第五章准静态电磁场

1、2022-4-131/48第五章第五章 准静态电磁场准静态电磁场Quasistatic Electromagnetic Field7 电磁屏蔽电磁屏蔽6 导体交流内阻抗导体交流内阻抗5 涡流及其损耗涡流及其损耗4 集肤效应与邻近效应集肤效应与邻近效应3 电准静态场与电荷驰豫电准静态场与电荷驰豫2 磁准静态场与集总电路磁准静态场与集总电路1 电准静态场与磁准静态场电准静态场与磁准静态场主要内容主要内容（Electroquasistatic） 简写简写 EQS（Magnetoquasistatic ）简写）简写 MQS2022-4-132/48本本 章章 要要 求求1 了解了解EQS和和MQS的共

2、性和个性，的共性和个性，2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件；掌握工程计算中简化为准静态场的条件；3 掌握准静态场的计算方法。掌握准静态场的计算方法。2022-4-133/481 电准静态场电准静态场特点特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。0 , , ,0BDtDJHE5.1 电准静态场和磁准静态场电准静态场和磁准静态场Electroquasistatic and Magnetoquasistatic基本方程组（微分形式）：基本方程组（微分形式）：定义：定义：0)(cicEEEE若库仑电场若库仑电场Ec远大于感应电场远大于感

3、应电场Ei，电场呈无旋时，电场呈无旋时，即即 此时的电磁场称为电准静态场。此时的电磁场称为电准静态场。 2022-4-134/48电荷电荷分布分布静电场公式静电场公式、0 ,BtDJH、求解方法：分两步求解方法：分两步1）电场的求解采用静电场的公式）电场的求解采用静电场的公式2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解2022-4-135/48例例1 内外导体半径分别为内外导体半径分别为a和和b的同轴圆柱形电容器，其长度为的同轴圆柱形电容器，其长度为l（a,b），充填有电介质（），充填有电介质（，）。若内外导体间加一正弦电压）。若内外导体间加一正弦电压u=

4、U0sint，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情况相同。试求（况相同。试求（1）电容器中的电场强度）电容器中的电场强度E；（；（2）证明通过半径为）证明通过半径为的的圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。解：由于频率不高，故电场为电准静态场解：由于频率不高，故电场为电准静态场eabtUE)/ln(sin0etEtDJD)/ln(cos0abtUtUCtUablabtUliDDcoscos)/ln(2)/ln(cos2000sSJd2022-4-136/480 , ,BD

5、tBEJH特点特点: 与恒定磁场相比，电场方程发生变化，磁场方程无变化与恒定磁场相比，电场方程发生变化，磁场方程无变化2 磁准静态场磁准静态场 基本方程组（微分形式）：基本方程组（微分形式）：JtDJH若传导电流远大于位移电流，忽略二次源若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 的的作用，即作用，即tD定义：定义：此时的电磁场称为磁准静态场。此时的电磁场称为磁准静态场。2022-4-137/48/,22JAtAEA,B 求解方法：分两步求解方法：分两步1）磁场的求解静态场的公式）磁场的求解静态场的公式2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解似稳场似稳场20

6、22-4-138/48忽略位移电流的条件（似稳条件）忽略位移电流的条件（似稳条件）a. 导体内的时变电磁场导体内的时变电磁场 |JtJJtEJtD涡流场：涡流场：导体中的磁准静态场。导体中的磁准静态场。良导体：良导体：满足满足的导体。的导体。b. 理想介质中的时变电磁场理想介质中的时变电磁场 R R 121RvRevRj-近区或似稳区近区或似稳区2022-4-139/48MQS场的电场按场的电场按 计算。计算。EQS 与与 MQS 的共性与个性的共性与个性思考思考1. 满足泊松方程，说明满足泊松方程，说明 EQS 和和 MQS 忽略了滞后效忽略了滞后效 应，属于似稳场。应，属于似稳场。A,EQ

7、S场的磁场按场的磁场按 计算。计算。t DJH 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。，两种电场分布一致，解题方法相同。 2. 在在 EQS 和和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。依存。4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。，两种磁场分布一致，解题方法相同。t BE2022-4-1310/48SJ dSSJSJSJd d

8、 d332211SSS0321 iii即集总电路的基尔霍夫电流定律即集总电路的基尔霍夫电流定律 0i1 证明基尔霍夫电流定律证明基尔霍夫电流定律5.2 磁准静态场与电路磁准静态场与电路MQS Filed and Circuit在在 MQS 场中，场中， 0 JJH0 SJSd结点电流结点电流2022-4-1311/482 证明基尔霍夫电压定律证明基尔霍夫电压定律)(eEEJet JAJEEBABABABAelJlltAlEdddd环路电压环路电压AB.)(tE EtiLddtiCtqCd1)(1RiiSlCLRsuuutictiLRiud1dd即集总电路的基尔霍夫电压定律即集总电路的基尔霍夫电

9、压定律 0u2022-4-1312/483 磁准静态场与电路磁准静态场与电路a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论的近似。的近似。c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，此时采用磁准静态场定律来研究。此时采用磁准静态场定律来研究。2022-4-1313/48例例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。设电源到负载的距离远小于六分之一波长。设电源到负载的距离远小于六分

10、之一波长。解：解：zeabIUHES)/ln(22* eIH2eabUE)/ln(EHSIabRe)/ln(Re)/ln(2Re*2*IUdabIUdSabIUPbaS 2022-4-1314/48电荷驰豫电荷驰豫: 在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程。在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程。设导电媒质设导电媒质 均匀，且各向同性，均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律由电荷守恒定律,t J0tt DD)(5.3 电准静态场与电荷驰豫电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation1 电荷在均匀导体中的驰豫过程电荷在均匀导体中的驰豫过程 （Charge

11、Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)自由电荷密度满足的方程：自由电荷密度满足的方程：由由 及高斯定律及高斯定律 DEJ 2022-4-1315/48 为为 时的电荷分布时的电荷分布 ， 驰豫时间。驰豫时间。 在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其衰减快慢取决于驰豫时间。衰减快慢取决于驰豫时间。 o/e0t其解为其解为etoe0t 良导体中良导体中 ， 0半无限大导体中，正弦电流沿半无限大导体中，正弦电流沿 y y 轴流动，并在轴流动，并在yozyoz平面上处处相等，则平面上处处

12、相等，则)()(22xJkxJyy2022-4-1328/48通解通解kxkxyeCeCxJ21)(式中式中jk) j1 (1dj) j1 (2/yyJkxJ222dd当当 有限，故有限，故yJx , 02C01) 0(JJCy2022-4-1329/48xxyeeJxEj01)(xxyeeJxJj0)(则xxzeeJkxHj0j)(HEj由电流密度、电场强度以及磁场强度的电流密度、电场强度以及磁场强度的振幅振幅沿导体纵深按沿导体纵深按指数规律指数规律衰减衰减，相位相位也随之也随之改变改变。22022-4-1330/4821d透入深度透入深度（skin depth）d：表示场量在良导体中的集肤

13、程度。：表示场量在良导体中的集肤程度。它等于场量振幅衰减到其表面值的它等于场量振幅衰减到其表面值的1/e 时所经过的距离。时所经过的距离。1eed结论：结论：频率越高，导体导电性能越好，集肤效应越显著。频率越高，导体导电性能越好，集肤效应越显著。2022-4-1331/481 涡流（涡流（Eddy Current ）当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产生闭当导体置于交变的磁场中，与磁场正交的曲面上将产生闭合的感应电流，即涡流。合的感应电流，即涡流。 涡流涡流5.5 涡流及其损耗涡流及其损耗 Eddy Current and Loss其特点：其特点： 1）热效应；）热效应； 2）去磁效

14、应。）去磁效应。 2022-4-1332/482 涡流场分布（涡流场分布（Eddy Field Distribution）以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。变压器铁芯叠片变压器铁芯叠片薄导电平板的简化物理模型薄导电平板的简化物理模型假设：假设：ah, l场量场量E，H近似为近似为x的函数，不随的函数，不随 y, z 变化；变化；板中涡流无板中涡流无分量；分量；忽略忽略y方向两端边缘效应，方向两端边缘效应，E、J仅有仅有y分量，分量，仅有仅有z分量。分量。2022-4-1333/48在在 MQS 场中，场中，zzzkxHHH222jdd薄导电平板薄导电平

15、板)(0kxchZBH)(0kxchBBzkxkxzCCxHee)(21通解通解 由对称条件由对称条件 )2()2(aHaHzz即即)()(kxCchxHzCCC2121故故当当 x = 0 时，时，/)0(0BCHZHH22k2022-4-1334/48)(0kxchZBH)()(00kxshJkxshkBJy根据根据HJxHxJzy)()()()(00kxshEkxshBkxEy根据根据EJ2022-4-1335/48式中式中 2/K) j1 (jKk210)2cos2(21KxKxchBBz210)2cos2(21KxKxchJJy结论结论:模值分布曲线模值分布曲线 和和 的幅值分别为的

16、幅值分别为zByJ由于去磁效应，由于去磁效应， 薄板中心处磁场最小；薄板中心处磁场最小；由于集肤效应，电流密度奇对称于由于集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度大轴，表面密度大, 中心处为中心处为0 薄板内部，电场和磁场的分布不均匀，愈深入内部，场量愈小，薄板内部，电场和磁场的分布不均匀，愈深入内部，场量愈小，场的分布集中在薄板表面附近，呈现集肤效应现象。场的分布集中在薄板表面附近，呈现集肤效应现象。2022-4-1336/48)2cos2(210KxKxchBBz2/K2/ax5050013 . 25 . 44 .42 .27 . 0)(Hzf)(mmaKa0/ BBz20005 . 0

17、5 . 05 . 0a 为钢片厚度为钢片厚度工程应用工程应用 曲线表示材料的集肤程度。以电工钢片曲线表示材料的集肤程度。以电工钢片为例，设为例，设 KxBBz2/0ms/10,100070电工钢片的集肤电工钢片的集肤效应效应集肤效应严重，若频率不变，必须减小钢片厚度。集肤效应严重，若频率不变，必须减小钢片厚度。2022-4-1337/483 涡流损耗（涡流损耗（Eddy Loss）体积体积V中导体损耗的平均功率为中导体损耗的平均功率为KachKaKashKaKalhBVPVzavyecossin2d1222J 若要减少若要减少 Pe ,必须减小必须减小 （采用硅钢），（采用硅钢）， 减小减小

18、a（采用叠片），提高（采用叠片），提高 （但要考虑磁滞损耗）。（但要考虑磁滞损耗）。，1, aPe磁感应强度在板厚上的平均值磁感应强度在板厚上的平均值VPzav22121Ba2当频率较低时，当频率较低时，2022-4-1338/485.6 导体的交流阻抗导体的交流阻抗Conductors Impedance直流或低频交流直流或低频交流SlR高频交流高频交流SHEIXRSd)(1j*2Z电流均匀分布电流均匀分布由于集肤效应、去磁效应，电流分布不均匀由于集肤效应、去磁效应，电流分布不均匀SSHEZId)(*2Z 等效交流阻抗等效交流阻抗or导体的交流内阻抗导体的交流内阻抗导体消耗的复功率为：导体消

19、耗的复功率为：2022-4-1339/48例例 1 设有设有x0半无限大导体，如图。试求半无限大导体，如图。试求 图示斜线柱体体图示斜线柱体体积（底面积为积（底面积为ha）的交流内阻抗。）的交流内阻抗。解：解：xkyEJe0 xkyEEe0 xkzEkHe0jxEaSJIxkydd00eSkEa02022-4-1340/48SHEIXRSd)(1j*2Z20*| IHExzyah) j1 (2) j1 (dahahdahRdahXiLd 很小时，很小时，Z 称表面阻抗称表面阻抗d2022-4-1341/48例例 2 求半径为求半径为a的圆截面导线单位长度上的交流电阻。假的圆截面导线单位长度上的

20、交流电阻。假设半径远大于透入深度。设半径远大于透入深度。解：解：daR2121aRddaRRd2单位长度的交流电阻单位长度的交流电阻单位长度的直流电阻单位长度的直流电阻同一根导线交流电阻与直流电阻的比值同一根导线交流电阻与直流电阻的比值为为2022-4-1342/485.7 邻近效应和电磁屏蔽邻近效应和电磁屏蔽1 邻近效应（邻近效应（Proximate effect）传输线传输线 相互靠近的导体通有交变电流时，各导体中的电流分布相互靠近的导体通有交变电流时，各导体中的电流分布会受到邻近别的导体的影响，这种现象称为邻近效应。会受到邻近别的导体的影响，这种现象称为邻近效应。 频率越高，导体靠得越近

21、，邻近效应愈显著。频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。 邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。均匀。电流不再对称地分布在导体电流不再对称地分布在导体中，而是比较集中在两导线中，而是比较集中在两导线相对的内侧。相对的内侧。2022-4-1343/48两根交流汇流排的邻近效应两根交流汇流排的邻近效应例例 1 有一对通以交流电流的汇流排，如图所示。若有一对通以交流电流的汇流排，如图所示。若abl，试分析汇流排中电流密度的分布。试分析汇流排中电流密度的分布。解：解：在在MQS中，有中，有ablyyykxHHH222jddbIdHadH

22、yy)2( , 0)2()2()()(xadchkkabshIHJzz12( )eekxkxyHxCC)2()(shxadshkkabIHyd2022-4-1344/48汇流排中电流密度分布云图汇流排中电流密度分布云图2022-4-1345/48屏蔽原理屏蔽原理 利用导体内涡流产生的电磁场，对外加电磁场利用导体内涡流产生的电磁场，对外加电磁场起抵制作用，对给定区域进行屏蔽。又称起抵制作用，对给定区域进行屏蔽。又称涡流屏蔽涡流屏蔽。 2 电磁屏蔽（电磁屏蔽（Electromagnetic Shielding）)2(dh电磁屏蔽电磁屏蔽 在电磁场工程中，用于减弱由某些源产生的在电磁场工程中，用于减弱由某些源产生的空间某个区域内（不包括源）的电磁场的结构。它是抑空间某个区域内（不包括源）的电磁场的结构。它是抑制邻近效应的一种常用措施。制邻近效应的一种常用措施。屏蔽材料屏蔽材料 金属（非铁磁）材料，如铜、铝、钢等