8-法截线和大地线2解析

1、法截线与大地线（法截线与大地线（2）测绘学院一系大地测量教研室测绘学院一系大地测量教研室（FOUNDATION OF GEODESY）(L,B,H)-(X,Y,Z)2()cos()cocossins(1)sinXLYLNHBNHBNeBZHONSGH0PBPKXYZL2P1PXYZ3PBQPcoscoscossinsinxBLyBLzBYXOxzyLB上节课内容回顾 (X,Y,Z) -L,B,H)2222arccosarcsinYXXLYXYLXYarctgLNBYXHeNBZHcos1sin222202221222211111iiiJZtgBeXYae tgBtgBZXYetg BBarct

2、g tgB上节课内容回顾 法截面和法截线的概念P2POP1BKA法截面：包含椭球面某点法线的平面法截线：法截面与椭球面的交线大地方位角：椭球面上一点的子午面和法截面之间的夹角，从子午线北方向顺时针量取。范围：0360N上节课内容回顾 任意方向法截线曲率半径2221 coscosANReAB22221sin1 cosacacNWVeBeB法截线和大地线法截线和大地线Normal Section Line and Geodesic1 1、任意方向法截线曲率半径、任意方向法截线曲率半径2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径3 3、子午线弧长和平行圈弧长、子

3、午线弧长和平行圈弧长4 4、梯形图幅面积、梯形图幅面积5 5、相对法截线、相对法截线6 6、大地线、大地线7 7、椭球面三角形的解算、椭球面三角形的解算2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Meridian, Prime Vertical and Mean Radius of Curvature 两个特殊方向的曲率半径：卯酉圈A子午圈K任意方向法截线B任意方向法截线曲率半径RA子午圈曲率半径M卯酉圈曲率半径NP子午: 1. 指南北。古人以“子”为正北，以“午”为正南。 2. 指夜半和正午。子时，夜间11点

4、至1点；午时，白昼11点至1点。 卯酉:1. 指东西。古人以“卯”为正东，以“酉”为正西。2. 早晚。卯时，早晨5点至7点；酉时，傍晚5点至7点。1）卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径恰好等于法线在椭球面和短轴之间的长度 2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature KPB90acRNWVA2221 coscosANReAB1）卯酉圈曲率半径KPBr具有公共的切线的斜截弧的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧所在

5、平面夹角的余弦TO斜截弧：平行圈法截弧：卯酉圈麦尼尔定理cosNxrB0 B900 B90 B 211eVW 112VeW021aNcecNa 2901aNec在极点处卯酉圈变为子午圈，N为极曲率半径cN随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间逐渐减小在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径说明NW、VBN的变化规律的变化规律（N是是B的增函数的增函数）22221sin1 cosacacNWVeBeBKNKNPPac0PON2）子午圈曲率半径：0221cosNMReB2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in P

6、rime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature 332)1(VcWeaM2221 coscosANReABKPBAPKxyBxy2）子午圈曲率半径直接推导OySGPPKXYZxQdSdxdBcosxrNBrdSMdB1sindxdBMB BP23sin1dxaBedBW sindxdSB231aeMWPsindxMBdB 在极点处，M为极曲率半径cM随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间逐渐减小在赤道上，M小于赤道半径a说明MW、VB0 B900 B90 B 211eVW 112VeW 2322)1()1(eceaMcMea

7、)1 (2 ceaM21M的变化规律的变化规律（M是是B的增函数的增函数）223333222222(1)(1)1sin1 cosaecaecMWVeBeBKNKNPP21aec0POM0K1PSP3）M、N与RA的关系欧拉定理222222222222 coscossin(1 cos)csos(1 coincoss)ANMNReABMA MeBAMeBAMVNA欧拉（L.Euler）定理：描述曲面上任意一点在任意方位角A的法截线曲率半径与主曲率半径的关系的定理2221 coscosANReAB22cossinAMNRNAMA221sincosAAARNM3）M、N与RA的关系子午圈卯酉圈1432

8、 当A=0（或A=180）时，RA=M，最小值； 当A=90（或A=270）时，RA=N，最大值 当A由0趋于90时，RA逐渐增大由M趋于N变化 当A由90趋于180时，RA逐渐减小由N趋于M变化 RA随A的变化以180为周期的，对称于M、N变化A M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中称为主曲率半径。4）平均曲率半径：意义：用球面代替椭球面计算的需要2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature

9、 方法：用积分的方法定义：椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的算术平均值4）平均曲率半径：根据积分中值定理：由于RA随A变化的对称性，可仅在第一象限积分222021cosNdARA2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature 221NVM 22220022cossinAMNRR dAdANAMA1( )bayf x dxba平均4）平均曲率半径：2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率

10、半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature 222021cosNdARA222222tantancos1tantantan1AdAddAVAAVAAVV2202tanarctanNANcRMNVVVV椭球面上任意一点的平均曲率半径是该点上主曲率半径的几何平均值5）三种曲率半径的比较NRM关系：2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian an

11、d Mean Radius of Curvature 23(1)aeMW3cMV221aeRW2cRVaNWcNVRMNMRN5）三种曲率半径的比较2 2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature BN（m）R（m）M（m）06 378 2456 378 2456 356 8636 356 8636 335 5536 335 553156 379 6756 379 6756 359 7146 359 7146 3

12、39 8166 339 816306 383 5886 383 5886 367 5186 367 5186 351 4886 351 488456 388 9546 388 9546 378 2096 378 2096 367 4916 367 491606 394 3156 394 3156 388 9366 388 9366 383 5616 383 561756 398 2556 398 2556 369 8116 369 8116 395 3686 395 368906 399 6996 399 6996 399 6996 399 6996 399 6996 399 69942 69

13、221 45442 83664 1460.330.670.6711）子午线弧长公式dXMdB21BBMdBX2322232sin111BeeaWeaM21322221sin1BBeBdXaeB),(22LBPNO赤道赤道),(11LBPPPdBdXMB3、子午线弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel Circle椭圆积分1）子午线弧长公式2311211 x12!3!nn nn nnxnxxx 3222244662315351sin1sinsinsin2816eBeBeBeB BBBBBBBBB6cos3214cos1632cos3215165si

14、n4cos812cos2183sin2cos2121sin6422462468108108104611025436591638465536220572765204863451751+464256315525 +41651215105 5536220510395409 +64256 616384eeeeeeeeeeeeee ABCD81081601031531185204813107231534651638465536639 35 +512 + 1310 2+7 eeeeee EF18057.2958 603437.7468 60206264.8 9082221212121211(1)(sin2

15、sin2)(sin4sin4)24(sin6sin6)6(sin8sin8)(sin10sin10)810BBXaeBBBBBBBBBBBCADEF1）子午线弧长公式由赤道起算的子午线弧长公式21sin2sin424 sinsin8sin1081066BXaeBBBBBBCAEDF3、子午线弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel Circle),(22LBPNO赤道赤道),(11LBP)(B,LPX怎么由怎么由X求求B？sin8B一项不超过0.3mm初始值：迭代公式：迭代收敛条件：迭代收敛解为：21 sin2sin424 sin6sin8sin1

16、06810 BBBBBBXaeBCDEFA12B()(1)XaeA单位：弧度ii 1i 12i 1i 1i 11Bsin2sin4(1)24 sin6sin8sin106810XBBaeBBBBCADEF201 1 2, 10iiBB, i, ,J()JB 弧度如何计算子午圈周长？1）子午线弧长公式2412QaeA如果按1800年德兰勃椭球(a=6375653 m，1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m 米的最初定义。122112mmBXMBBBBBB当X45km，计算精确到0.0001m时，可将子午线视为圆弧，圆弧的半径取为该弧的平均纬度Bm处的子午线曲率半径Mm。3、子午线

17、弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel Circle子午圈周长2）平行圈弧长公式由于平行圈是个圆，于是平行圈弧长公式为： cosllSrNB3、子午线弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel CircleKP2BrOOP1SlN2）平行圈弧长公式cosllSrNB3、子午线弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel CirclesinSSBB lMBB 21sinmSXLLB 21125.7295829 3011121030 30lLLBXmB 5560.5

18、Sm 212mBBB3）单位子午线弧长与平行圈弧长随纬度的变化单位纬差的子午线弧长：南短北长，随纬度的升高而缓慢的增长 单位经差的平行圈弧长：南长北短，随纬度的升高而急剧的缩短32221 coscMeB22cosseccNBBedSrdLdXMdB3）单位子午线弧长与平行圈弧长随纬度的变化B子午线弧长子午线弧长平行圈弧长平行圈弧长B111l1110110 576110 5761842.941842.9430.71630.716111 321111 3211855.361855.3630.92330.92315110 656110 6561844.261844.2630.73830.738107

19、 552107 5521792.541792.5429.87629.87630110 863110 8631847.261847.2630.79530.795 96 48896 4881608.131608.1326.80226.80245111 143111 1431852.391852.3930.87330.873 78 84878 8481341.141341.1421.90221.90260111 423111 4231857.041857.0430.95130.951 55 80155 801930.02930.0215.50015.50075111 625111 6251860.4

20、21860.4231.00731.007 28 90228 902481.71481.71 8.0288.02890111 696111 6961861.601861.6031.02731.027 0 0 0.000.00 0.0000.0001 120（1）如果视地球为球体，则球面上弧长和它所对应的弧心角有以下关系:弧长弧长111km1.852km1km31m1m1cm弧心角弧心角1 1 1133331 10.030.03 0.00030.00031海里3、子午线弧长和平行圈弧长Arc Length of Meridian and Parallel Circle3）单位子午线弧长与平行圈弧长随纬度的变化要求熟记要求熟记rdLdSADMdBdXABBdBdLMNdPcos2222sin1BebMN21lLL2211212222coscos 1sinL BL BBBPMNBdBdLBlbdBeB 4、梯形图幅面积Area o