(完整word版)高中数学导数及应用

1、高中数学导数及其应用、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点(一)导数1、导数的概念(1)导数的定义（I）设函数V=/（力在点力及其附近有定义，当自变量 x在。处有增量4 x （Ax可 正可负），则函数y相应地有增量 坳代工。十出）一汽勒）,这两个增量的比/（jr0 +心放，叫做函数（用在点工o到。斗. 这间的平均变化率。如果的限T 口时，岫有极限，则说函数 丫 = fl* 在点。处可导，并把这个极限叫做了（幻在点 功处的

2、导数（或变化率），记作/巴或Hi ,即八题"11m空=所二人+.）一,区） 工 mAxAx。（n）如果函数 M处 在开区间（且5 ）内每一点都可导，则说 了 在开区间 S ） 内可导，此时，对于开区间（区8 ）内每一个确定的值 工口 ，都对应着一个确定的导数,工工。）, 这样在开区间（口，）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 , 在开区间（区2） 内的导函数（简称导数），记作 或，即了 =/（工）=Im -= lira 川+航卜二） Ax 此to Axo认知：（I）函数/' 的导数70 是以x为自变量的函数，而函数 了（月 在点。处的导数 八%）是一个数值；F在点”处的

3、导数尸（r。）是丁（幻的导函数, 当工=飞时 的函数值。（n）求函数/（处 在点。处的导数的三部曲：求函数的增量8+加）-/8）.Ay共配十所）-/5）求平均变化率MM;lim = r （/）求极限'"_1L上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数了（为在点q处的导数了（。），是曲线F = /（力在点双/，/（工0）处的切线的斜（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（I）若函数/在点。处可导，则/在点。处连续；若函数/（幻 在开区间（髭5）内可导，则/W 在开区间（2b）内连续（可导一定连通十幽）-&）打区工吧7=）事实

4、上，若函数 外刃 在点工口处可导，则有 时义收此时,lim/（jb +/兀）=+ZU）-/®）+I/（%） no=时31"二刍2.4十/（而） Ar-+oAx/（a0+2x）-/（z0）=limlim Zx + Itm J（o）5防八 口十/8）-fM心+ Ax 工以找瓜）Xn记工u +,则有/玷即八引在点4处连续。（n）若函数, 在点/ 处连续，但, 在点。处不一定可导（连续不一定可导）。NAr反例：三工在点"口处连续，但在点“口处无导数。行由 h=咒口 - /（口）= | 回, J =事实上，八写在点均处的增量4工Ay 1， Ay 1=1Lun = I当&qu

5、ot;,口时，坛，；31al=1lirxi =当乐口时，近，1。*机dm包由此可知，J口/工不存在，故/(h)= H在点k = U处不可导。2、求导公式与求导运算法则(1)基本函数的导数(求导公式)公式1常数的导数：=口 (c为常数)，即常数的导数等于0。公式2募函数的导数：(/)=注/-1伊20)。公式3正弦函数的导数：(sinr),= cosx。公式4余弦函数的导数：I。，*)' =一虱11工公式5对数函数的导数：Qn X)* = -!-(D工；(n)公式6指数函数的导数:(I)(n)(2)可导函数四则运算的求导法则 设% V为可导函数，则有法则i (n-好7 * ,；法则2斯）二

6、口、+裁3；N't wV-Uv' m二一Q伊工口）法则3 廿 3o3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设丫7）尸.炳 复合成以x为自变量的函数y-fl城琦，则复合函数/1城3对自变量x的导数F；，等于已知函数对中间变量仪幻 的导数了；，乘以中间变量u对自变量x的导数4,即匕=。引申：设y-f ,八妖 复合成函数产儿奴鼠幻）,则有咒=7； M "；（2）认知（I ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析： 首先由最外层的主体函数结构设出 "'（"），由第一层中间变量状”1（工）的函数结构设出，由第二层中间变量艮,式

7、工）的函数结构设出”式冷，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量迎为自变量x的简单函数'名关）为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系 的简单函数的链条：沙囚侯U），丸=虱分；（n）运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量， 将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；并作以适当化简或整理。还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数力在某个区间内可导，则若 尸（工）吗3为增函

8、数；若/忸工）为减函数；若在某个区间内恒有尸口，则在这-区间上为常函数。（2）利用导数求函数单调性的步骤（I ）确定函数，的定义域；（n）求导数尸；（田）令/工）匚° ,解出相应的x的范围当1r（工）二口时，/w在相应区间上为增函数；当广口时广 在相应区间上为减 函数。（3）强调与认知（I）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D。若由不等式（工）口确定的x的取值集合为 A,由,二确定的x 的取值范围为B,则应用A匚Q电口 .（n）在某一区间内丁二口（或“工）二口）是函数了 在这一区间上为增（或减） 函数的充分（不必要）条件。因此

9、方程= °的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时， 除去确定了= °的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（1）/（力=/是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，*工）=口。（2），（力=忖 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但/ 在（-8, 0）内递减，在（0, +00）内递增2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数7（力 在点/ 附近有定义，如果对 仆 附近的所有点，都有 /W,则说*小）是函数/的一个极大值，记作V冕知！二4修）；如果对工口附近的所有点，都有勒），则说工Q是函数f

10、 （幻的一个极小值，记作y殿小g=o极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（I）函数的极值点 左是区间房叫内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（n）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在 某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（田）当函数，（见 在区间代内 上连续且有有限个极值点时，函数才 在出叫 内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数?（幻 可导，且在点。处连续，判定,（修）是极大（小）值的方法是（I）如果在点 打 附近的左侧 /（工）口 ，右侧-口，则（丽）为极大值；（n）如果在点 工口附近的左侧/.

11、，右侧5 口，则g为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数户"）=' 的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：a）求导数/（幻；（n）求方程（工）"口的实根及“G 不存在的点；考察丁 口）在上述方程的根以及 以幻 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则丁在这一点取得极大值，若左负右正，则'在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数了（方 在闭区间上连续，则f 在见句 上必有最大值和最小值；在开区间（风可内连续的函数f（加 不一定有最大值与最小值。认知：（I）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是

12、函数在整个定义区间 上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（n）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能 在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性）最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（m）若丁（幻 在开区间 9% 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（2）探求步骤：设函数在冏叫上连续，在（星与内可导，则探求函数才 在阳明上的最大值与最小值的步骤如下：（I ）求丁在（疗内的极值；（II ）求人用在定义区间端点处的函数值/，他

13、；（iii ）将丁 的各极值与,比较，其中最大者为所求最大值，最小者为 所求最小值。引申：若函数（加 在】区羯 上连续，则丁 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（I ）求出丁（幻 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（II ）计算并比较了（见 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的 函数关系；（II ）探求最值：立足函数的定

14、义域，探求函数的最值；（III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点。满足'（"）'口，并且广（幻在点。处有极大（小）值,而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例1、设函数/（幻在点工口处可导，且尸（工”月，试求汽礴山卜）（1）时9k；5汽，+ &）-，（与山） 11 (3)出 fQx一%）-$旦一行14%工一豌° ；11nl 一十厘加）一f由一及（4）- 1口（区8为常数）/*(x0) - llffl解：注意到“%)=lim)一外)当Jl

15、ltll(1)，JAt=limJS-rU/+（一力力-丁 （丹）-Ax(2)为-/(与-加)/Uo + - /(a0) +/(x0) - /(x0 - Ax)lim= limJiQ也工晶Ax=hm+ limAxnn -Ax=A+A=2A(3)令工一。="，则当时人一口，/(2jf-j)-/(2A0 -JT) 八/十2例-/(%)十八%)-/(/一加lim= htn"% +历)一人而)义。-衲-只两=iini - mm a-jOhAt0k51-于8 + 羽-/()j 11m f 8-检-fW*t。2 h*to h=叮3)+ 八o)= K(4)=14十出闻-f两一方&(

16、4)- '口f(凤 + 心)7Go) -=imi 血sAx打 Me十厚/)-/5。)方 lim FOo(的) 或 m n-+ 口 inn 站t口aAxmtZ - bAx打Me十的)一 /(%) C Mm式两-如A只/) 立 urn-+ p inn站TO £lArTm 0- iAr 铲国+D - g+协产(飞) g+冷月=一4通十一二汽初点评：注意"TO内的本质，在这一定义中，自变量 X在“ 处的增量 M 的形式是多种多样的，但是，不论 1 选择哪一种形式，相应的 3 也必须选择相 应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量X在q处的增量为一用也，则相应的8=

17、*7 -阳口-3。)，于是有一战品 -mAx-“4” lim /国一-.）若令r = % 心，则又有i 再-西例2、2£-VW（1）已知侬=?"7求理一；1 /fsinj）- 2ta y已知/=工厂（1）= ?,求七C0S工解：（1）令工一3 = Ax ，则元=）+3 ，且当久-3时，ZkT 口注意到这里' ''/;一 I43)-/" 了-=_ = _1Ax2x-3/(j)_1 +2&- 3丁0+&Q.-.；- ' 二一包*二2-3上&而fO Ak亲0团工=2 - 3/*(3) = E. .1 1 :(sm

18、力 一2 /(sin x)-J(l)向2= litti-jf± c<s 工-(sin 汗一 1)(由力 Hfl)玉 r/fsm)-/(i) -i sin 元- 11 + sin口八g)T4-1-hm： lim：j_t±sin j -1 4q二 1 + Bin 五22篦一.X T O SUI X > 1注意到 2,刘一/5WT1 “门 了一111HL：, 什巴 sin t - 1由已知得2.由、得 I例3、求下列函数的导数(1)+ 4马。+2/)；(3)y=(4)(5)pL十"瓜1 +石,（6）产中解:(1)=（蜡）'+1/ 2£乃&#

19、39;一（7工）二色,十2工匕口工一 / sifiX-7(2)y= (1+ 4#)。+ 2xa) = 1 4 2xq 4 4x3 + 履_1 1y-(l-m)(1 +7=)- -一-(3),(4)(1+«)+1-瓜)2(5), 一、.1 II A： 一 八匕)Iy- xx= < K(6) I MS. .当心口时，八；当 / "时，K =f2x>0-2孔齐< 0.点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方募的形式时，“先变后求”的手法显然更为

20、灵巧。例4、在曲线C： X=i - 6/ -戈48上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线 C关于该点对称。解：.当工=2时，/取得最小值-13又当 x=2 时，-2+百= -12斜率最小的切线对应的切点为A(2, -12);(2)证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为（4 - %. - 24 . J。）且有用 需- 6需一%;电.将*"一4代入-收-h + 白的解析式得（4-/）匚 6（-4）+6- - X； + 用+% - 30需- Jo + 6）-24-24 - J。 ,.点加）坐标为方程”7一耐-工卜后的解.一,注意到P, Q的任意性，由此断定曲线C

21、关于点A成中心对称。,且均为可导函数,例5、已知曲线尸=穴gy=/皿页（津工口），其中八© > 口求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合, 设上述两曲线的公共点为 工。山），则有凡汽。)/a- f(xa)sinax0， ，.":-lsin = 11 ,口% = 2无需 + （比 gZ）二x0 = L（2 丘-p g£） 二于是，对于八7（工）有八八工）；对于以=/（工）皿G ,有*二八力£由口工一次力33由得由得居17 "两5由宿+*期） c网白电=/（勒）皿2七r十y ）十屯1面）c

22、os（2jt +-产乜）.M#2 f ,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例6、六不）=/# - - x5 -Jcj? + 2x+ （1）是否存在这样的 k值，使函数 32 在区间（1,2）上递减，在（2, +8）上递增，若存在，求出这样的 k值；（2）若/幻"也7 :工恰有三个单调区间，试确定 o的取值范围，并求出这三个单调区 间。解：（1）1 ：由题意，当天二QZ时丁（口，当xC（2,+ 8）时，K）.由函数/（工）的连续性可知丁口，即工一-整理得一-解得 2或 看验证：当 7 时，/二/一2工二"2 = （"g

23、-g-2）.若1汇2 ,则广二口 ；若工2，则/'口，符合题意;(n)当 yM = x3 - 2 xa -i- - j; 4- 28 Ht,43 , 7-=(工-169显然不合题意。于是综上可知，存在2使/1力 在（1 , 2）上递减，在（2, +8）上递增。： ，则此，此时广只有一个增区间（一乜*的，与题设矛盾;若二=-，则尸。）=1 ,此时丁（力只有一个增区间（-也中，与题设矛盾;/（工）-%“丁十丁）- 3a（x+,乂工产=）,则允4-3覆7-勿一 C ：或冗 并且当 ，r综合可知，当口时，丁（工）恰有三个单调区间:(-T -=1 ( J-+0?)(i= -7=)减区间止为4-

24、3口；增区间V-纪止必点评：对于（1）,由已知条件得 广 0 ,并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数/=/+1 ,当且仅当"-l1"1时，取得极值,并且极大值比极小值大4.（1）求常数&&的值;的极值。解:（1） /，5工鱼八”令尸口得方程5工次，” =口.八月在工n-LXnI处取得极值.=-1或K = 1为上述方程的根，（一1） 4 %（1+4= 0故有一".5 + 3口十由=口 ,即 3 = -3 口一 5=5, - 1）4 33（丁-1）=（x+ 1）（累T）

25、（5f + 3"- 5）又仅当汇=±i时取得极值，.方程（口的根只有工=-1或工=1 ,.方程5/十?$ + 5 = 口无实根，二心-4 乂 5 y.加+ 5k口即加十六口5白> 2而当 3时，5广+3口 + 5> 口恒成立，,的正负情况只取决于（工*1）（工-1）的取值情况当x变化时， ”工）与共幻 的变化情况如下表：X（一明 T）1(TD 二1(1 , +°0)XW+0一0+/W/极大值、极小值. .?（如在工=一 1处取得极大值f（l），在工=1处取得极小值fo由题意得二整理得"h = -3于是将，联立，解得 , 一 一，"&

26、#39;由（1）知，（琦=/-7-"+1*工）肥大旧=7（T） = T /招也=FO）= T点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与口】的关系，立足研究/'（工）.口的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法， 突出了 “导数尸（。）口 ”与“ 丁（力在工口处取得极值”的必要关系。例8、（1）已知/="一+双一1，工刁的最大值为3,最小值为-29 ,求工的值；2/（工）=工三-W3X3 + 阳（-IgxMl）（2）设3，函数1的最大值为1,最小值为_ 7S2,求常数黑，我的值。解：（1）这里口于口 ，不然,。“与题设矛盾

27、/一/ - lZsx=必双女 4）令/'（工）=口，解得“口或x=4 （舍去）（I）若。二口，则当 *（7口）时，,（工）二'口，在（7口）内递增；当工疟）时，*gv口，在（UZ内递减又？（如连续，故当工=口时，丁 取得最大值由已知得,1:'.此时F的最小值为.由2）,-29得1阳十？=四=口 =工（n）若«<0 ,则运用类似的方法可得当口时广（幻有最小值，故有阿=-293"9 .又11":当工=2时，汽用 有最大值，由已知得= ' -= -=-：于是综合（I） （n）得所求或"力79令尸口得双工-战）01=0,/=

28、掰（一嗯a< 1）解得当工在-I上变化时， 工）与立幻 的变化情况如下表:X-1(-1,0)08押）m(帆D1+0一0+/极大值网极小值力-+制2/加当r 时，取得极大值口 ；当二昭 时，/ 取得极小值 2由上述表格中展示的 的单调性知-/：./（幻最大值在f与之中，的最小值在丁（T）和了之中，3?/Q)-,/(0)-/(I)>0考察差式即八0）网）,故幻的最大值为/） 由此得，1 ' , 1/(-I)-/(ot) = -2-2) = (r?i-2)(阿 + 1) 考察差式'-V(-O-/(rn)<o；lp/(-ixyw丁（幻的最小值为"一D3访#砒

29、=- 间=由此得 ？2 ,解得 3网=a = 1于是综合以上所述得到所求二五、高考真题（一）选择题儿二疝口m八（二）九公二工.九7；”舒1 以，则力。时.（）。A、迎 KR 一知天C、Cd、H分析：由题意得'''-：'A（r）=一加工入= -cosrAtr）寺总才工（工）1=儿（工）.人（工）*立川）具有周期性，且周期为4,.人/0=<。）=.学工，应选C。2、函数/ 0）"打/4 ' + 1有极值的充要条件为（）A 口3口B、口之口C、UU口d、1三口分析：'r.当公口时，尸>0且丁（加口 .当口口时，令/3=口得3/+1

30、=口有解，因此久才有极值，故应选 G3、设,（工），虱用 分别是定义在 R上的奇导数和偶导数，当口时，“Gm十景口且烈-3”。则不等式，纲eti的解集是（A （ -3 , 0） U （ 3, +8）B、 （ -3 , 0） U （ 0, 3）C （-巴-3 ） U （ 3, +8）D、 （ -8, -3 ） U （ 0, 3）分析：为便于描述，设尸M#）飒，则鹏用为奇导数，当1 口时，尸（工”口且用”口 根据奇函数图象的对称性知，尸（月亡口的解集为（-8, -3） U （ 0, 3）,应选D。二、填空题1过原点作曲线y* 的切线，则切点坐标为 ,切线的斜率为 O分析：设切点为M&，”）

31、，则以M为切点的切线方程为 尸一战（工一餐） 由曲线过原点得J-0 短e-=i , 切点为色白），切线斜率为e 。点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。2曲线尸工工3在点（禺/）父口）处的切线与x轴，直线I三2所围成的三角形面积为6，贝1J 口 =。分析：y=3ia曲线v=#在点g/W"）处的切线方程为y-加 = s"A。）即j咚切线与x轴交点 3,又直线工二口与切线交点纵坐标为,上述三角形面积2 j6 由此解得同=1即.=±1y = 2 j= 23曲线 2 与“可在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为 日

32、，将两曲线方程联立，解得交点坐标为G，。）即两曲线在点处的切线斜率分别为-2, 3I - 3 x if- 2)（三）解答题1已知金£火，讨论导数+ 1）的极值点的个数。解析：先将求导，尸即3gM"M+i。当屋口时，/C力=口有两根，于是人力有两极值点。当"W口时，1G之口 ，/W为增函数，丁（工）没极值点。本题考查导数的应用以及二次方程根、“ A ”等知识。解答- '1 ' -1=+ g + 2）工 ¥+ 明令尸口，得即i。1、当'）'1'' 一 IT即屋口或厘4时，方程广口有两个不同的实根勺、叼不防设冗1

33、 H心，于是，,从而有下表：XS（门,叼）叼（心,+8）打工）+0一0+丁/，（工1）为极大值丁（勺）为极小值/即此时也有两个极值点;2、当八=口即&=减淳=4时，方程12）X4 （2口+有两个相同的实根勺=1口 ,于是以吊工蜡故当工 工1时，尸口 ；当一七时，八。口 ，因此六工）无极值；3、当AM口即口加C时，/+俗+门"2"1）口而门:力三叫一 + g一）*22» 口，故人心 为增函数。此时（工）无极值；.当白4或& 0时，1A工）有两个极值点；当0a4时，1A幻无极值点。式.，-62已知函数工。匕的图象在点MTf（T）处的切线方程为-口。（I

34、）求函数尸=/（力的解析式；（n）求函数尸=/00的单调区间。解析：（1）由M7/L1）在切线上，求得八7，再由M-1J（T）在函数图象上和“-1）= -：白上得两个关于占的方程。令”工）口，求出极值点，尸口求增区间，尸口求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（I）由函数代）的图象在点'式"1-“）处的切线方程为+“*5=口知：-1+2"T"5口，即点-1）-2 ,武/+3)-尔皿-6) ,/ w (?w1+A口 +4=-22a = 2b-4q(l + 5)-20+6) _ _ 1,if 2解得1 '' 

35、9;一,二'所以所求函数解析式2-6工、3(n)rw-厅+3)令-?”4121+6=口解得近二?一工,巧二九23当 K3-2后或Q 3Mg 时，/Xx) <0当3-2万MXC+2石叱/>口，八 2天. 6所以1 -在51同fg邛收）内是减函数，在（一后一向内是增函数3已知"1是函数的一个极值点，其中然尾氏/口（I）求箱与R的关系表达式；（n）求以另的单调区间；（田）当"-U时，函数（处的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第 2小题要根据火

36、工）的符号，分类讨论，的单调区间；第 3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答:(I)=/=3加-6牌+ 1”+盟工=1是函数/（打的一个极值点(1)=加一6(溶+ )+& = Q,(n)"物/ /冽4 l)z+«-3 -+ 1)工+ 翻 + / Xx-1)(mx-«-2)_12令尸.口，得“L3；户内 与丁 的变化如下表:(一巴 1 + )和2（1） 鬼1(L6/W一0+0一/« 1单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此，广的单调递减区间是

37、/和口0）； /（才的单调递增区间是2。/D 她/甲、由5、/（& - 3度/-仃07）了” = 3施-60+"4?成小心3叫"£一1）（出）田（u）即*'':'''一令一行.：'一，或正港力口”-1且冏口，g(-l)=版-2炭 4 4。14"一- <m <0g(l) 谓- 2解>0.34-加C0即m的取值范围是 §已知函数2 一工”口1(I)求的单调区间和值域;(n)设函数式工）=7-犷工-2”0,1,若对于任意,使得式工）*/61）成立，求口的取值范围。解析：本题考查

38、导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力,力以及运算能力，本题入手点容易，（I）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，考查思维及推理能（n）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若烈工1）成立,则二次函数值域必满足 *工）匚自（灯 关系，从而达到求解目的o解:(I)由-4尹 + 1©工一7(2 Y-1x =得 _7X =或 -x=2 (舍去),变化情况表为:X0吟UI1康）1一0+_724/-3因而当工时fl为 为减函数；当X 叱）时fl8 为增函数；当工eOJ时，武力的值域为f T ；（n） 二、口因此1,当乂穴卬）时?（加：3。-/）£。因此当&

39、quot;（U）时以力为减函数，从而当工史时有虱工间就，鼠叨又式”>加T吐即当X，叫时有爪©wl-2-而句任给勺名【叫，/区）名TT ,存在工口 餐 "使得虱而" /则一工:I * ，.1_1 2d! 3M £-4（1）""-Za2-3）53a<-aS由（1）得s型或 3 ,由（2）得 £又y故3的取值范围为2 OU 口/m a > 0 N将 / （x） - （ - 2事工）中'5已知比一"，函数八'''（1）当其为何值时， 取得最小值？证明你的结论；设丁（工）在L

40、U上是单调函数，求用的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（I）常规题型，方法求 /七° ，解'3工）二口的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（n）由（I） 八'在'1 口,上单倜，而1,因此只要即满足题设条件，从中解出 叮 的范围解答：（I）'=x2 + 2(1 -曰)”冽令/=口则炉+ 2"咖-20产二口从而 小'1公="1 一/十厘二三二”1十"1 +，其中。5当工变化时，,（月的变化情况如下表K9勺）£2 1 J1 + 金，,套一 1十+0

41、f'B+0一0+J*/极大值极小值/.丁（幻在勺处取得极大值，叼处取得极小值当口之口时/O1 ,与之Q ，且1（劣在（/，孙）为减函数，在 0十8）为增函数而当工。时不孙，当"口时,=口.当工=值1十川十竞时*工）取最小值；（n）当值之口时了在一1内上为单调函数的充要条件是L -即盅一 1 +JbH?2 1 ,解得 4综上，/（幻 在一I”上为单调函数的充要条件为4 ,）即出的取值范围为）4。i c 千 R/(<)= I3 X - d6.已知境三状,函数八/(I)当= 1时，求使工成立的工成立的X的集合;(n)求函数V=/X力在区间1月上的最小值。答案：(I) 0, 1

42、, 1 + 6此立，当洋父1时；0, 当1“ M2时； 7附= 14(*-2),当2口仁三时；戊- L 当 > N(n)13解答：(I)由题意，MX尸”，一 ,当工<2时/幻= /Q一工)=x ,解得k = u或不=,当k之2时=其“工- 2)=工，解得mi + Ji综上，所求解集为 0,1,1+ F口 (n)设此最小值为 m时，在区间1,2上，/=#一' ,yf(r) = 3M - 2d工=3xxa)(1,2因为3),则,(外是区间1,2上的增函数，所以1 M日三2时，在区间1, 2,一" 由f0”口知然壮”口当值，2时，在区间1, 2上，f-ax/=2s -

43、3j? = 3x4-x")如果用”在区间（1, 2）内，/了口从而（对在区间1, 2上为增函数，由此得 溶- 1 ；21<-a<2如果2 m3则 3 o当 天3"时，/'外>° ，从而/（力为区间1,3口 上的增函数；22当3时，:。，从而f （幻 为区间3,2上的减函数因此，当2 f 3时，牌或她，40-2）。<7当 ，时，4g故4（"4）;7 z当时-1<恤-2>故阴二口-1 .综上所述，所求函数的最小值i-当值月时;0, 当工2时：7用二产似一 2）,当24*£三时， - L当 >-L37

44、、（I）设函数八幻="吗工+。-工）1吨式1-旗0 C G,求/的最小值；（n）设正数冷却也满足以+出“/+% =，证明AloSi Pi 十尸J。曲必十PC。 A +, +中丁 1%/丁o解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（I）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出“用=1%工-匕则心,解I1141、/二口得2，再判断2与2时八打的符号，确定2为极小值点，也是函数的最小值，对(n)直接利用数学归纳法证明，但由、=直到网=在十1过渡是难点解答：(I)函数f (x)的定义域为(0,1)f Xx) = (x 1 og31)'

45、+ (1 - x) log2 (1 - x)1In 2 In 2/'W = 0得了令一-0(0,-)当2时，f'(x)<0, f(x)在区间 2 是减函数；一x u 1(J)当2时，f'(x)>o,f(x)在区间 £是增函数/(-) = -1.f (x)在 2时取得最小值且最小值为-(n)用数学归纳法证明(i)当n=1时，由(I)知命题成立；(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 户1，&=/如满足为十2+小=】，则卬加小十引吗%+十2 1唱衣”一江当“=卜+1时，若正数巧产,，巧小满足三十区+十小小=1_ A _ %_ 勺令；为一 .二

46、 , c 一二一二,' 一一则%，北.，如为正数，且处+的十十%"二1由归纳假定知/ 'L '二一一二Pi 1。助 Pi + Pi 咤之 Pz + *',十户x kga P学二叫先十的I ”，十犷吗每十也1)之年幻+打叫X 同理，由可得PhJog?巴3 + , + %* log）外融 >（1 - x）（ -k）+（1 x）log 2（1 x）.综合、两式A1。83 Pl + Pa 1。目？尸Q +'.+P升招> x+（1 x）（ k）+xlog 2x+（1 x）log 2（1 x）>-（k+1）.即当n=k+1时命题也成立。根

47、据（i）、（ii）可知对一切正整数 n命题成立。8函数尸=/（工）在区间口*）内可导，导函数/ 是减函数，且 “工” 口 ，设 工巾巨（口卢8）,”小温是曲线？ = 1/（另在点（/.凝）处的切线方程，并设函数 虱冲-kx+ JR（I）用工口、丁（工妙）、广。口）表示m（n）证明：当S时，鼠为”；3 W蜡41之廿工之一铲:（田）若关于x的不等式2 在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。解答：（I ）止于在点（工0，/（/）处的切线方程为卜一人2=八%）（工-由即-1-1-因而加=/（）- %广（工0）；（n）证明：令 WRT（幻，贝/'=/（*-/ k（%）

48、=0因为广递减，所以段琦递增，因此，当天>飞时，A,CP>0 ；当工灯工。时， "<0所以工是城工）唯一的极值点，且是极小值点，可知风工）的最小值为0因此g论0即自”(n)解法一：口WBMLg口是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立好+ IXox + b ,即1一收4。一分立0对任意工亡【°，长°）成立的充要条件是1a <2（1-3 -，=一炉门飞另一方面，由于2满足前述题设中关于y=Jw 的条件，2 23 -3 -"工43之一工3七、V -X3利用（n）的结果可知，2的充要条件是：过点 U寸与曲线 2 相切的直线的斜率不大于厘

49、，该切线的方程为：心做尸克”，.3 11CiK+b工铲门2于是 2 的充要条件是"I回/+ 1 b> _/rn 综上，不等式2 对任意工w LU.十00,成立的充要条件是（助大大"3ji显然，存在口，6使式成立的充要条件是：不等式 泗,工”）。2-应一.2+近有解，解不等式得44因此，式即为b的取值范围，式即为实数0与白所满足的关系（田）解法二：口WBWL厘口是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。三抠”，即/-"+（"助对对任意丑Q成立的充要条件是1户2 23 -3 -0（x）= ax+ b - -x3工f SA 短卬、令1 ，于是2 对任

50、意 了 正成立的充要条件是0（幻之口1由0（工""工'口得"小.当口（工小时，0 口）v 口 ；当工“0时，0r>口，所以，当T二一时,修取最小值。因此0之口成立的充要条件是0（个之口X3 + 1 > l>+X3E 、综上，不等式成立的充要条件是显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式（砌工 对任意叱叱切解 不 等 式 得3）因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（I）,曲线",在点&处切线斜率为上*。），切线方