平方根(齐淑慧)

1、1 1、我们已经学习过哪些运算？它、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是哪些？们中互为逆运算的是哪些？ 加法加法 减法减法 乘法乘法 除法除法互逆互逆互逆互逆乘方乘方 开方开方互逆互逆结果结果结果结果方根方根幂幂思考：如果一个数的平方等于思考：如果一个数的平方等于9， 这个数是多少？这个数是多少？ x x2 2 1 1 16 16 36 36 49 49 x x 41如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于2，这个数是多，这个数是多少呢？少呢？即：即：x x2 2 =2=2，求，求x=?x=?146712学习目标学习目标v1、掌握平方根的概念，明确平、掌握平方根的概念，明确平方根和算术

2、平方根之间的联系和方根和算术平方根之间的联系和区别区别.v2、能用符号正确地表示一个数、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系方运算之间的互逆关系 自学教材第自学教材第24页页v回答问题：回答问题：v1.什么是平方根？什么是平方根？v2.什么是算术平方根？什么是算术平方根？v3.什么是开平方？什么是开平方？（2）平方等于425的数有几个？平方等于0.64的数呢？（1）一个数的平方是9，这个数是0.80.82 25 53 3 x2 1 16 36 49 5 x4254 41 16 6 7 72 25 5一个一个正数正数的平方是的平方是

3、9，这个数是，这个数是 。3 3那么那么 讲授新课讲授新课X2 = a若若根号根号被开方数被开方数xa求求x的运算，叫做开平方的运算，叫做开平方x叫做叫做a的平方根的平方根运算的结果叫平方根，用运算的结果叫平方根，用 表示表示a“”即：即：一般地，如果一个一般地，如果一个数数的平方等于的平方等于a，那么这个数叫做那么这个数叫做a的的平方根平方根或或二次方根二次方根。即：若即：若x2=a，那么，那么x叫做叫做a的的平方根平方根。 记作：记作：x=a如：因如：因为为(3)2 9，所以，所以3是是9的平方根的平方根. 因因为为(8)2 64，所以，所以8是是64的平方根的平方根.2 25 5 x2

4、1 16 36 49 5 x4254 41 16 6 7 75求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方。149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方开平方平方平方平方平方与与开平方开平方互为逆运算！互为逆运算！通过比较，你能总结出平方根的性质吗？通过比较，你能总结出平方根的性质吗？+1-1+2-2+3-3149941-3+3-2+2-1+1平方平方开平方开平方 讲授新课讲授新课0000（1）一个正数有）一个正数有两两个平方根，它们个平方根，它们互互 为相反数为相反数；（2）零有）零有一一个平方根，它是零本身；个平方根，它是零本身；（3）负数）

5、负数没有没有平方根。平方根。v口答口答:(看谁做的又对又快看谁做的又对又快)求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1） 36 （2） 0.49 （3） 2 （4） （5） 102 （6）9 （7）（）（4）2 412516 一般地一般地, ,如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a, a,那么那么这个数叫做这个数叫做a a的平方根，也叫做的平方根，也叫做a a的二次的二次方根。方根。X2 = axaa“”表示表示a的负平方根。的负平方根。a“”表示表示a的平方根。的平方根。a“”表示表示a的正平方根。的正平方根。思考：思考：a可能是负数吗？可能是负数吗？0a 9999 9的平方根：的平方

6、根：9 9的正的平方根：的正的平方根：9 9的负的平方根：的负的平方根：3 3 3 25表示表示2525的正的平方根。的正的平方根。表示表示7 7的平方根。的平方根。00的平方根：07正数正数a的平方根中，的平方根中，正正的平方根的平方根 叫做叫做a的的算术平方根算术平方根。规定：规定：0的算术平方根是的算术平方根是0。算术平方根具有算术平方根具有双重非负性双重非负性 是算术平方根的运算符号是算术平方根的运算符号思考探究思考探究被开方数的大小与对应的算被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么术平方根的大小之间有什么关系呢？关系呢？ 被开方数越大，对应的算术平方根被开方数越大，对应的算术

7、平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。也越大，这个结论对所有正数都成立。例1 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根：（1）100 （2） （3）0.00016449解解：（：（1 1）因为）因为 =100=100，所以，所以100100的算术平方根的算术平方根为10， 即 =10。102100（2 2）因为）因为 = = ，所以，所以 的算术平方根是的算术平方根是 ， 即即 = =6449872644987644987（3 3）因为）因为 =0.0001,=0.0001,所以所以0.00010.0001的算术平方的算术平方 根为根为0.01,0.01,即即 =0.01=0.01。0

8、1. 020001. 01、49的算术平方根是的算术平方根是_，9的算术平方根是的算术平方根是-。2. =_， =_,3. 的算术平方根是的算术平方根是-, 的算术平方根是的算术平方根是_ 4. -(-9)的算术平方根是的算术平方根是_， 的算术平方根是的算术平方根是_5. 的算术平方根是的算术平方根是_6. 若若 =3，则，则 =_2)4(164124164xx7. 判断：判断： =-2（ ），）， （ ）2)2(39探究探究 1、a可以取任何数吗？可以取任何数吗？2、 是什么数？是什么数？a被开方数被开方数a是非负数，即是非负数，即0a 是非负数，即是非负数，即a0a 也就是说，非负数的也

9、就是说，非负数的“算术平方根算术平方根”是非负数。是非负数。 负数不存在算术平方根，负数不存在算术平方根， 即当即当 时，时， 无意义。无意义。0aa如：如： 无意义无意义 ； 8是是64的算术平方根或的算术平方根或 6864 a1.1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 有意义的是：有意义的是：无意义的是：无意义的是：5323353233x2.当当 _时时, 有意义有意义,当当 _时时, 有意义有意义5xx2x读作：读作：“正、负根号正、负根号a” 3；911的平方根是：的平方根是：正数正数a的算术平方根的算术平方根a正数正数a的算术平方根的

10、的算术平方根的相反数（即正相反数（即正数数a的负的负的平方根）的平方根）正数正数a的平方根的平方根11表示表示a表示表示a表示表示例如：例如：9 的的平方根是：平方根是：21211 10023 0.251961410例1：求下列各数的平方根 ，（ ）（ ） （ ）（ ）解解：(1)因为因为(10)2100， 所以所以100的平方根是的平方根是10； 即即10100试一试试一试.下列各数有平方根吗？如果有，下列各数有平方根吗？如果有，求出它求出它的平方根；如果没有，说明理的平方根；如果没有，说明理由由.0 ， -64 ， (-4)2 , .11 0 0若若 有意义，则有意义，则 a能取的最小整数

11、为能取的最小整数为-41a1.一个正数有几个平方根？一个正数有几个平方根？ 它们有什么特点？它们有什么特点？2. 0有几个平方根？是多少？有几个平方根？是多少？3.负数呢？负数呢？1.1.正数有两个平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数它们互为相反数；3.3.负数没有平方根负数没有平方根. .2.02.0的平方根是的平方根是0 0；平方根包括算术平方根，平方根包括算术平方根，0 0的平方根和算术平方根均为的平方根和算术平方根均为0.0.只有非负数才有平方根和算术平方根只有非负数才有平方根和算术平方根正数正数a a的算术平的算术平方根有一个方根有一个. .正数正数a a的平方根有的平方根有两个

12、两个. .如果一个正数如果一个正数x x的的平方等于平方等于a a，那么，那么这个正数就叫做这个正数就叫做a a的算术平方根的算术平方根. .如果一个数的平如果一个数的平方等于方等于a a，这个数，这个数就叫做就叫做a a的平方根的平方根. .符号不同符号不同个数不同个数不同定义不同定义不同联联系系区区别别算术平方根算术平方根平方根平方根用用 表表示示. .a用用 表表示示. .a3492535例例2 求下列各式的值：求下列各式的值：121(1) 144 (2)0.81 (3)196解：解：(1)因为因为122144，所以，所以 12；144 (2)因为因为0.920.81，所以，所以 0.9

13、；0.81 (3)因为因为( )2 ，所以，所以 .14111411121196121196256求下列各式中的求下列各式中的 值值 225x 2-3810 x（）225360 x x已知一个自然数的算术平方根是已知一个自然数的算术平方根是a，则该，则该自然数的下一个自然数的算术平方根自然数的下一个自然数的算术平方根 (A) a+1 (B) (C) a2+1 (D)1a21a 02392xx 3.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）9的平方根是的平方根是3; ( )（2）49的算术平方根是的算术平方根是7 ； ( )（3）（）（2）2的平方根是的平方根是2 ；（；（ ）（4）1

14、是是 1的平方根的平方根; （ ） （5）若）若X2 = 16 则则X = 4 （ ） （6）7的平方根是的平方根是49. ( )1 下列说法中不正确的个数有下列说法中不正确的个数有 ( )0.25的平方根是的平方根是0.5-0.5的平方的平方 根是根是-0.25只有正数才有平方根只有正数才有平方根0的平方根是的平方根是0A. 1个个 B. 2个个. C. 3个个 D. 4个个C2. 下列各式哪些有意义，哪些没有意义？下列各式哪些有意义，哪些没有意义？（1）- （2）（3） （4）44 23 23 巩固练习巩固练习1、a的一个平方根是的一个平方根是3，则另一个平，则另一个平方根是方根是，a=

15、。-393、3a-2和和2a-3是一个数的两个平方根，是一个数的两个平方根，试求这两个平方根及这个数。试求这两个平方根及这个数。迁移应用迁移应用4、一个数的平方根一个数的平方根是是3a-2和和2a-3 ，试求这个数。试求这个数。2、3a-2和和2a-3是一个数的平方根，是一个数的平方根，试求试求a及这个数。及这个数。补充练习；。；的平方根是2212516. 1。），则（若252452.xx2.93aaa 当 时， 的算术平方根为 。的的关关系系为为与与此此时时，的的最最大大值值为为baba5.4 2-132560-5互为相反数互为相反数52 1024abaabab已知 、 满足：求 、 的值。

16、1.比较比较 与与 的区别和联系的区别和联系2a2a2.试比较下列各组数的大小试比较下列各组数的大小(1)415与(2)2 76与175 11-2+ 713 - 3892 - 331 +74呢？呢？(3)3 53与-40.04 =0.24 =2400 =2040000 =200找规律找规律10201= 那么（），102.01=10.1若，21.0201=（ ）=0.101（ ）v看谁能很快记住看谁能很快记住11到到20的平方？的平方？400203611932418289172561622222225151961416913144121211122222强化练习强化练习v v1、若、若x=16，

17、则，则5-x的算术平方根是的算术平方根是_ v v2、若、若4a+1的算术平方根是的算术平方根是5，则，则a的算术的算术平方根是平方根是_v3、 的算术平方根等于的算术平方根等于_ 36提提 高高3664 41b2xx23、已知、已知y= + +3， 吗吗 求求xy的算术平方根。的算术平方根。1、 的的 算术平方根是算术平方根是 。2、若、若|a-9|+ =0，则，则a= , b= 。 22()aabbcac若若a、b 、 c在数轴上的对应点如图所示在数轴上的对应点如图所示0cba试化简试化简若若x0,则则 的结果为（的结果为（ ）2 - xxx若若 有意义，化简有意义，化简62x13xx22

18、273-x要使要使 有意义，有意义，x是个什么数？是个什么数？2 aa要使要使 有意义，则有意义，则a_.若若a、b 、 c满足满足 求求a(b+c)的值。的值。2112()022abbcc11-xx化简化简20112012-mmm2201113m2.已知已知求求的值的值.3522311xymxy mxyx y 1.已知下式成立，求已知下式成立，求m的值的值巩固巩固填空填空:(1) = ;925(2)思考思考:两题的结果是不是一样两题的结果是不是一样?为什么为什么?易错问题易错问题?925?3522?3522?本节课本节课你有哪些收获？你有哪些收获？1. 平方根的概念（二次方根）平方根的概念（二次方根）2 . 开平方运算开平方运算3 . 平方根的性质平方根的性质4.正数正数a的平方根可以用符号的平方根可以用符号“ a ”表示，表示，读作读作“正负根号正负根号a”5.符号符号“ a ” 只有