【中考数学】近年中考数学压轴题大集合(全集)

1、近年中考数学压轴题大集合(一)一、函数与几何综合的压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为 B、D且AD与B相交于 E 点.已知:A(-2,-6), C(1,-3)(1)求证：E点在y轴上；(2)如果有一抛物线经过 A, E, C三点，求此抛物线方程.(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E'点， 如图，求 AE' C的面积S关于k的函数解析式.解(1)(本小题介绍二种方法，供参考)DOC (1 + k,-3)A (2,-6)方法一：过 E作EOx轴，垂足 O'，AB/EO'/ D

2、CEOAB又 DO'.EO AB.AB=6,DO EO BO ,DB CD DBBO' DBEO 1DCDC=3,.EO' =2p DO EO又丁，. DODB AB.DO' DO,即O与O重合,EO 2DB - 3 1AB 6E在y轴上方法二：由D (1, 0), A (-2, -6),得DA直线方程:再由 B (-2, 0),C (1, -3),得 BC 直线方程：y=-x-2y=2x-2 x联立得yE点坐标(0,-2),即E点在y轴上(2)设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(aw 咂 A (-2,-6), C (1, -3)4a 2b c 6 E (0,

3、-2)三点，得方程组 a b c 3c20解得 a=-1,b=0,c=-2，抛物线方程y=-x2-2(3)(本小题给出三种方法，供参考)由(1)当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E作E'Fx轴垂足为F。同(1)可得：EF EF 1 得：EF=2-DB312DC?DBAB DC方法一：又. EF/AB E-F DF, DF AB DB1 r v 1.ccL小 AEC= S ADC - S EDC=一DC?DB DC?DF 221 -=DC ? DB =DB=3+ k3S=3+k为所求函数解析式方法二：BA / DC ,S bca= Sabda1 1Sa AEC= Sa BDE B

4、D ? E F -3k 23k22.S=3+k为所求函数解析式.证法三：Sa dec : Saaec=DE，： AE' DC ： AB=1 : 2同理：Sa DE C : Sa DEB = 1 ： 2,又 Sa DEC : Sa ABE =DC2 : AB2=1-2-21 .S AEC6S梯形ABCD ABCD ? BD 3 k99 2.S=3+k为所求函数解析式.2.已知：如图，在直线坐标系中，以点 M (1, 0)为圆心、直径 AC为2d2的圆与y轴交于A、D两点.(1)求点A的坐标；(2)设过点A的直线y = x+b与x轴交于点B.探究：直线AB是否。M的切线？并对你的 结论加以

5、证明；S h(3)连接BC,记 ABC的外接圆面积为S1、O M面积为S2,若三一，抛物线S24y=ax2+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到 x轴的距离为h .求这条抛物线的解析式解(1)解：由已知 AM = <2 , OM = 1,在 RtAAOM 中，AO = Jam 2_OM 21 ,点A的坐标为A (0, 1)(2)证：.直线 y=x+b 过点 A (0, 1)，1 = 0+b 即 b=1.-.y = x+ 1令 y=0 则 x= 1. .B (-1, 0),ab=y'BO2 AO2” 1222在 ABM 中，AB = 22. , AM = V2 , BM =2AB2

6、 AM 2( .2)2 ( .2)24 BM 2ABM 是直角三角形，/ BAM =90°直线AB是。M的切线(3)解法一：由得/ BAC =90°, AB=j2, AC = 2 <2 ,.bc= JAB""Ac2v'(V2)2(2际2 汨 / BAC = 90° ABC的外接圆的直径为 BC, SiBC)2?(V)2?AC 2而 S2()2 ?("2设经过点B(1, 0)、M (1, 0)的抛物线的解析式为:y=a (+1) (x 1), (awQ 即 y = ax2 a, a= ±5,a= ±5，

7、抛物线的解析式为 y=5x25或y= 5x2+5解法二：(接上)求得，h=5由已知所求抛物线经过点B (1, 0)、M (1、0),则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为(0, ±5)，抛物线的解析式为 y=a (x0) 25又 B (1,0)、M (1,0)在抛物线上，. ai5=0, a= i5，抛物线的解析式为 y= 5x25或y= 5x2+5解法三：(接上)求得，h=5因为抛物线的方程为 y=ax2+bx+c (awQ由已知得 a b c 04ac b24aa= - 5解得 b 0 或c 5，抛物线的解析式为y= 5x25或y= 5x2+5.3.如图，在直角坐标系

8、中，以点P (1, 1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y ax2 bx c(a 0)过点A、B,且顶点C在OP上.求OP上劣弧AB的长;(2)求抛物线的解析式;(3渔抛物线上是否存在一点 D,使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，请说明理由.fy解(1)如图，连结PB,过P作PMx轴，垂足为 M.在 RtAPMB 中, ./ MPB = 60°,PB=2,PM=1, ./ APB = 120AB的长=120商43(2)在 RtAPMB 中，PB=2,PM=1,则 MB = MA = 73 .又 OM=1 , A (1 V3 , 0) , B

9、(1+ 73 , 0),由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则 C(1 , 3).点A、B、C在抛物线上，则0 a(1.3)2 b(1.3) ca 10 a(1 v13)2 b(1 石)c 解之得 b 23 a b cc 2抛物线解析式为y x2 2x 2(3)假设存在点 D,使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且 PC/ OD.又 PC/y 轴，点 D 在 y 轴上，. OD = 2,即 D (0, 2)又点D (0, 2)在抛物线 y2x 2x 2上，故存在点 D (0, 2),使线段OC与PD互相平分.4.如图，在平面直角坐标系内,RtABC的直角顶点C (0, J

10、3)在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且 OA : OB= 3:1,以OA、OB为直径的圆分别交 AC于点E,交BC 于点F.直线EF交OC于点Q.(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)请猜想：直线 EF与两圆有怎样的位置关系？ 并证明你的猜想.(3)在 AOC中，设点M是AC边上的一个动点， 过M作MN II AB交OC于点N.试问：在x轴上是否 存在点P,使得 PMN是一个以MN为一直角边的 等腰直角三角形？若存在，求出 P点坐标；若不存 在，请说明理由.解(1)在 RHABC 中，OCLAB, . AOCQCOB.-.OC2=OA OB. OA : OB=3 ： 1,C(

11、0, 73), (、3)2 3OBgOB. .OB=1.OA=3. A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为y2axbx9a3b c 0,0,解之，得c.3 ,2、3, 3四经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y(2)EF 与。Oi、O O2都相切.证明：连结OE、OE、OF. . / ECF = /AEO = / BFO=90°, 四边形EOFC为矩形. .QE=QO.1 = / 2. / 3=/ 4,Z2+Z4= 90°, EF与。O1相切.同理：EF理。O2相切.(3)作MP LOA于P,设MN = a,由题意可得 MP=MN = a. . MN II OA,

12、CMNA CAO.MN CNAOCO3 a解之,此时,四边形MN OP3、3 3. 2OPMN是正方形.3.3 3. 23.3 P(二310).考虑到四边形PMNO此时为正方形，点P在原点时仍可满足 PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形 .角形且故X轴上存在点P使得 PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角3.33 一P("30)或 P(0,0).25.如图，已知点A(0, 1)、C(4, 3)、E(15 , 23), P是以AC为对角线的矩形 ABCD内部(不 48在各边上)的一个动点，点 D在y轴，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.(1)说明点A、C、E在一条条直线上;(2

13、)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向？请说明理由；(3)设抛物线y = ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),AGAO与AFA。的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点. 这时能确定b的值；若不能，请确定 a、b的取值范围.(本题图形仅供分析参考用)解(1)由题意，A(0 , 1)、C(4, 3)确定的解析式为:y=将点E的坐标E(15,生)代入y=1x+1中，左边=空， 4828边=1x15+1二史, 248a、b的值吗？若能，请求出a、1:左边=右边,'点E在直线y=-x+1上,即点A、C、E在一条直线上(2)解法一：由于动点P在矩形ABCD内部

14、，点P的纵坐标大于点 A的纵坐标，而点A 与点P都在抛物线上，且 P为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：.抛物线 y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为4a-b2 ,且P在矩形ABCD内部，4a，av0,，抛物线的开口向下(3)连接 GA、FA, Sagao S；afao=3- GO - AO - - FO - AO=3OA=1 , ,GOFO=6.设 F (x1,0)、G (x2,0),贝U x1、1- a< 0, - x1 - x2= < 0, - - x1 < 0V x2,aGO= x2, FO= x1,即 x2+x1=6, 1.- x2+x1=- x2

15、( x1)=6 ,b.be 一 =6 ,a ab= -6a,，抛物线解析式为：19a) , 顶点3 v av 0.，9y=ax26ax+1,其顶点P在矩形ABCD内部，x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且 xvx2,又P的坐标为(3,1 v 1 9av由方程组y= ax26ax+1y= - x+121得：ax2 (6a+) x=0 26a 11x=0 或 x=2 =6+ .a 2a当x=0时，即抛物线与线段 AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则1v 4a T <3,由 1<1_b!得一Y >0, 4a4a 4a有：0 v 6+ -J- w I2L ,

16、解得：< a< 2a 4912综合得： <a< b= -6a,一 vbv，912236.已知两点0(0, 0)、B(0, 2), OA过点B且与x轴分别相交于点 0、C, O A被y轴分成 段两圆弧，其弧长之比为3 ： 1,直线l与。A切于点0,抛物线的顶点在直线l上运动.(1)求。A的半径；(2)若抛物线经过 0、C两点，求抛物线的解析式；(3)过l上一点P的直线与。A交于C、E两点，且PC = CE,求点E的坐标；(4)若抛物线与x轴分别相交于 C、F两点，其顶点P的横坐标为 m,求 PEC的面积关 于m的函数解析式.解(1)由弧长之比为3： 1,可得/ BAO =

17、 90o再由 AB = AO = r,且 0B = 2,得 r = J2(2)0A的切线l过原点，可设l为y=kx任取l上一点(b, kb),由l与y轴夹角为45o可得：b= kb 或 b= kb,得 k = 1 或 k= 1, ，直线l的解析式为y= x或y=x又由 r= J2,易得 C(2, 0)或 C( 2, 0)由此可设抛物线解析式为y= ax(x 2)或y= ax(x+2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a=1，抛物线为 y=x22*或丫= x2 + 2x6分(3)当l的解析式为y= x时，由P在l上，可设P(m, - m)(m >0)过 P 作 PPx 轴于 P',OP

18、 = |m|, PP= |m|, . OP=2m2,又由切割线定理可得：OP2=PCPE,且PC= CE,得PC=PE=m=PP 7分.C 与 P'为同一点,即 PE± x 轴于 C, m= 2, E(-2, 2)8 分同理，当l的解析式为y=x时，m=-2, E(-2, 2)(4)若C(2, 0),此时l为y=x, P与点。、点C不重合，.二mO且m2, 当 m<0 时，FC=2(2-m),高为 |yp|即为一m,c 2(2 m)( m) 2 o .S= m 2m2同理当 0vmv2 时，S=m2+2m；当 m>2 时，S= m2- 2m；7.如图，直线y kx

19、 4与函数y m(x 0, m 0)的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别 x交于C、D两点.(i)若 COD的面积是 AOB的面积的J2倍，求k与m之间的函数关系式；(2)在(i)的条件下，是否存在k和m ,使得以AB为直径的圆经过点 P(2,0).若存在, 求出k和m的值；若不存在，请说明理由.解(1)设 A(xi, yi) , B(x2, y2)(其中 xiX2, yi由 S COD,i一 一OC22S得 S CODOD22. (- OD yi2, 2( S aodi-OD -2S BOD )V2), OC又。C 4,(yi y2 )8 ,即(yi y2)4y1y2由y m可得x m,代

20、入y kx 4可得y2 4y km 0 xyyi y24, yi y2i6 4km 8 ,即又方程的判别式所求的函数关系式为mi6 4km 8 0,，2 ,ek (m 0).m使得以AB为直径的圆经过点 P(2,0).则AP BP,过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 MAP 与 BPN 都与 APM 互余，MAPV2), 2(yi8,Rt MAPsRt NPB , 契PNMPNBX2即m2-2-i,2 y2(Xi 2)(x22)yi y2°,(-yi2)(- y22)N1V2 0,2m(yi y2)4y1y2(W丫2)20 知yiV2 4yi y22 ,代入得2 m6i , 38m

21、i20,，存在k ,m ,使得以AB为直径的圆经过点 P(2,0),且38.已知抛物线y mx(m 5)x 5(m 0)与 x 轴交于两点 A(x1,0)、B(x2,0)(为 x2),与y轴交于点C,(1)(2)(3)(4)求抛物线和直线且 AB=6.BC的解析式.在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线若e P过A、b、C三点，求e P的半径.抛物线上是否存在点 M,过点M作MNBC.积比为1 3的两部分？若存在，请求出点解(1)由题意得:xx2m 5,x x2 mx轴于点N,使的坐标；若不存在,5八一,x2 x1 6.mMBN被直线BC分成面 请说明理由 .(x1 x2)2 4x1x236,2

22、036,解得mi 1,m2经检验m=1,，抛物线的解析式为:4x5.或：由“2mx (m 5)x5 0得,0,5八.一 6, m 1. m抛物线的解析式为y2 .x 4x5.由 x2 4x5,x21. .A ( 5,0), B (1, 0), C (0,5).设直线BC的解析式为y kx b,5, b0. k5,5.直线BC的解析式为y 5x 5.(2)图象略.(3)法一:在 RtDAOC 中，QOAOC 5,OAC 45 .BPC90 .又 BCOB2 OC2 .26, e P 的半径 PB V26 713.2由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y2x 4x 5的对称轴直线x2上，设P

23、 ( 2, h) (h>0),连结 PB、PC,则 PB2(1 2)2h2,PC2(5 h)2 22,_. . 2_2.(5 h) 2 ,解得 h=2.,2. 222由 PB PC ,即(1 2) hP( 2, 2), eP 的半径 PB 瓜1 2)2 22 A.法三：延长cp交e P于点f.Q CF 为 e P 的直径， CAF COB 90 .又 ABC AFC, DACF DOCB.CF AC cl AC BC,CF .BC OCOC又 AC52 52 5.2, CO 5,BC . 52 12 .26,CF(4)设MN交直线BC于点 巳点M的坐标为(t,t2 4t 5),则点E的坐

24、标为(t,5t 5).若 Sdmeb：Sdenb 1:3，则 ME: EN 1:3.24EN : MN 3:4, t2 4t 5 -(5t 5).55 40斛得t1 1 (不合题息舍去)，t2 -， M -, 一33 9若 Sdmeb：Sdenb 3:1，则 ME:EN 3:1.EN :MN 1:4, t2 4t 5 4(5t 5).解得t3 1 (不合题意舍去)，t4 15, M 15,280 .5 40存在点M,点M的坐标为 一， 或(15, 280)3 99.如图，O M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为 A( 3,0)、B(1,0),直径CD，x轴于N,直线CE切。M于点C,直线FG切

25、。M于点F,交CE于G,已知点 G的横坐标为3.(1)若抛物线y x2 2x m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.(2)求直线DF的解析式.(3)是否存在过点 G的直线，使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由解(1)二抛物线过A、B两点,( 3) 1 m , m=3.2 ，抛物线为y x 2x 3.又抛物线过点 D,由圆的对称性知点 D 为抛物线的顶点.D点坐标为(1,4).(2)由题意知：AB=4. CDx 轴，NA=NB=2. ，ON=1.由相交弦定理得： NA NB=ND NC,NC>4=2X2. .-.

26、NC=1. .C点坐标为(1, 1).设直线 DF交CE于P,连结 CF,贝U/ CFP=90.2+/3=/ 1 + 7 4=90 GC、GF是切线，8GC=GF. .3=/4.1 = /2.GF = GP.GC=GP.可得CP=8.P点坐标为(7, 1)设直线DF的解析式为ykk b 4则解得7k b 1 b，八一一，527 直线DF的解析式为：y 5x 2788(3)假设存在过点 G的直线为y kx b1,则 3k1b11, b13k1 1.y k1 x 3k11 o由方程组2得x2(2 k1)x 4 3kl 0y x22x3由题意得2 kl 4, k16.当k16时,40 0,.方程无实

27、数根，方程组无实数解 .，满足条件的直线不存在.1 210.已知一次函数 y -x bx c的图象经过点 A (3, 6),并与x轴父于点B (1, 0)和点C,顶点为P.(1)求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；(2)设D为线段OC上的一点，满足/ DPC=/ BAC ,求点D的坐标；(3)在x轴上是否存在一点 M,使以M为圆心的圆与 AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)解:.二次函数bxC 的图象过点 A (3, 6), B (1, 0)9得2123bb解得，这个二次函数的解析式为:由解析式可求P ( 1,

28、2), 画出二次函数的图像C (3, 0)(2)解法一：易证：/ ACB=/PCD = 45°又已知:PCBC/ DPC=/BAC . DPCA BACDC解法二:PCAC易求AC6x2, PC2.2, BC 4OD 3D?0过A作AEx轴,设抛物线的对称轴交 x轴于垂足为E.F.亦可证PEPFAEB sx pfd、EB.FD易求：AE = 6,EB = 2, PF= 2_ 5FD. D ,03(3)存在.(1 °)过M作MH，AC , MG，PC垂足分别为 H、G,设AC交y轴于S, CP的延长 线交y轴于T,SCT是等腰直角三角形，M是ASCT的内切圆圆心，MG =MH

29、 =OM又 mc J2om 且 om + mc = oc720M OM 3,得 OM 3 霹 3M 3,2 3,0(2°)在x轴的负半轴上，存在一点 M '同理 OM +OC=M C, OM OC 720M得 OM372 33五 3,0即在x轴上存在满足条件的两个点.11.在平面直角坐标系中，A (1, 0), B (3, 0).(1)若抛物线过 A, B两点，且与y轴交于点(0, 3),求此抛物线的顶点坐标；(2)如图，小敏发现所有过 A , B两点的抛物线如果与 y轴负半轴交于点 C, M为抛 物线的顶点，那么 ACM与4ACB的面积比不变，请你求出这个比值；(3)若对称

30、轴是 AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E, F,与y轴交于点C,过C 作CP/ x轴交l于点P, M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为 60°的菱 形，求次抛物线的解析式.解(1) y x2 2x 3,顶点坐标为(1, 4).(2)由题意，设 y=a (x+1) (x 3),即 y = ax2 2ax 3a,_ACS3CB=1%X2而 a>0,S/xacb=6A、1(3a+4a) 2 4a=a,2作MD ±x轴于D,1 - . 1又 Saacm 一 Saaco + Socmd - Samd = - 1 3a+ Saacm : Saacb = 1 : 6

31、.(3)当抛物线开口向上时，设 y=a(x1)2+k,即y= ax2-2ax+a+k,有菱形可知 a k = k , a+k>0, k<0,k= a2，EF v2 .ay= ax2 2ax+ ,2记l与x轴交点为D,6若/ PEM = 60 ,则/ FEM =30 , MD = DE tan30 =,6a= -63抛物线的解析式为y 1、6x2 2 v6x 336若/ PEM= 120° ,则/ FEM = 60°,MD = DE tan60 =,2 k= , a= 6 ,22、6抛物线的解析式为 y J6x2 2J6x .2当抛物线开口向下时，同理可得yIvW

32、x2 -46x, yV6x2 2J6x.336212.已知：在平面直角坐标系 xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A,抛物经过0、a两点。b；以D为圆心,(1)试用含a的代数式表示(2)设抛物线的顶点为 D,若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在。DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。D内，它所在的圆恰与 0D相切，求。D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x轴上方的部分上是否存 在这样的点P,使得？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。解（1）解法一：二,一次函数的图象与x轴交于点A，点A的坐标为（4, 0）;抛物线经过O、A两点

33、解法二：:一次函数的图象与x轴交于点A，点A的坐标为（4,0).,抛物线经过O、A两点,它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然D'图1抛物线的对称轴为直线（2）由抛物线的对称性可知，DO = DA.点 O 在O D 上，且/ DOA =/ DAO又由（1）知抛物线的解析式为.点D的坐标为（）当 时，如图1 ,设。D被x轴分得的劣弧为所在的圆与。D关于x轴对称，设它的圆心为 点D与点D也关于x轴对称 点O在O D'上，且。D与。D相切 点O为切点D'O ± OD ./ DOA = Z D'OA = 45 °.ADO为等腰直角三角形，点D的纵坐标为抛物线

34、的解析式为 当 时，同理可得：抛物线的解析式为综上，O D半径的长为，抛物线的解析式为（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点 P,使得设点P的坐标为（x, y）,且y>0当点P在抛物线上时（如图2）点B是。D的优弧上的一点过点P作PE± x轴于点E由解得：（舍去），点P的坐标为当点P在抛物线上时（如图3）同理可得,解得:，点P的坐标为综上，存在满足条件的点 P,点P的坐标为或y轴正半轴交于点 A、B。(舍去)13.在直角坐标系中，O经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、(1)如图，过点A作。的切线与y轴交于点C ,点O到直线AB的距离为123 一,sin ABC 一，求直线AC的解析

35、式；55(2)若。经过点M (2, 2),设 的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会 发生变化，如果不变，求出其值，如果变化， 求其变化的范围。解(1)如图1,过。作于G,(3, 0)AB是。 的直径切。设直线 AC 的解析式为直线 AC 的解析式为（ 2）结论：的值不会发生变化设 的内切圆分别切 OA、OB、AB于点P、Q、T,如图2所示则在 x 轴上取一点N ，使 AN=OB ，连接 OM 、 BM 、 AM 、 MN平分的值不会发生变化，其值为 4。14.已知：O是坐标原点，P(m,n)(m>0)是函数y = - (k> 0)上的点，过点P作直线PAX OP x 

36、9;'于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A (a, 0) (a>m).设 OPA 的面积为 s,且 s=n41 +万(1)当n= 1时，求点A的坐标；(2)若OP=AP,求k的值；n4(3 )设n是小于20的整数，且kw2，求OP2的最小值.解过点P作PQx轴于Q,则PQ=n, OQ=m、“ i 5(1)当 n= 1 时，s=42s (2)解 1: OP=AP PAX OPOPA是等腰直角三角形am = n = - 2. n4 1-1 + = 2 an即 n4 4n2+ 4= 0k2-4k+ 4=0k= 2解 2: 1 OP = APPAX OPOPA是等腰直角三角形m= n设4

37、OPQ的面积为S1s- 2=SIHu贝.1 1 “ n4、 - 2 , mn= 2(1 + 4)即：n44n2+4 = 0k2-4k+ 4=0k= 2(3)解 1:PAX OP, PQXOAOPQsOAP设： OPQ的面积为S1,则S1=PO2s AO21目2k即：一n41 + 72 k2 n+孑n4 2 4(1+7)n2化简得：2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0 (k2) (2kn4) = 04.*=2或女=会舍去)，当n是小于20的整数时，k=2.OP2= n2+m2= n2+又 m>0, k= 2,n是大于0且小于20的整数当 n= 1 时，OP2= 5当 n=2 时，OP2

38、= 585一 9-4一9+94当 n=3 时，OP2= 32+屐当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6、19时，OP2得值分别是:42 + * 52+* 62+ 去、192+74245619-192+ 乌182+-42>- > 32+令>51921 8232OP2的最小值是5.解 2:Op2=n2+m2=n2+k22 22=+；?= (n-2)2 +4当n=2时，即当n=J2时，OP2最小；又二门是整数，而当 n=1时，OP2=5; n=2时，OP2= 5 OP2的最小值是5.解 3:PAXOP, PQXOAOPQsP AQPQ _ OQQA= PQn _ m a

39、 m n化简得：2n4+ 2k2- k n4- 4k= 0 (k2) (2kn4) = 04，k=2或k=2(舍去)解 4: PAX OP, PQXOAOPQsp AQsiOQ2ssi PQ2化简彳导:2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0(k2) (2kn4) = 0n4 k=2 或 k=2X舍去)解 5: PAX OP, PQXOAOPQsOAP. OP = OQOA OPOP2 = OQ OA化简彳导:2n4+ 2k2 k n4- 4k= 0(k2) (2kn4) = 04k= 2 或 k= 2(舍去)15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A (18,0),B

40、 (18,6),C (8, 6),四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点 P 沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有 一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。(1)求出直线 OC的解析式及经过 O、A、C三点的抛物线的解析式。(2)试在中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与 4AOC全等，请直接写出点D的坐标。(3)设从出发起，运动了 t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点 Q的坐标，并 写出此时t的取值范围。(4)设从出发起，运动了 t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，

41、这时，直线 PQ能否把梯形的面积也 分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值; 如不可能，请说明理由。解(1) ;。、C两点的坐标分别为 O 0,0 ,C 8,6设OC的解析式为y kx b ,将两点坐标代入得：,33k 一，b 0, y 一 x44A, O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为 y a x 0 x 18再将C 8,6代入得：a403 2x4027 x20(2) D 10,62323(3)当Q在OC上运动时，可设 Q m, m ,依题意有：m -m 2t44.,m 8t, .,q 8tg , 0 t 555 5当Q在CB上时，Q点所走过的路程为 2t , OC = 10,，CQ=

42、 2t 10.Q 点的横坐标为 2t 10 8 2t 2,，Q 2t 2,6 , 5 t 10(4)二梯形OABC的周长为44,当Q点OC上时，P运动的路程为t,则Q运动的路程为22 t OPQ中，OP边上的高为： 22 t1 ,梯形OABC的面积=-18 1023, Sopq 522 t 35251 一 .6 84,依题意有：2 t 22 t84整理得：t2 22t 140 00, 这样的t不存在当Q在BC上时，Q走过的路程为 22 t,，CQ的长为：22 t 10 12 t一一一11梯形 OCQP 的面积=-6 22 t 10 t =36w84X 22，这样的t值不存在综上所述，不存在这样

43、的 t值，使得P, Q两点同时平分梯形的周长和面积.一 122.316.已知：如图，抛物线 y -x x m与x轴父于A、B两点，与y轴父于C点,33ZACB =90°,(1)求m的值及抛物线顶点坐标；(2)过A、B、C的三点的。M交y轴于另一点 D,连结DM并延长交。M于点E,过E 点的。M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式；(3)在(2)条件下，设P为CBD上的动点( 问是否存在一个常数 k,始终满足 AHH- AP=k, 请说明理由.解(1)由抛物线可知，点 C的坐标为(0 且 m v 0.设 A (xi, 0), B (x2, 0).则有 xi xP不与C、

44、D重合)，连结PA交y轴于点H, 如果存在，请写出求解过程；如果不存在，又OC是RtA ABC的斜边上的高，AOCscobOA OCOC 0Bxi，即2 xi x2= mmx2- m2= 3m ,解得而mv 0,故只能取m = 0 或 m=m = 313(x、.3)2 41 22.3这时，y x x 333故抛物线的顶点坐标为(4)(2)解法一：由已知可得:73,0), A (73,C (0,-3) , D (0,3),抛物线的对称轴是 x= <3 ,也是。M的对称轴,连结CE DE是。M的直径,丁./ DCE = 90°, .,直线x= 翼,垂直平分 CE,.E点的坐标为(2

45、 J3 , 3)OA OM. 3/。"，/AOC = /DOM =90 ,OCOD3/ ACO = / MDO = 30°, AC / DE. ACXCB,CB IDE又 FGDE, FG / CB由B (3<3 , 0)、C (0, 3)两点的坐标易求直线CB的解析式为:yNx 33可设直线FG的解析式为y= x + n,把(2 J33,3)代入求得n= 5故直线FG的解析式为y =1解法二：令y=0,解，x232 3,日x 3=0 得3xi = 33 , X2= 3 33即 A ( xr3 , 0), B ( 3V3 , 0)根据圆的对称性，易知：OM半径为2 d

46、3, M (贬,0)在 RtBOC 中，Z BOC =90°, OB=373, OC=3，/CBO = 30°,同理，/ ODM =30°o而/BME=/DMO, / DOM =90°, . DE，BC DEXFG,. .BC / FG ./ EFM = Z CBO=30°在 RtAEFM 中，/ MEF =90°, ME = 2#,/ FEM =30°,MF = 4“Q,，OF=OM + MF=5j3, .F点的坐标为（5百,0）在 RtOFG 中，OG=OF tan30 = 5 X= 53 .G点的坐标为（0, 5）直线

47、 FG的解析式为y = x 53（3）解法一：存在常数 k= 12,满足 AH-AP= 12连结CP 由垂径定理可知AD AC, ./ P=Z ACH(或利用/ P=/ABC=/ACO) 又. / CAH =/ PAC,ACHA APCACAHAPAC即 AC 2= AH AP在 RtAAOC 中，AC2=AO2+OC2= ( E) 2+32= 12(或利用 AC 2 = AO- AB = <3 >4 V3 = 12，AH- AP = 12解法二：存在常数 k=12,满足 AH-AP= 12设 AH=x, AP = y由相交弦定理得 HD-HC = AH-HP即(3x2 3)(3

48、. x 3) x(y x)化简彳导:xy= 12即 AHH- AP=12近年中考数学压轴题大集合(二)17.如图，在平面直角坐标系内，O C与y轴相切于D点，与x轴相交于A (2, 0)、B (8, 0)两点，圆心 C在第四象限.(1)求点C的坐标；(2)连结BC并延长交。C于另一点 巳 若线段BE上有一点P,使得AB2=BP-BE,能否推出 APXBE?请给出你的结论，并说明理由；(3)在直线BE上是否存在点 Q,使彳导AQ2= BQ- EQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由 解(1) C (5,-4);(2)能。连结 AE , BE是。O 的直径，/ BAE=90 .AB B

49、E 在4ABE与4PBA中，AB2=BP- BE ,即 ,又 BP AB '/ ABE= / PBA,ABEAPBA ./ BPA= / BAE=90 , IP API BE .(3)分析：假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ- EQ. Q点位置有三种情况：若三条线段有两条等长，则三条均等长，于是容易知点C即点Q;若无两条等长，且点Q在线段EB上，由RtEBA中的射影定理知点 Q即为AQ，EB之 垂足；若无两条等长，且当点 Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知 QA切。C于点A.设Q(t, y (t)，并过点Q作QRx轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程： 当点Qi与C重合时，AQi=QiB=QiE,显然有AQi2=BQi . EQ1 ,Q1(5,-4)符合题意； 当