第二轮中考复习数学习题的选择与利用

1、第二轮中考复习数学习题的选择与利用王亚权 （浙江省杭州文澜中学）摘要：学好数学必须多做题.进入中考第二轮的复习阶段，学生已经做了相当数量的习题，积累了一定的解题经验，怎样才能做到从量变到质变的转化，这是长期以来一直困扰着教师和学生的亟需解决的问题.精选习题是提高复习效率的前提；改编习题是提高复习效率的重要手段；有效利用习题是提高复习效率的保证. 有效利用习题的原则：“量不在多，在于落实；题不在新，在于利用！”关键词：第二轮复习；精选习题；改编习题；利用习题长期以来，广大数学教师似乎已经形成了这样一种共识：要学好数学必须多做题，而且应该大量做题！学生更是埋头做题，因为老师告诉他（她）们，只有多做

2、题数学才能考取高分.事实也是如此！数学大师陈省身先生在一次焦点访谈节目中说：“做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了.灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来.”可见，学好数学必须多做题，提高解题能力必须多做题，这是众多数学家、数学教育家共同的认识.但在有限的时间里，特别是进入中考第二轮的复习阶段，学生已经做了相当数量的习题，积累了一定的解题经验，怎样才能做到从量变到质变的转化，这是长期以来一直困扰着教师和学生的亟需解决的问题.我们认为，在要求学生做一定数量习题的同时，更应该考虑所选习题的质量，更应讲究习题利用的方法和策略！一、精选习题是提高复习

3、效率的前提选题是复习阶段非常重要的一个环节.许多时候老师们普遍认为，题目那么多，只要让学生做或者只要让学生照着复习用书（或资料）上的习题做就可以了.其实这是认识上的一个误区.无论是新课教学还是复习课教学，我们都必须精选习题，使所选习题更好地为达成教学目标服务，进入中考复习的第二阶段，更应该将功夫用在这“刀刃”上.选题时我们可以从以下几个方面考虑：1、从教科书的典型习题中选题著名数学家苏步青先生在关于数学打基础问题一文中指出：“中小学生要想在解数学习题上做到既正确又迅速，必须牢固地学好这四门学科（注：指算术、代数、几何、三角）的基础知识，这应该说是唯一的秘诀罢.所谓学好是指把各学科内容即教科书内

4、容包括其中所有习题学得深透、演得烂熟，真正做到没有一个定理不会证，没有一个习题不会做的程度”1.教科书上有许许多多典型的习题，常被我们称之为“基本题”或“典型题”，各地历年的中考试卷都有一定数量的试题来自于教科书原题或改编.因此，复习阶段的选题，我们应立足课本，关注教科书上的习题.例1 浙教版义务教育课程标准实验教科书·数学七年级下册（以下简称“浙教版七下”，其他年级的教科书依次类推）第57页作业题5：要在一条河上架一座桥（桥通常与河岸垂直），小聪、小明、小慧分别提供了一种设计方案（如图1（1）.哪一种方案能使从A地到B地的路程最短？请说明理由.（1）（2）图1分析：由于河宽（即桥的

5、长度）是不变的，所以要使从A地到B地的路程最短，只需考虑线段BC与AD的和最小即可.将线段BC作平移变换即可求解.解：小明的方案能使从A地到B地的路程最短.过点B作河岸的垂线，并截取BB/等于河宽CD（如图1（2），连接AB/，交河岸于点D，则点D即为桥的位置.理由是两点之间线段最短.本题的原型是“饮马问题”2，与此相关的习题很多，屡屡出现在各地的中考试卷上.变式1（2006年四川·内江卷)阅读并解答下面问题 (1)如图2所示，直线的同侧有A、B两点，在上求作点P，使AP+BP的值最小(要求尺规作图，保留完整的作图痕迹，不写画法和证明) (2)如图3，A、B两个化工厂位于一段直线形河

6、堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1 km，B工厂到河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6 km现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方? (3)通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值图2图3解：(1)略；图4(2)如图4，由(1)知点A/与点A关于CD对称，连接A/B交CD于点P，点P即为污水处理厂的位置.设由A/CPBDP得，即.解得.所以污水处理厂应建在距C地2 km的河堤边.(3)参照图4，在直线CD的同侧取两个点A,B,过A

7、,B分别作直线CD的垂线AC,BD,垂足分别为C,D.设AC=1，BD=2，CD=9，则，由(2)知，当A/，P，B共线时，PA/+PB=的值最小 .同（2）可求得.所以当时，值最小，最小值为3.【评注】本例从最基本的“饮马问题”的作图入手，设计了三个层层递进的问题，既考查了学生对基本问题的掌握情况，又考查了学生运用基本技能解决实际问题的能力.特别是问题（3），考查了学生运用数形结合思想的能力以及知识、方法的迁移能力.试题较好地体现了能力立意.本例给我们的教学启示是：在注重基础知识、基本问题教学的同时，要运用类比、联想、归纳、拓展等策略提高学生的解题能力.变式2（2009年湖北·孝感

8、卷）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小答案：.【评注】该变式将“饮马问题”放置到平面直角坐标系中，通过求对称点的坐标、函数解析式及两直线的交点坐标等问题完成解答.图5变式3（2009年陕西卷）如图5，在锐角ABC中，BAC=45°，BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .分析：作点N关于直线AD的对称点N/，根据对称性可知点N/在边AC上.连接MN/，则MN/=MN，这时BM+MN=BM+MN/.要使BM+MN/的值最小，必须使点M，N/，B在同一直线上，且

9、这个最小值就是过B作AC的垂线段BE的长.在RtABE中，求得.【评注】该变式将原先“两个定点，一个动点”的求最小值问题，设计成“一个定点，两个动点”的求最小值问题，难度有所加大.变式4 已知A，B两点在直线的同侧（如图6(1)），试用直尺（没有刻度）和圆规在上找出两点C和D（CD的长度为定值），使得AC+CD+DB最短（不要求写画法）.（1）（2）图6分析：由于线段CD的长度已经确定，所以要使AC+CD+DB最短，只要使AC+DB最短即可.将线段BD平移（如图6（2）至B/C的位置，问题就转化为求AC+B/C的最小值，这由“饮马问题”的基本模型即可求解.【评注】该变式中的线段CD相当于例1中

10、的河宽，只不过将例1中河岸两侧的两个点变为同侧的两个点而已. 图7变式5 如图7（1），桌上有一个圆柱形玻璃杯，高12cm，底面周长18cm，在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3cm的B处时（即点A，B在同一轴截面上），突然发现了蜜糖，问小虫怎样爬行到蜜糖的路径最短？并求出这个最短路径.图8分析：很明显，从点A到点B的最短路径，应该是在圆柱的侧面展开图上，连接点A与点B所用的线段.但这里有一个问题：A，B两点，一个在杯子的内侧，一个在杯子的外侧，小虫必须先爬到杯子上口的边沿，才能从杯的外侧进入内侧.在边沿上的这一点如何确定？如图7（

11、2），沿经过点A的母线将圆柱形杯的侧面展开，展开图是矩形MEGH，则点B在MH，EG的中点的连线上.画出点A关于直线MH的对称点A/，利用勾股定理求得AC+BC=A/B=15cm，这个值就是所求的最小值.【评注】该变式有两个难点：一是如何将杯子内侧和外侧的两个点转化到同一侧？二是杯子的侧面展开图该如何画？突破了这两个难点，才能用前面的模型来解决这个问题.变式6 已知抛物线经过点A（4，0），设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使的值最大，并直接写出点D的坐标.分析：先求得抛物线的解析式为，对称轴为直线，所以点A关于这条对称轴的对称点就是原点.根据“三角形的两边之和大于第三边”可

12、知，当点O，C，D在同一直线上时，的值最大，所以直线OC与对称轴的交点即为所求的点D（如图8）.【评注】该变式将原先的求最小值问题改为求最大值问题，方法仍然是以相应直线为对称轴，作出一个已知点的对称点，利用两直线的交点来求解.从以上几个变式中我们可以看到，由一个简单的问题（“饮马问题”）可以演变出一系列的问题，而解决此类问题的关键就是找到其中一个点关于已知直线的对称点.像这类习题，我们可以在教科书上找到很多，命题者往往以这些习题作为基本题或基本模型，进行改编或拓展延伸，所以我们必须重视教科书上的习题.另一方面，我们应该意识到复习阶段的解题教学，不能为解题而解题，而应该通过解题，使学生进一步理解

13、数学基本概念、定义和定理，掌握数学知识和方法，提高解题能力，进一步培养学生思维的灵活性、广阔度和深刻性，渗透探究意识和创新精神的培养，这是我们数学教学的一个更重要的方面.2、围绕专题中心选题如果说第一轮复习是以纵向知识为主的话，那么第二轮复习就应该以横向知识为主，把初中阶段的各部分知识进行横向联系，编制成一张纵横交错的知识网.这种横向的联系可以从以下几个方面考虑：（1）按相近知识进行分块.如代数式（包括整式、分式、根式等）、方程与不等式、三角形与四边形、图形与变换、统计与概率等；（2）按题型进行分块.如开放题、操作题、探究题、应用题、情境题、阅读理解题等；（3）按数学思想方法进行分块.如数形结

14、合思想、分类讨论思想、函数思想等.如果说第一轮是复习基础为主的话,那么第二轮就应该以小综合加提高为主，做到既系统地复习主干知识和核心内容，又突出能力立意.下面以数形结合思想为例，列举选题的策略.例2 已知实数满足，则实数的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D） 分析：可以借助于数轴来比较这四个实数的大小.由条件可知：，且.因此，实数在原点的左侧，实数在原点的右侧，并且表示实数的点离开原点的距离大于表示实数的点离开原点的距离（如图9（1）所示）.根据相反数的意义，实数的位置也可以在数轴上表示出来（如图9（2）所示）.再根据实数的大小比较法则：“数轴上右边的数总比左边的数大”可得答案D.图

15、9【评注】数轴是体现数形结合思想最经典的例子之一.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）提到“能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.借助数轴理解相反数和绝对值的意义”.教科书在处理有理数的运算法则时，大多结合数轴，以帮助学生直观地理解法则.本题借助数轴，非常直观地看到了四个实数的大小关系.图10例3（2006年山东·滨州卷）已知方程的一个根小于1，而另一个根大于1，则的取值范围是 .分析：方程的两个根就是函数与轴的两个交点的横坐标.由条件可知，这两个交点分别位于点（1，0）的左侧和右侧，大致位置如图10所示.所以当时，函数值.把代入函数解析式，即可得.【评注】本题虽说是一个方程

16、问题，解答时巧妙地将方程与函数问题结合起来，借助函数图形直观地判断出当时函数图象的大致位置，从而达到快速而正确地解答.例4 如图11，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则BGC与四边形CGFD的面积之比是 .分析：由条件易知AFGBCG，其相似比为1：2.若设AFG的面积为，则可以根据相似比用的代数式分别表示各个三角形和四边形的面积，从而求出BGC与四边形CGFD的面积之比. 图11解 因为四边形ABCD是正方形，所以ADBC,AD=BC.所以AFGBCG.因为F是AD的中点，所以AFBC=12. 所以.设AFG的面积为，则BCG的面积为.因为AFG与ABG同高，所以.所

17、以ABG的面积为，ABC的面积为.所以四边形CGFD的面积为.所以BGC与四边形CGFD的面积之比是45. 【评注】本题是一个几何问题，解答时用含的代数式来表示三角形和四边形的面积，借助代数方法有效地解决几何问题，充分体现了几何问题代数化的思想.例5 某中学八年级（1）班的全体同学在假期里开展了自主学习活动，在学习的过程中，全班每两名同学都通了一次电话，互相交流学习体会，共同提高.如果该班有45名同学，那么同学之间共通了多少次电话？分析：为方便这个问题的解决，我们可以把该班人数n与通电话次数s间的关系用下面的模型（如图12）来表示:图12n与s之间到底存在着怎样的关系呢？我们可以利用图象来获得

18、经验公式：如图13，以n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接起来；根据图中各点排列的规律，猜想这些点在某个二次函数的图象上；把（2，1），（3，3），（4，6）代入二次函数解析式，解得；把点（5，10），（6，15）代入函数解析式验证后符合；确定所求的关系，把n=45代入解析式得s=990.图13 【评注】用多边形的顶点表示该班的人数，则多边形的各顶点连线数就对应通话次数.这里的多边形就是一种几何模型，借助这种几何模型，使数与形得到了有效地转化.另外，本例的解答还给我们另一点启示：利用图象去获取经验公式是确定两个变量之间函数关系的一种有效方法.从上述

19、几个例题中我们可以看到，在复习数形结合思想的专题时，所选的习题必须紧紧围绕能体现数形结合这一中心.这就要求我们在平时的教学中善于积累，善于归纳，特别是在学生的作业或测试中出错时把它记录下来，以作为复习的资料，这样的复习效果会更佳.围绕专题中心进行选题时，我们应采取的策略主要有两条：一是所选习题的解答能较好地凸现专题的中心；二是所选习题能较好体现主干知识和核心内容.3、围绕知识点选题有时我们还应该围绕学生的薄弱环节或知识上的易错点进行选题.下面以不等式为例，列举选题的策略. 例6 （1）（2010 年浙江·衢州卷）不等式x2在数轴上表示正确的是（）-10123B-10123D-1012

20、3A-10123C（A） （B） （C） （D）（2）（2010年湖南·益阳卷）解不等式，并将解集在数轴上表示出来答案：（1）A；（2）.例7（2010年山东·威海卷）解不等式组： 答案：-2x5例8（2010年山东·青岛卷）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）请你计算本次

21、社会实践活动所需车辆的租金答案：（1）175人；（2）1440元.例9 （2010年湖北·荆门卷）试确定实数的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.解 由不等式两边同乘以6，得3x+2（x+1）0，解得.由不等式两边同乘以3, 得3x+5a+44x+4+3a ,解得x2a.所以不等式组的解集为.因为该不等式组恰有两个整数解，所以12a2.所以a1.【评注】本题的难点在于如何确定的范围，我们可以借助数轴.画出如图14所示的数轴，其中一端的数值（）已经确定，要使该不等式组恰有两个整数解，从数轴上可以直观地看出，另一端（）必须在1和2之间，且包含2，所以12a2.图14上述四个例题分别选取了

22、不等式解的数轴表示、解一元一次不等式、解一元一次不等式组及不等式（组）的应用等内容.可以看出，所选取的习题都围绕不等式（组）专题的核心知识点，特别是例，既考查了解不等式组，又考查了整数解的问题，更体现了能力的考查.在选取这一专题的习题时我们应采取的策略是：一是所选的习题能涵盖本专题的主要内容；二是所选习题应与学生的实际需要相结合（即能针对学生的薄弱环节、易错点等）.4、围绕能力培养选题体现公平性是中考命题的原则之一.为了体现这种公平性，所编制的试题大多都是学生所熟悉的，或创设一些学生能理解的问题情境，或在考查知识点的同时侧重于能力立意.因此，我们在复习中所选取的习题既要兼顾知识的落实，更要兼顾

23、能力的培养.（1）从培养学生的类比、联想能力方面考虑.荷兰数学家波利亚在怎样解题一书中提到：“仅有材料不足以盖一幢房屋，但不收集必需的材料就盖不了一幢房屋.求解某个数学题目所需要的材料是我们以前所获得的数学知识中某些与之有关的内容，比如以前求解过的某些题目或以前证明过的某些定理.因此，从下列问题开始工作常常是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？”3这就要求学生养成联想的习惯，在解题时想一想与本题相似或相近的题目、所用的方法是什么等.要培养学生的这种习惯和能力，教师在复习教学中就应该自觉地渗透这样的意识，在选题中学会组题，为学生的类比、联想提供可能.所谓组题，就是教师根据复习的专题、教学目标和学

24、生的实际，选取一些有代表性的习题（相同的或相似、相近的），重新进行组合，通过一题多解、一题多变等方式组织教学，以达到复习的目的.例10 如图15（1），在ABC中，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，使BE=AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF=EF.图15证法1：如图15（2），延长AD至点P，使DP=AD.由ADCPDB得BP=AC，3=P，进而有BP=BE，所以P=1.所以2=3.命题得证.证法2：如图15（3），延长AD至点Q，使DQ=DE，同上可证.例11 如图16（1），在ABC中，AD是BAC的平分线，点M是BC边上的中点，MEAD交BA的延长线于点E，求证：.图16证

25、法1:如图16（2），延长FM至点P，使MP=MF.由条件易知AEF是等腰三角形，进一步可证得BPMCFM,从而可得结论.证法2:如图16（3），延长FM至点Q，使MQ=ME，同上可证.【评注】从条件和结论上看，这两个例题似乎并没有多大的联系，但证明的方法（包括所添的辅助线）基本相同.如果学生在平时的练习中已经做过其中的一道题目，并且在解答另一道题目时能联想到这道题目，那么这种联想的能力就已经得到了锻炼.这种联想能力对学生解题能力的提高是非常重要的.在复习教学中，我们如果能有意识地将这样的例题组合在一起，能更有效地发挥例题教学的功效，对提高学生的解题能力无疑也是大有裨益的.（2）从培养学生的抽

26、象、概括能力方面考虑.抽象、概括能力是数学中两种重要的能力.培养学生抽象、概括能力的途径很多，这里仅从基本题（图）的角度谈选题.例12 我们知道：若ABCD, 则在下列三个图中，ABE,E,CDE之间的关系分别是：在图17（1）中，ABE+E+CDE=360°；在图17（2）中，E=ABE+CDE；（1） （2） （3） 图17在图17（3）中，E=ABE-CDE. 图18进一步我们可以得到：如图18，若CB1，则：.这是一个基本题，也可以说是基本结论.如果学生知道这个基本结论，并掌握其推导过程，那么许多类似的问题都可以迎刃而解.变式1 如图19（1），如果ABCD，则、之间的关系是

27、（ ）（A）+=360° （B）+=180° 图1912（C）-+=180° （D）+-=180°分析：如图19（2）,若延长BA，则=1+，即=（180°-）+，所以+-=180°，选D.如图19（3），若延长CD，则+2=360°，即+（180°-）=360°，同样可得+-=180°.变式2 如图20，已知GFDE，HGF=120°，B=30°，C=45°，CDE=30°，求A的度数.图20分析：先求得AGF=60°.由前面的结论可知，AGF

28、+B+CDE =C+A，所以A=75°.变式3 如图21（1），已知ABCD，ABE和CDE的平分线相交于点F，E=140°，求BFD的度数.分析：若将图21（1）分解成图21（2）、图21（3），则不难发现：在图21（2）中，ABE+CDE=360°-140°=220°；在图21（3）中，BFD=B+D，所以BFD=×220°=110°.图21变式4 三个正方形连成如图22（1）所示的图形，则的度数为 .分析：由于A+B=180°，所以ADBC.若将图22（1）看成图22（2），则有40°+1

29、24°+75°+=3×90°，解得31°.（1） （2） 图22图23上述这一组变式题，都是从一个基本图形出发的.换句话说,从这几个变式题图中都可以抽象出类似于图17那样的基本图形.我们平时遇到的大多题目（无论是代数的还是几何的），都可以看成由若干个小题（或图形）复合而成的一个整体，要从这个整体中分离出一个基本的、熟悉的小题（或图形）并非简单的事情，学生需要具备一定的观察能力、分析能力和判断能力.比如变式4，学生首先想到的方法是依次连接三个正方形外侧的三个顶点，得到一个七边形，利用多边形的内角和来求的值.运用这种方法求解时，同样需要图形的分解：

30、如图23，M+N=GEH.如果学生能够抽象出图22（2），则已经具备了较高的抽象能力.因此，在复习教学中，我们既需要培养学生的概括能力，也需要培养学生的抽象能力，重视了选题的针对性，就为教学目标的达成作好了铺垫.（3）从培养学生的反思能力方面考虑.案例1：（浙教版九上“相似三角形”第116页例3）数学兴趣小组测校园内的一棵树高，有以下两种方法：方法一：如图24（1），把镜子放在离树（AB）8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m；方法二：如图24（2），把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2

31、.80m，标杆的影长为1.47m.分别根据上述两种不同方法求出树高.请你自己写出求解过程，并与同伴探讨还有其他测量树高的方法吗？图24第一节课：教师按教材的方法处理，顺利完成教学内容.第二节课：教师先给出问题“校园内有一棵大树如图（25（1），要求用相似三角形的知识求出这棵树的高度，你能想到哪些方法？”生1：爬上树顶.显然，这位男生没有听清老师的要求.生2：在与AB垂直的方向上取一点E，再往前走到点C，然后再沿与BC垂直的方向走到点D，使点D，E，A在一条直线上，分别量出线段BE，CE，CD的长度就可算出树的高度AB.学生一边说，一边在黑板上画图（如图25（2），没等这位同学说完，就已经有许多

32、学生提出异议，因为这位同学用测量河宽的方法来测量树高了，真可谓是“盘观者清，当局者谜”.图25生3：在树顶装一盏灯，到晚上利用灯光生4：如果能够在树顶装灯，那么就可以直接量出树的高度了.我认为利用太阳光线更好.设树在太阳光线照射下的影子为BE，再在地上竖一根杆子这位学生到黑板上画出如图25（3）所示的图形. 最后，在教师的启发下，学生又给出了如图25（4）、（5）所示的方法.图25图26接着，教师再给出了如下练习（××版教科书相应章节的一个例题）：“古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图26所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒OB，比较棒子的影

33、长AB与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB如果OB1，AB2，AB274，求金字塔的高度OB”.这时，竟有学生马上提出了意见：这个图不符合实际！因为，木棒在金字塔的影子里，太阳光线刚好被挡住了.我们不得不佩服学生的观察和思考能力！执教者当时没有注意到这个问题，教材编写者也没有意识到这一生活实际，但学生注意到了，这是了不得的.再看看学生是在什么情况下提出这一问题的？在前面第一个问题的教学中，我们反复运用了太阳光线，太阳光线是学生熟悉的，可以说此时学生已积累了一定的知识和经验，他们已经具备这个判别能力.另一方面，也正是有了前面“爬上树顶”、“用测河宽的方法”以及“树顶装灯”等方法的判别

34、，学生有了这种批判的意识和反思的能力，这是难能可贵的！学生需要这种批判意识和反思能力，这就需要我们在平常的课堂教学中有意识地去创设和培养.案例2：在一次单元测试中出现这样一道题目：“如图27是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短距离是（ ）图27（1） （2） （3） 图28（A） 8cm （B） cm （C） cm ( D) （）cm”老师给出的答案是B，学生大多选C.试卷讲评时，老师先画出如图28所示的三种展开图，依次求得MN的长为cm、cm、cm，由于，所以选B，学生恍然大悟.不知是谁忽然冒出一句：蚂蚁怎么会从正方体的底下爬过去呢？有道理！

35、老师马上作出反应，其他学生也醒悟过来.这时，老师不失时机地说：根据这个实际情况，本题应该选C.我们能否把题中的条件作一改进，使该题的答案是cm呢？生5：把正方体用绳子悬空.生6：M，N分别是DC，BB1的中点.一个意想不到的问题得到了圆满的解决.长期以来，我们所接触的实际问题都是理想化了的问题情境，教师和学生都已经形成了习惯性思维，导致我们的课堂教学许多时候忽视了现实的问题背景（或教学情景），避免不了地进行纯数学教学，以至于大多学生仍对问题的结果不加反思.如以篮球为背景的某二次函数的应用问题，进攻队员进行跳投，问跳起的高度是多少米时才能投篮筐？学生对自己求得的1.2米、4.1米等答案丝毫没有怀

36、疑，这不能不说是一种失败.案例3：在某练习卷上有这样一道题目：“抛物线与坐标轴的交点有 个.”老师的答案是“3”，大多学生的答案是“2” .讲评时教师特意强调了分类讨论的思想：“坐标轴”包括轴和轴.抛物线与轴相交时，有两个交点；抛物线与轴相交时，有1个交点.因此，抛物线与坐标轴有3个交点.答错的学生都为自己因疏忽了一种情形而后悔不已.生7：老师，我觉得答案“2”也对. 师：为什么？说说你的理由.生7：因为当时，抛物线经过原点，这时抛物线与轴的交点和抛物线与轴的一个交点是同一个点，这时总数就只有2个交点.师：真聪明！老师也没有考虑到这一点.我们不禁被学生的思维严谨所折服！从考虑问题不全面得到“2

37、个”交点，到分类讨论得到的“3个”交点，最后到“2个或3个”交点，思维层次在不断提升，学生的反思能力就是在这样的情境中得到有效锻炼的.案例4 已知一张等腰直角三角形纸板能剪出面积为24cm2的最大正方形，则该纸板的最长边为（ ）（A）8cm （B）6cm （C）6cm （D）4cm学生的解答思路主要有以下几种：生8：画出如图29（1）所示的图形，若内接正方形的面积为24cm2，则cm，这时cm，cm，故选A.生9：画出如图29（2）所示的图形，若内接正方形的面积为24cm2，则cm，这时 cm，故选C.生10：画出如图29（1）、（2）所示的图形，分别求得AB的长为cm、cm，而，故选C.图2

38、9显然，前两位学生的解答都不严密，因为他们考虑问题不全面.那么第三位学生的解答是否就是正确的？书本提供的答案是A，是不是错了？带着这个问题，我们作进一步思考：首先考虑在等腰直角三角形中截取一个正方形，怎样截取才能使正方形的面积最大？我们画出如图29所示的两个图形，计算如下：不妨设AC=BC=1，则AB=.如图29（1），设正方形的边长为，则AD=DC=，即，.如图29（2），设正方形的边长为，则AE=EF=FB=，即，.所以，在一个已知的等腰直角三角形中，按图29（1）的方式截取所得的正方形面积最大. 第三位学生的解答就错在没有考虑到“剪出面积为24cm2的最大正方形”这一条件.至于第一位学生

39、，虽说答案是对的，但其思考过程是错的，属于歪打正着，我们应该给予纠正.上述几个案例给我们的启示是：进入中考第二阶段的复习教学，教师不能停留在（或满足于）把一道一道的题目讲清楚、讲完整，更应该从学生的反馈中发现问题，深挖细究，真正帮助学生解决问题.二、改编习题是提高复习效率的有效手段在中考第二轮的复习中，老师们普遍存在的心理是千方百计地去找一些平时没做过的、新颖的题目让学生做，唯恐中考出现这样的题目.这样做的后果必然导致选取的题目缺乏系统性和针对性，免不了会出现一些偏题、怪题、难题，学生越做越觉得没有信心，最终导致我们的复习走偏.其实，要培养学生的解题能力，提高思维灵活性，教师可以从变题、编题、

40、联题（即联系不同或相同的题目）等角度去做.如何进行习题的改编呢？我们可以从以下几个方面进行考虑：1、从变换条件或结论的角度改编例13如图30，已知E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形.图32图31图30改编1如图31，已知E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的三等分点，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.改编2 如图31，已知E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.改编3 （苏教版九上“3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定”的例题）已知：如图3

41、2， E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，AF、BG、CH、DE分别相交于点A/、B/、C/、D/，求证：四边形A/B/C/D/是正方形.改编4 分别求出图30-图32中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比.答案：依次为12，59，15.【说明】从改编1到改编2、3，点的位置发生了变化，但四条线段围成的四边形的形状不变. 这三个改编都是从条件的角度入手的，而改编4则是从结论的角度考虑的.象这样能体现从特殊到一般的变化过程、从改变问题的条件和结论的角度考虑，都是最常见的习题改编方法.2、从变换设问方式的角度改编例14（浙教版七下“分式”第170页作业题5）现有甲、乙、丙三种糖果混合

42、而成的什锦糖50千克，其中各种糖果的千克数和单价如下表： 表1甲种糖果乙种糖果丙种糖果千克数102020单价（元/千克）252015 商店以糖果的平均价作为什锦糖的单价，若要使什锦糖的单价提高1元/千克，问需要加入甲种糖果多少千克？答案：10千克.改编1 现有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖果的千克数和单价如下表： 表2甲种糖果乙种糖果丙种糖果千克数202010单价（元/千克）151824商店以糖果的平均价作为什锦糖的单价，若要使什锦糖的单价提高1元/千克，计划从甲、乙、丙三种糖果中再加入一种糖果，问需要加入的糖果是哪一种？请求出需加入该种糖果的千克数.解：（元/千克），

43、因为只有丙种糖果的单价大于18元/千克，所以必须加入丙种糖果.设需要加入丙种糖果x千克，则，解得x=10，经检验，【说明】改编题与原题相比，一是数据的大小和顺序作了调整；二是加入的糖果是哪一种需要作出选择，因为提价前什锦糖的单价为18元/千克，所以加入的糖果单价应该高于18元千克，故应该选丙.改编2 （浙教版七下“分式”第165页探究活动）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为元/千克，B种糖的单价为元/千克，则千克A种糖和千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）.现有甲、乙两种什锦糖，均由A,B两种糖混合而成.其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖

44、混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成.你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？解：甲种什锦糖的单价是：（元千克）；乙种什锦糖的单价是：（元千克）.因为0，所以.所以，若，则甲种什锦糖单价较高；若，则甲、乙两种什锦糖的单价相同.【说明】 从具体的数据计算到抽象的字母化简，从平均价的计算到分式的大小比较，都是题目改编的考虑角度.3、从变换问题情景的角度改编例15 (浙教版八下“二次根式”第16页例7) 如图33是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm.将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条. （1）分别求出3张长方形纸条的长度；（2）若用这些纸条为一

45、幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图34，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2？CABD图33图34答案：（1）3张长方形纸条的长度分别为cm，cm，cm.（2）不能超过200cm2.改编1 (浙教版九上“相似三角形”第112页作业题6) 给一版墙报镶边，需要4cm宽的彩色纸条48cm.现有如图35所示的一张三角形彩色零料，其中BC=25cm，BC边上的高为20cm.小慧给出一种裁纸方法：将AB,AC分别五等分，然后如图连接两边对应的点，并以这些连接线为一边作矩形.剪出这些小矩形纸条，用来为墙报镶边.问小慧这种方法能满足这版墙报镶边需要吗？请说明理由.图36图35答案：通过计算：B1

46、C1+B2C2+B3C3+B4C4=2BC=50(cm)48（cm）. 所以这种方法能满足这版墙报镶边的需要.改编2（2009年浙江·温州卷）一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图36所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )（A）第4张 （B）第5张 （C）第6张 （D）第7张答案：C.【说明】原题的情景是一个剪纸问题，考查的知识是直角三角形的性质、二次根式的运算以及图形面积的计算问题；改编1将三角形的形状、计算每一张矩形纸条长度的方法及已知线段的长度等作了改变，侧重于考查相似三角形的知识；

47、改编2是在改编1的基础上，对三角形的形状、矩形纸条的数量再次改变，并且体现了探究性.这样的题目改编是值得我们借鉴的.例16（见例14）.改编3 甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米100kg，乙每次买米100元.由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同.若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？分析：设前后两次购粮的实际单价分别为元/千克，元/千克，则甲的平均单价为元/千克，乙的平均单价为元/千克.类似于例14改编2的方法可以求得乙的购粮方式更合算.【说明】本改编与例14的解答方法基本相同，只是问题情景作了变化.4、从对原

48、题的延伸（挖掘）角度改编例17（浙教版七下“二元一次方程组”第93页例1）用如图37（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图37（2）的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？（1） （2） 图37答案：横式纸盒200个，竖式纸盒400个.改编1 （浙教版七下“二元一次方程组”第94页课内练习1）如果将上述例题中的条件改为仓库里有正方形纸板500张，长方形纸板1001张，那么能否做成若干只所说的两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完？说明你的理由.学生参照例题，通过填表，给出解答：表3：只竖式纸盒中只横式纸

49、盒中 合计正方形纸板张数 2 500 长方形纸板张数 1001设做竖式纸盒只，横式纸盒只.根据题意，得 解之得师：根据上述解答，本题的结论该如何作答？马上有学生举起了手.生11：能做竖式纸盒只，横式纸盒只.教师不表态，学生感到疑惑，稍后马上有人发现答案不对.生12：能做竖式纸盒约100只，横式纸盒约200只.教师仍不表态，学生困惑了.这时教师提醒学生仔细读题，自己判断上述作答是否正确.有一部分学生开始醒悟.生13：因为不是整数，所以库存纸板不能恰好用完.至此，问题已圆满解决，并且思维也得到了锻炼，但教师并没有因此而结束该问题的教学，继续进行引导.师：你能否不解方程就作出判断？生14：（1）+（

50、2）得：，因为这个方程的左边是5的倍数，右边不是5的倍数，所以此方程无整数解，所以库存纸板不能恰好用完.【评注】题目改编是一个方面，组织教学是更重要的一个方面.改编是形式上的，教学是方法上的.在中考第二轮的复习教学中，我们同样需要学生的参与，需要暴露学生的思维过程，这就要求教师积极创设学生暴露思维的机会.改编2（2009年浙江·温州卷）某工厂用如图37（1）所示的长方形和正方形纸板，做成如图37（2）所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒2个根据题意，完成以下表格： 表4：竖式纸盒(个)横式纸盒(

51、个) 正方形纸板(张) 长方形纸板(张) 按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完已知290<<306则的值是 (写出一个即可)答案：（1）从上往下依次填：，.有三种生产方案：竖式纸盒38个，横式纸盒62个；竖式纸盒39个，横式纸盒61个；竖式纸盒40个，横式纸盒60个.（2）设做横式纸盒个，竖式纸盒个，则 由（1）得. （3） 将（3）代入（2）得. 即.因为290306，所以290306.所以.因为为正整数，且为偶数，所以=20,22,24.所以=293,298,303.【说明】原题是一个二元一次方程

52、组的应用问题，改编1只是将题目中的数据作了改变，出现的方程组无整数解，难度并不大，但思维层次要求更高.改编2则是对原题进行了延伸拓展，把方程组的问题改编为一元一次不等式组的问题，并且增加了一个未知数，思维层次高，难度大.从上可以看出，教师无论是命题，还是在平常的教学中，都应该有这样一种意识和能力学会编题，不能都是拿来主义.当然，编题对教师的要求更高：首先教师必须大量地解题，教师只有积累了相当数量的题目，才能把相关的题目联系起来，才能开阔思路；其次教师应有编题的意识，千万不能就题论题，把现成的题目进行简单的捆绑；第三教师必须研究学生，只有了解了学生的情况，才能编制出符合学生能力和水平的高质量问题

53、. 三、有效利用习题是提高复习效率的保证精选习题，是提高复习效果的第一步.有效利用习题，是提高复习效果的第二步，而且是关键的一步.特别是进入中考第二轮的复习阶段，更讲究这种方法和策略，以起到以一当十、事半功倍的作用.1、通过对题目的挖掘，培养学生思维的广度和深度例18 在如图38所示的格点中找一点C，使得ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰.图38图39这是一道有关等腰三角形专题复习的作业题，属简单题.学生都给出了如图39（1）（3）中的一个答案，按理不需要讲评.如果我们对它稍加挖掘，又会是怎样的一种情形？延伸1：上题图中符合条件的点有几个？90%的学生回答是2个.如果我们把问题改成“请你求出

54、所有符合条件的点”，相信大多学生能够给出完整的答案. 这说明学生大多还是停留在就题论题上，设问的角度、方式不同，对学生思维的导向就不同，即使是这么一个简单的问题也能反映出学生思维的广度和深度. 图40延伸2：如果将线段AB放在如图40所示的7×7的方格中，符合条件的点又有几个？这个问题对学生的思维层次要求更高.从知识的角度上讲，学生要考虑哪个角是等腰三角形的顶角，体现分类讨论的思想；从能力的角度上讲，学生要在这么多的网格中找出符合要求的格点，从而把所求的问题转化为分别以点A,B为圆心，以线段AB的长为半径的圆与网格的交点个数. 2、通过一题多解，培养学生思维的灵活性例19 如图41，白棋和黑棋按如下的方式摆成正方形，则第个图中白棋的颗数为 .图41(1) (2) (3)解法1：观察黑棋的颗数规律：图41(1)：；图41(2)：；图41(3)：；图41()：. 所以第个图中白棋的颗数为，即.解法2：按如图42所