2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业 十三 2.2.2 椭圆的简单几何性质 2 精讲优练课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业 十三椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点f作倾斜角为3的弦ab,则弦ab的长为()a.67b.167c.716d.76【解析】选b.椭圆的方程可化为x24+y22=1,所以f(-2,0).又因为直线ab的斜率为3,所以直线ab的方程为y=3x+6.由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-1227,

2、x1·x2=87,所以|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167.2.ab为过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的弦,f(c,0)为椭圆的右焦点,则afb面积的最大值为()a.b2b.abc.acd.bc【解析】选d.由ab过椭圆中心,则ya+yb=0,故safb=12(ya-yb)·c=12|2ya|·c=|ya|·cbc,即当ab为y轴时面积最大.3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()a.x-2y=0b.x+2y-4=0c.2x+3

3、y-12=0d.x+2y-8=0【解析】选d.设这条弦的两端点为a(x1,y1),b(x2,y2),斜率为k,则x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0.又弦中点为(4,2),故k=-12,故这条弦所在的直线方程为y-2=-12(x-4),整理得x+2y-8=0.4.(2016·衡水高二检测)如果ab是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦,o为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,m为ab的中点,则kab·kom的值为()a.e-1b.1-ec.e2-1d.1-e2【解析】选c.

4、设a(x1,y1),b(x2,y2),中点m(x0,y0),由点差法,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,所以kab·kom=y2-y1x2-x1·y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.【补偿训练】椭圆x216+y29=1中,以点m(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()a.916b.932c.964d.-932【解析】选b.设弦的两个端点为a(x1,y1),b(x2,y2),则x1216+y129=1x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2

5、)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因为弦中点为m(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932.5.(2016·郑州高二检测)在区间和上分别取一个数,记为a,b,则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()a.12b.1532c.1732d.3132【解析】选b.因为x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆,所以a>b>0,a<2b,它对应的平面区域如图中阴影部分所示:则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x

6、轴上且离心率小于32的椭圆的概率为p=s阴影s矩形=12×(1+3)×2-12×12×12×4=1532.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的中心为原点,焦点f1,f2在x轴上,离心率为22.过f1的直线l交c于a,b两点,且abf2的周长为16,那么椭圆c的方程为.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).因为e=22,所以ca=22.根据abf2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22,所以椭圆方程为x216+y

7、28=1.答案:x216+y28=17.(2016·沈阳高二检测)椭圆x24+y23=1上有n个不同的点p1,p2,p3,pn,椭圆的右焦点为f,数列|pnf|是公差大于1100的等差数列,则n的最大值为.【解题指南】|p1f|=|a-c|=1,|pnf|=a+c=3,|pnf|=|p1f|+(n-1)d,再由数列|pnf|是公差大于1100的等差数列,可求出n的最大值.【解析】|p1f|=|a-c|=1,|pnf|=a+c=3,|pnf|=|p1f|+(n-1)d.若d=1100,n=201,d>1100,n<201.答案:2008.(2016·长春高二检测)

8、已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,则c的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点a(或b)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在abf中,由余弦定理得|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf,又|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,解得|af|=6.在abf中,|ab|2=102=82+62=|bf|2+|af|2,故abf为直角三角形.设椭圆的右焦点为f,连接af,bf,根据椭

9、圆的对称性,四边形afbf为矩形,则其对角线|ff|=|ab|=10,且|bf|=|af|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|af|+|af|=2a,所以2a=|af|+|af|=6+8=14.故离心率e=ca=2c2a=57.答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xoy中,点p到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点p的轨迹为c.(1)求c的方程.(2)设直线y=kx+1与c交于a,b两点,k为何值时oaob?此时|ab|的值是多少.【解析】(1)设p(x,y),由椭圆的定义知,点p的轨迹c是以(0,-3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆

10、,它的短半轴长b=22-(3)2=1.故曲线c的方程为y24+x2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),其坐标满足y=kx+1,y2+4x2=4.消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得x1+x2=-2kk2+4,x1x2=-3k2+4.若oaob,则x1x2+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k2+4-2k2k2+4+1=-4k2-1k2+4=0,所以k=±12.当k=±12时,x1+x2=417,x1x2=-1217.所以|a

11、b|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42172+4×1217=43×13172,所以|ab|=54×43×13172=46517.10.(2016·烟台高二检测)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程.(2)设a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若ac·db+ad·cb=8,求k的值.【解析

12、】(1)设f(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆方程为x23+y22=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.所以x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为a(-3,0),b(3,0),所以ac·db+

13、ad·cb=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()a.0b.1c.2d.需根据a,b的取值来确定【解题指南

14、】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点p是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选c.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以点p(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点p是椭圆内的点,所以过点p(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.2.椭圆ax2+by2=1与直线

15、y=1-x交于a,b两点,过原点与线段ab中点的直线的斜率为32,则ab的值为()a.32b.22c.32d.12【解析】选a.把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1,得ax2+b(1-x)2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=2ba+b,y1+y2=2-2ba+b,所以线段ab的中点坐标为ba+b,aa+b,所以过原点与线段ab中点的直线的斜率k=aa+bba+b=ab=32,即ab=32.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a

16、,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由4x2+5y2-20=0,y=2x-2,消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=53,从而a(0,-2),b53,43.所以|ab|=259+1009=1259=553.又o到ab的距离d=25=255,所以saob=12·|ab|·d=12×553×255=53.答案:534.(2016·青岛高二检测)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0),若椭圆上存在点p使asinpf1f

17、2=csinpf2f1成立,则该椭圆的离心率的取值范围为.【解析】由正弦定理及asinpf1f2=csinpf2f1,得ca=sinpf2f1sinpf1f2=|pf1|pf2|.在pf1f2中,设|pf2|=x,则|pf1|=2a-x.则上式为ca=2a-xx,即cx+ax=2a2,x=2a2a+c.又a-c<x<a+c,所以a-c<2a2a+c<a+c.由a-c<2a2a+c,得a2>-c2,显然恒成立.由2a2a+c<a+c,得a2<2ac+c2,c2+2ac-a2>0,即e2+2e-1>0,解得e>-1+2或e<-

18、1-2(舍).又0<e<1,所以e的取值范围为(2-1,1).答案:(2-1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·北京高二检测)已知椭圆g:x24+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆g于a,b两点.(1)求椭圆g的焦点坐标和离心率.(2)将|ab|表示为m的函数,并求|ab|的最大值.【解析】(1)由已知得a=2,b=1,所以c=a2-b2=3.所以椭圆g的焦点坐标为(-3,0),(3,0),离心率为e=ca=32.(2)由题意知,|m|1.当m=1时,切线l的方程为x=1,点a,b的坐标分别为(1,32),(1,-32),此时|ab|=3.当m=-1时,同理可得|ab|=3.当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由y=k(x-m),x24+y2=1得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),( x