【KS5U解析】江苏省徐州一中2019-2020学年高二第一次调研测试数学试题 Word版含解析

1、徐州市第一中学z-de新高考研究中心2021届高二第一次调研测试数学测试范围：常用逻辑用语、平面解析几何、空间向量与立体几何、导数及其应用、复数、计数原理（部分内容：两个基本计数原理、排列与组合）（基于旧课程）注意事项：本试卷共4页，包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第1316题）、简答题（第1722题），考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是a. b. c

2、. d. 【答案】c【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选c.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.2.已知，是虚数单位，若，则的值为（ ）a. b. 1c. 2d. 4【答案】c【解析】【分析】将乘开后，利用两个复数相等的充要条件求出，即可得到答案.【详解】由，得，所以解得所以.故选：c【点睛】本题主要考查复数乘法运算及两个复数相等的充

3、要条件，属于基础题3.“”是“函数在上单调递增”的（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】，当时， 恒成立，即递增，但当时， 恒成立， 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选a【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；数集转化法：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.4.已知的导函数是，

4、记，则，的大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】对利用导数的几何意义，再结合的几何意义，问题转化为比较三条直线斜率大小，利用数形结合的方法即可得到结果【详解】记，则，表示直线的斜率；表示函数在处的切线斜率；表示函数在处的切线斜率由图可知故选：d【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于中档题5.已知f1，f2为双曲线的焦点，过f2垂直于实轴的直线交双曲线于a，b两点，bf1交y轴于点c，若acbf1，则双曲线的离心率为()a. b. c. d. 【答案】b【解析】【详解】不妨设双曲线方程为.由ab为双曲线的通径，则a，b，f1(c，0)，由oc为f1f2b中位线，得|

5、oc|，则c.则，由acbf1，则整理得3b44a2c2.由b2c2a2，得3c410a2c23a40，则3e410e230，解得e23或e2，由e1，则e.答案b6.如图，在等腰中，为的中点，为的中点，为线段上一个动点（异于两端点），沿翻折至，点在平面上的投影为点，当点在线段上运动时，以下说法不正确的是（ ）a. 线段为定长b. c. d. 点的轨迹是圆弧【答案】b【解析】【分析】作出翻折后的立体图形，可判断出a、c、d正确，即可得出答案【详解】翻折后的立体图形，如图所示对a，因为点在平面上的投影为点，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，又为斜边的中点，所以为定长.故a正确对c，当在处时

6、，此时点在平面上的投影为点与重合，故，又在中，因为为线段上一个动点（异于两端点），所以.故c正确对d，因为，为的中点，所以点的轨迹是圆弧故d正确故选：b【点睛】本题主要考查平面图形的翻折，意在考查空间想象和推理计算能力7.已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由题意知两点的纵坐标均为，始终在的右侧，可得，其中，从而可将用表示，再构造函数并确定其单调性，即可求出的最小值【详解】由题意可设，其中，故，设，则，因为在上单调递增，而在上单调递减，故在上单调递增，又，所以在上仅有一解.由解得，因为当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递

7、增，所以当时,取得最小值故选：a【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题8. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）a. 120b. 240c. 360d. 480【答案】c【解析】试题分析：前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选c考点：1排列组合问题；2相邻问题和不相邻问题二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.下列结论正确的是（ ）a. “，互为共轭复数

8、”是“”的充分不必要条件b. 如图，在复平面内，若复数，对应的向量分别是，则复数对应的点的坐标为 c. 若函数恰在上单调递减，则实数的值为4d. 函数在点处切线方程为【答案】abd【解析】【分析】利用充分条件和必要条件，即可判断a的正误；因为复数对应的坐标即为的坐标，根据图形求出，坐标，即可判断b的正误；由函数恰在上单调递减，可得是的两根，利用根与系数的关系，即可求出并判断c的正误；求出在点处的切线方程，即可判断d的正误【详解】对a，设，则，所以，故充分性成立；当，此时，但，不互为共轭复数，故必要性不成立所以“，互为共轭复数”是“”的充分不必要条件故 a正确对b，由图可知，所以，故复数对应的坐

9、标为故b正确对c，因为函数恰在上单调递减，所以的解集恰好是，故是方程的两根，所以.故c错误对d，因为函数，所以，所以在处切线斜率，故切线方程为，即，故d正确故选：abd【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，复数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及在一点处切线方程的求法，考查基本知识的灵活运用10.如图所示，抛物线，为过焦点的弦，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的是（ ）a. 若的斜率为1，则b. 若的斜率为1，则c. 点恒在平行于轴的直线上d. 的值随着斜率的变化而变化【答案】bc【解析】【分析】根据及可求出直线的方程，然后与抛物线联立消去，利用根与系数的关系求出

10、，再利用抛物线中弦长公式，即求出长，判断a的正误；利用导数分别求出切线的斜率并写出它们的方程，联立两个方程求出，再设方程为与抛物线方程联立，求出，即可判断b、c、d的正误【详解】由得，所以焦点坐标， 对a，直线的方程为，由得，所以，所以；故a错误因为，所以，则直线、的斜率斜率分别为、，所以，由解得即由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，由消去 得，所以，故d错误又，故c正确对b，当的斜率为1时，故 ，故d正确故选：bc【点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，意在考查转化与化归能力、运算求解能力及数形结合思想11.已知四棱柱为正方体则下列结论正确的是（ ）a.

11、b. c. 向量与向量的夹角是d. 正方体的体积为【答案】abc【解析】【分析】建立空间直角坐标系求出各点坐标，对a、b选项只需再求出对应的向量坐标代入验证等式是否成立，即可判断a、b正误；对c选项利用空间向量的夹角公式求出夹角，即可判断正误；对于d选项只需将判断是否等于体积即可【详解】不妨设正方体的棱长为1，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，因为，所以；故a正确因为，所以故b正确因为，所以，所以，所以向量与向量夹角是，故c正确因为，所以，所以故d错误故选：abc【点睛】本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是（

12、 ）a. 当时，b. 函数有五个零点c. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是d. 对，恒成立【答案】ad【解析】【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断a；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断b、c、d【详解】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故a正确当时，所以，令，解得，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，又，故函数在仅有一个零点当时，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点故b

13、错误作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故c错误由图可知，对，故d正确故选：ad【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强三、填空题13.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点若在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为_，等于_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】要求渐近线方程只需根据双曲线的方程，求出即可；设出切点坐标，利用导数求出处切线斜率，根据切线平行于的一条渐近线，得到斜率相等建立方程，再与点和两焦点三点共线建立的方程联立，即可求出【详解】由可得，所以

14、双曲线的渐近线方程为，右焦点坐标，由抛物线得，其焦点坐标，设，由题意知在点处的切线平行于的渐近线，由，得，故在点处切线斜率，所以，又三点共线，所以，即，由解得故答案为：；【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质、曲线上一点处切线的斜率及三点共线的转化，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力14.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为_【答案】938【解析】【分析】由题意知的取值只能为，故要满足不等式，只要对取值中的个数进行分类讨论，同时再考虑有两种情况，即可得出结果【详解】由可知结果只能为，因此的7个数值中有1个是1，2个是1，3个是1，4个是1四种情况：当中有1个取值是1，另外6个

15、0时，共有方法数是；当中有2个取值是1，另外5个0时，共有方法数是；当中有3个取值是1，另外4个0时，共有方法数是；当中有4个取值是1，另外3个0时，共有方法数是；故总方法数为故答案：【点睛】本题主要考查排列组合的应用及对集合表示方法的理解，同时考查分类讨论的思想15.在平面上给定相异两点a,b，设p点在同一平面上且满足，当0且1时，p点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,a,b为椭圆的长轴端点，c,d为椭圆的短轴端点，动点p满足，pab面积最大值为 ,pcd面积最小值为，则椭圆离心率为_【答案】 【解析】【分析】利用两点间的距离公式

16、求得点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得的值及离心率的值.【详解】依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.16.已知函数，若过点p（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围_【答案】(-3，-1)【解析】【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到

17、等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解【详解】设过点p（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x，2x33x），则6x23，化简得，4x36x2+3+t0，令g（x）4x36x2+3+t，则令g（x）12x（x1）0，则x0，x1g（x）在（1，+）上单增，在（0，1）上单减，且g（0）3+t，g（1）t+1，又过点p（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则（t+3）（t+1）0，解得，3t1故答案为(-3，-1).【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时考查了斜率的表示方法，考查了用导数解决函数零点个数的判断，属于难题四、解答题：本解答应写出文字说明、证明过程或演算步

18、骤17.在，且的虚部是2；，为的共轭复数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答注：选择不同条件，结果可能不同已知为虚数单位，复数满足_，设，在复平面上的对应点分别为，求的面积【答案】见解析【解析】【分析】由已知发现三个条件的共同特征是均可求出复数，然后再求出，进而求出，的坐标，即可求出的面积【详解】选：设，则，由题意得且，解得或，所以或当时，所以，所以当时，所以，所以综上，的面积为1选：，所以，所以选：，其共轭复数为，故，所以，所以【点睛】本题是一道开放题，选择一个条件即可求解，学生可根据自己对复数内容的掌握情况选择，从而大大降低的难度，主要考查复数的概念、运算、共轭复数及复数的几何

19、意义，属于基础题18.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？（答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示）【答案】(1)100800个；(2)14400个；(3)5760个；(4)28800个【解析】【分析】从1到9的九个数字中，有奇数1,3,5,7,9共五个，偶数2 ,4, 6, 8共四个(1)先从四个偶数中取三个，再从五个奇数中取出四个，然后全排列即可得到结果；(2)用捆

20、绑法将取出三个偶数看作一个元素，然后将该元素与四个奇数全排列，同时其内部自排即可得到结果；(3) 用捆绑法将取三个偶数捆绑在一起，四个奇数捆绑在一起看成两个元素排列，同时内部分别自排即可得到结果；(4)用插空法因为三个偶数都不相邻，故只需将取出的四个奇数全排列，然后对偶数插空即可求出结果【详解】(1)分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有种情况；第二步在五个奇数中取四个，可有种情况；第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有种情况，所以符合题意的七位数有个(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有(3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有个(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把

21、四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，共有个【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用排列与组合综合问题的常见类型及解题策略：(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列(2)相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4)多元问题分类法将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数19.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高

22、架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记“余下工程”的费用为y万元(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值【答案】（1）；（2）需新建9个桥墩才能使工程费用y取得最小值，且最少费用为8 704万元【解析】试题分析：（1）设出相邻桥墩间距米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可

23、得到的解析式；（2）把米代入到的解析式中并求出令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时的值代入中求出桥墩个数即可.试题解析：（1）相邻桥墩间距米，需建桥墩个，则，()（2）当米时，且时，单调递增，时，单调递减，需新建桥墩个.20.如图，已知直三棱柱中，分别是，的中点，点在直线上运动，且(1)证明：无论取何值，总有平面；(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由【答案】(1)见解析；(2)存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为【解析】【分析】(1)以为正交基底建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，由求出点坐标，然后证明，即可；(2)只需根据条

24、件出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式并结合平面与平面的夹角为，建立方程求解即可得出结论【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则,，由，可得点，所以，又，所以，所以，又，所以平面，所以无论取何值，总有平面 （2）设是平面的法向量，则，即，得，令，所以是平面的一个法向量取平面的一个法向量为假设存在符合条件的点，则，化简得，解得或（舍去）综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为【点睛】本题主要考查利用向量法证明线面垂直、已知二面角大小逆向探求解“点”的存在问题利用空间向量解决涉及关空间的角问题，关键在于：构建恰当的空间直角坐标系；准确求解相关点的坐

25、标；构建方程组求出平面的法向量；准确理解和熟练应用夹角公式21.椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，的斜率分别为，若，证明为定值，并求出这个定值【答案】(1)；(2)；(3)见解析，定值为【解析】【分析】(1)将代入椭圆方程可得，从而可得，再结合及，即可求椭圆的方程；(2)设，分别求出直线，的方程，利用角平分线的性质：角平分线上任一点到角两边的距离相等，列出关于方程，结合消去，将用表示，利用的有界性即可求出的范围；(3)将直线方程与椭圆的方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，因与椭圆有且只有一个公共点，故由，可求出，再利用斜率公式求出，即可求出定值【详解】(1