADuiu _DP 可得 Xo+72 =入（x B、X3 - xo）,yo=入（y1 一 yo）,即有 Xo=X12 , y1L 11, ，. 5、y0 , k1X1=y1

29、=yo=k2Xo=k2（X1）两边同乘以k1，可得k12X1= k1k2(X1- Y2 )1% 2-（X1-丝），2解得X1 =21 2k12 ,y1' 2,012-k1,将P（X1, y1）代入椭圆方程可得 f= -一3T ,2k11 2k2uuu由AEUirEQ可得j-t2k2%，可得修+ 7= 1 .1 2k222E ：当与 1(a b 0)的离心率 a b为旦，E的左顶点为 A,上顶点为 2B，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为4 2 J3 .(D求椭圆的方程;【名师点睛】 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线 的坐标表示，以及化简整

30、理的运算能力，属于中档题.16. (2019黑龙江高三期中(理)如图，已知椭圆(I)设C,D是椭圆E上两不同点，CD/AB ,直线CD与x轴，y轴分别交于 M,N uuur uur uuur uur两点，且MC CN,MD DN ,求的取值范围.2【答案】(I) L y2 1 ； ( I) (, 2(2,).4【解析】试题分析：2利用题意求得a2 4,b2 1,所以椭圆的方程为y2 1 ;4(2)利用题意求得的解析式，结合m的取值范围可得的取值范围是,22,试题解析：2a 2c 4 2、3(i)由题意得：c jwe a 22a2 4,b2 1,所以椭圆的方程为 土 y21 ;41(I)又 A

31、2,0 ,B 0,1 ,所以 kAB -.1由CD/AB ,可直线CD的方程为y -x m.2由已知得 M 2m,0 ,N 0,m ,设 C x1,y1 ,D x2,y21y 2x2mx 2m2 2 0.-2_22-2m4 2m220m22,2所以 x1 x22m,x1x2 2m 2 ,uuur由MCCCN 得 x12m, y1x1，m y12muuuuLULT所以x1 2m x1即 1，同理MDDNx11町x2所以2 2m 1 x12 2mx(x2x2Mx22m22m2 1 m2 1由m2 222, 所以22,【名师点睛】：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.17. （2019北京高考模拟（理）已知椭圆C的两个焦点分别为F11,0 ,F2 1,0 ,长轴（I）