数学建模A题优秀论文

1、城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。对于问题一我们首先用EXCEL对数据进行处理，然后用MATLAB等软件对所给的数值进行空间作图，然后分别做出了八种重金属元素的空间分布特征，我们利用综合指数（内梅罗指数）评价的方法，建立模型： 对五个区域进行了综合评价，得出结果令人满意，结果如下：区域生活区工业区山区交通区公园绿地区污染程度重污染重污染轻度污染重污染中度污染对于问题二

2、我们首先用SPSS软件对八种重金属的浓度与海拔做相关性分析，并作出了不同重金属浓度与海拔的分布图；然后结合第一问给出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、交通区和生活区。对于问题三我们建立模型，建立目标函数；应用MATLAB软件对数据处理，作出可能为污染源的三个位置；然后用MATLAB进行三次拟合后，得到污染源的位置。对于问题四，我们在已有信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率。根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式。关键词：重金属污染 内梅罗污染指数 相关性分

3、析 污染源 高斯浓度一.问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

4、应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。通过以上给的数据及附件中的数据，要解决以下四个问题：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二.问题分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量

5、的影响日显突出。对于重金属在环境中的影响更为明显，因此研究城市表层土壤重金属污染是迫在眉下的事。（一）对问题1的分析：对于问题1，经过对数据和题目的分析，直接使用（附录一）使用二次插值法可以画出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图。对于第二小问，我们首先根据所给的数据将已区分好的各个区域归在一起，求出各种重金属元素在该区域的平均值，建立综合污染指数评价法模型；分析各种重金属元素在各个区域的污染指数来分析该城区内不同区域重金属的污染程度。（二）对问题2的分析：问题2要求通过数据分析来说明重金属污染的主要原因。首先可以对重金属和海拔进行相关性分析，得出相关矩阵和相关度，再结合问题一求出的结论分析

6、出重金属可能的主要来源和重金属污染的主要原因。（三）对问题3的分析：问题3要求通过分析重金属污染物的传播特征，找出污染源的位置。首先通过对数据的处理得到污染源的可能三个位置，然后经过建立模型，应用进行三次拟合，从而更好的找到污染源的位置，得到比较满意的结果。（四）对问题四的分析： 首先对我们建立的模型进行优缺点分析，然后通过查询资料了解影响城市地质环境演变的其他一些因素，从而选择模型解决问题。三.问题假设1、 假设题目中所给数据可靠无误；2、 假设问题一中各区平均的污染程度可以看作该区的污染程度；3、 假设问题二中只考虑题目中所给的8中重金属，不考虑其它重金属；4、 假设重金属传播特征不受风向

7、等因素影响；5、 短期内重金属元素的物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大；6、 不考虑元素间的相互作用的影响；7、 不考虑采集填埋土和堆积时间不长的新成土，采集城市老成土。四符号说明符号符号说明区域i中第j个重金属的污染分指数第j个重金属的实测浓度第j元素的评价标准综合污染指数平均单项污染指数最大单项污染指数浓度分布矩阵注：在此没有设定的符号在下文中会具体说明。五模型的建立与求解5.1 问题一的求解用 1软件对所给数据进行插值拟合得出调查区的地形图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图（1），再用MATLAB软件对所给数据进行分析得出功能区散点图（2）：图（1）：城区地形图图（2）：功能区

8、分布图图（5）：铬在该城区的空间分布图图（4）：镉在该城区的空间分布图图（3）：砷在该城区的空间分布图图（8）：铅在该城区的空间分布图图（7）：镍在该城区的空间分布图图（6）：汞在该城区的空间分布图 图（9）：锌在该城区的空间分布图图（10）：铜在该城区的空间分布图说明：图（1）的Z轴为海拔高度，X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。图（2） 的X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。图（3）-图（10）的Z轴为重金属元素的浓度（单位：g/g），X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。5.1.2模型建立土壤环境质量单项污染指数主要用来评价某一污染物的污染程度，指数小污染轻，指数大污染则重。但区域内土壤环境质量

9、作为一个整体和外区域进行比较时除用单项污染指数外，还常用综合污染指数。综合污染指数可以综合判断某土壤多种污染物的联合污染效应。目前土壤环境质量评价方法有很多，各有优点和缺点。本文根据我国土壤监测技术规范(HJ/T 166-2004)2中推荐的内梅罗综合污染指数法进行评价。在计算某个区域某种重金属单项污染指数(分指数)的基础上，再计算该区域多种重金属的综合污染指数。单项污染指数和综合污染指数的计算公式如下： (1) (2)当1时，表示土壤未受该因子污染，当>1时，表示土壤受该因子污染。内梅罗综合污染指数反映了各污染物对土壤的作用，同时突出了高浓度污染物对土壤环境质量的影响。根据HJ/T 1

10、66-2004,内梅罗综合污染指数的分级标准（见表1），及以背景值作为评价标准（见表2），得出各个区域的污染等级。表1：内梅罗综合污染指数的分级标准等级内梅罗污染指数污染等级10.7清洁（安全）20.71.0尚清洁（警戒线）31.02.0轻度污染42.03.0中度污染53.0重污染表2：8种主要重金属元素的背景值元素平均值标准偏差范围As (g/g)3.60.91.85.4Cd (ng/g)1303070190Cr (g/g)3191349Cu (g/g)13.23.66.020.4Hg (ng/g)3581951Ni (g/g)12.33.84.719.9Pb (g/g)3161943Zn

11、(g/g)69144197模型求解 本文以背景值作为评价标准进行求解，用EXCEL对文中所给数据进行分类，把数据分入1类区、2类区、3类区、4类区、5类区。然后得出各个区里面主要重金属含量的平均值，用EXCEL做出了各区域各重金属平均值的二维折线图（见附录1.6），可看作各区中主要重金属含量值。如下表：表3：各区重金属含量的平均值区域As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)16.27289.9669.0249.493.0418.3469.11237.0127.25393.1153.41127.54642

12、.3619.8193.04277.9334.04152.3238.9617.3240.9615.4536.5673.2945.71360.0158.0562.21446.8217.6263.53242.8556.26280.5443.6430.19114.9915.2960.71154.24然后根据公式（1）、（2）结合MATLAB软件算得各区重金属单项污染指数和综合污染指数，如下表：表4：各区重金属单项污染指数和综合污染指数区域单 项 污 染 指 数综合污染指数AsCdCrCuHgNiPbZn11.74172.23052.22653.74242.65831.49112.22943.43493

13、.170422.01393.02391.72299.662118.35311.61063.00134.02813.533131.12221.17171.25681.31211.17031.25611.17941.06221.253241.58612.76931.87264.712912.76631.43252.04943.51969.426451.73892.1581.40772.28713.28541.24311.95842.23542.7343再由内梅罗综合污染指数的分级标准得出各区的综合污染等级，如下表：表5：各区综合污染等级区域污染等级生活区5 重污染工业区5 重污染山区3 轻等污染主

14、干道路区5 重污染公园绿地区4 中等污染从表中可以看出，该城区内生活区、工业区、主干道路区属于重污染区，公园绿地区属于中等污染区，山区属于轻度污染区。5.2 问题二的求解 模型建立用SPSS统计软件对各种重金属元素浓度和海拔做相关性分析，得出各种元素与元素之间和元素与海拔之间的相关系数矩阵及其相关性，结合第一问得出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因。5.2.2 模型求解（一）根据题中所给数据，以As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn八种重金属元素浓度和海拔作相关性分析，经SPSS统计软件进行相关性分析，得出该市表层土壤As、C

15、d、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn八种重金属原始含量数据和海拔的相关系数矩阵，如图（11）所示CorrelationsAsCdCrCuHgNiPbZnAsPearson Correlation1.255*.189*.160*.064.317*.290*.247*Sig. (2-tailed).000.001.004.251.000.000.000N319319319319319319319319CdPearson Correlation.255*1.352*.397*.265*.329*.660*.431*Sig. (2-tailed).000.000.000.000.000.000.00

16、0N319319319319319319319319CrPearson Correlation.189*.352*1.532*.103.716*.383*.424*Sig. (2-tailed).001.000.000.066.000.000.000N319319319319319319319319CuPearson Correlation.160*.397*.532*1.417*.495*.520*.387*Sig. (2-tailed).004.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319HgPearson Correlation.064

17、.265*.103.417*1.103.298*.196*Sig. (2-tailed).251.000.066.000.066.000.000N319319319319319319319319NiPearson Correlation.317*.329*.716*.495*.1031.307*.436*Sig. (2-tailed).000.000.000.000.066.000.000N319319319319319319319319PbPearson Correlation.290*.660*.383*.520*.298*.307*1.494*Sig. (2-tailed).000.00

18、0.000.000.000.000.000N319319319319319319319319ZnPearson Correlation.247*.431*.424*.387*.196*.436*.494*1Sig. (2-tailed).000.000.000.000.000.000.000N319319319319319319319319*. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).图（11）：重金属原始含量数据和海拔的相关系数矩阵注：利用SPSS软件做出了八种重金属在不同海拔内的分布图（见附录2.1）。参照分布图可见各

19、重金属浓度均和海拔成负相关，即海拔越高，其含各种重金属浓度越低；和的相关性最好，相关系数最大，为0.716，其次为和，相关系数为0660，以下是和的相关性较好，相关系数是0.532，其它元素之间的相关性并不是很好。从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。结合第一问中8种主要重金属元素在该城区的空间分布可以看出，和、和可能是来自同一来源。（二）根据空间分布图、区域散点图和主要重金属含量土壤单项污染的指数进行分析：对于和，在来源上关联较密切，该市表层土壤和基本未污染，只有个别点富集程度较高，污染达到中度污染，该富集中心的位置主要分布在生活区周边和交通区周边，这可能是由于生活

20、废水的排放和交通源汽车尾气的排放等原因造成的。对于和，在来源上关联较密切， 和的高含量点主要分布在交通区和工业区周边,这可能是因为和来自该市中心交通源汽车尾气的排放、汽车轮胎的磨损和冶炼厂的废水、尘埃和废渣,以及电镀、电池、颜料、塑料稳定剂、涂料工业的废水等。所以可以说和的污染主要是由于交通污染和工业污染。对于,该市表层土壤基本未污染，只有个别点富集程度较高，污染达到中度污染，该富集中心的位置主要分布在生活区周边，这可能是由城市商业活动、城市居民生活累加到土壤中的。对于, 其高含量点主要分布在交通繁忙的交通区周边和工业区周边, 污染的一个主要原因是由于燃煤造成的，无论是工业用煤还是居民用煤，而

21、且燃烧方式落后。工业排放也是表层土壤污染的另一个重要来源，主要在大面积污染的几个工业浓集中心。对于,其高含量点也主要分布在交通繁忙的交通区周边和工业区周边, 这主要是由于汽车尾气的排放和厂矿企业的三废排放。对于，该市表层土壤基本都是轻度或中度污染，只有个别点富集程度较高，该富集中心的位置主要分布在工业区周边，主要来源可能是工厂的废水排放。综上所述，可以认为工业区、交通区和生活区的活动是造成该城区表层土壤重金属污染的主要原因。5.3 问题三的求解5.3.1模型建立 设第个污染源的污染值为，利用软件对数据进行处理即可得到以及污染源的位置（见图12），了解重金属污染物的传播特征，考虑第i个采样点受到

22、污染源的影响与该采样点和污染源的海拔差Hj、空间距离Rj、以及第个污染源的污染值三个因素有关，所以构建目标函数 （3） 其中 （4） （5） 最后再利用对构建的目标函数（4）进行数据拟合，得出污染源的传播范围及其传播特征。5.3.2模型求解 利用软件对数据进行综合处理得到下图（图12），图（12）污染源的位置（1）对图（12）进行分析：由图可知污染源位置的分布，假设三处均为污染源，选择其中一处进行数据分析，构建如下函数 （其中C为常数，j=1，2，.）将等式两边同时取对数得： （6） 化简得出： （7） 类比此函数： 此函数成线性关系，可以利用软件进行数据拟合， 进行数据拟合得到的图形为：图（

23、13）：拟合1后的图形利用Matlab进行数据拟合得到的函数为： （8） 重金属污染物以函数的特征进行传播根据拟合所得到的函数，代入数据最终得出污染源的坐标位置是（22304，10527，40）2）对第二处污染源进行分析，构建如下函数： (9) （、均为系数）同样，利用Matlab软件对该函数进行数据拟合，（拟合2过程见附录3）得到的拟合图形为(部分图形)：图（14）：拟合2后的图形对所得到的拟合函数进行代值处理分析，得出以下结论：A.污染源的总体污染指数相对稳定，可知第二处不是污染源B.通过对其地势分析，地势低洼、凹陷可能是由长时间的污染物的堆积而形成的3）对第三处污染源进行分析，构建如下函

24、数： （10） （、均为系数）利用Matlab软件对该函数进行数据拟合，（拟合3过程见附录3） 得到的拟合图形为(部分图形)：图（15）：拟合3后的图形对所得到的拟合函数进行代值处理分析，得出结论：总体污染值有一定的起伏，但相对于第一处的数值较小，无法确定其是否为污染源。可能是因为受到周围污染源的波及，造成该地区污染较严重。5.4问题四的求解 模型的优缺点优点：（1）解决问题一的第一小问时，我们用对原始数据进行差值拟合。由于所给数据采样点的不规则性，首先使用griddata函数对所给数据进行插值规整得出一个X,Y分别等步长的某种元素的浓度分布矩阵。在规整的浓度分布矩阵基础上分别使用pcolor

25、，contourf，contour，surf等函数绘出了各种重金属元素在城区的空间分布。通过综合比较之后选定三维surf曲面建立重金属元素的空间分布模型，直观明了。（2）解决问题二时，我们用SPSS对各种重金属元素浓度和海拔做因子分析，得出各种元素浓度和海拔相关性，各元素浓度和海拔呈现负相关，正好验证了第一问中求得的山区各重金属浓度最低，污染程度最轻这一结果。（3）在问题三上，我们应用软件对数据进行处理，得到了污染源的可能分布地区，共有三处；然后再用进行三次拟合，比较简便准确地找到了污染源的位置。 缺点：（1）解决问题一第二小问时，我们把各区内采样点重金属浓度实测值的平均值用作各区重金属浓度的

26、实测值，经过内梅罗综合污染指数评价法进行求解得出的各区污染等级只能反映各区的平均污染等级，不能反映各个采样点各自的污染等级。（2）解决问题二时，我们忽略了该市风向、天气等因素对重金属污染的影响。 模型建立 为了更好地研究城市地质环境的演变模式，需要做以下几个工作。首先我们需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式；然后再利用问题一中求解不同区域重金属的污染程度的模型对城市进行污染程度分析；最后对由统计得到的各个样点在多个时间内的污染程度进行分析，即可研究出城市地质环境的演变模式。因此，我们只需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式即可。为了求出空间中任意一点对应的

27、污染物浓度与时间的关系表达式，除了需要有本题中所给信息外，还应收集不同时间内的样点对应的基本信息（如附件中所给信息）以及各污染源重金属的产生率。（1）高斯浓度模型建立本题假设污染物浓度符合正态分布，建立高斯浓度分布模型： （11）其中是空间任意一点的浓度；是污染源重金属产生率；分别表示方向上的扩散系数；是土壤对重金属元素的吸收速率3；是干沉积量4。（2）高斯模型的修正 因为干沉积和腐蚀是影响重金属元素在土壤中的衰减的重要因素，故引入其浓度随时间的变化关系： （12）其中是衰减系数则某时刻下空间点处的重金属浓度为：, （13）六模型的评价与推广对于问题一所建模型，我们在求各区污染程度的时候，仅仅

28、拿各区重金属的平均浓度进行分析，得出的结果只能反映各区的平均污染等级，不能反映各区在不同位置的污染等级。所以要想得出各区在不同位置的污染等级，需进一步求出各种重金属的空间分布函数。对于问题二所建模型，我们在分析重金属污染的主要原因时，仅考虑了城市内各区造成的污染，忽略了该城市周边农田中农药的使用等因素造成的污染。要更好的分析出重金属污染的主要原因，我们还需对该城市周边农田中农药的使用等因素造成的污染进行调查分析。对于问题三所建模型，我们只考虑到海拔与空间距离，因此拟合的效果只能差强人意。本模型的建立对于研究减少城市污染问题和保护环境具有重要意义，尤其在当今以高能耗高污染的生产模式为主的工业时代

29、，该模型的建立对于研究城市规划，和工厂位置选择以及交通建设时具有重要的才能考价值，同时利用该模型也可以研究物质扩散现象的规律。七.参考文献1 张志涌，精通MATLAB 6.5版M.北京：北京航天航空大学出版社， 234-302，2003。2 HJ/T166-2004，土壤环境监测技术规范S. 北京：中国标准出版社，2004。3 景丽洁，王敏，不同类型土壤对重金属的吸附特性, 生态环境,2008，第17 卷第1 期：245-248。4 韩中庚，数学建模竞赛获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，2007八附录1.1 城区地形分布图的MATLAB程序：A=xlsread('F:Acumcm2

30、011A,附件_数据.xls',1,'A4:E322');x=A(:,2);y=A(:,3);z=A(:,4);scatter(x,y,5,z) figureX,Y,Z=griddata(x,y,z,linspace(0,30000)',linspace(0,20000),'v4'); pcolor(X,Y,Z);shading interp title('功能区')figure,contourf(X,Y,Z) figure,contour(X,Y,Z) title('功能区')figure,surf(X,Y,Z)

31、1.2 功能区分布散点图的MATLAB程序：A=xlsread('F:Acumcm2011A,附件_数据.xls',1,'A4:E322');x=A(:,2);y=A(:,3);z=A(:,5); x1=find(z=1);x=x(x1(:); y=y(x1(:); scatter(x,y,20,'d')hold on;x=A(:,2);y=A(:,3); x2=find(z=2); x=x(x2(:);y=y(x2(:);scatter(x,y,20,'h') hold on; x=A(:,2);y=A(:,3); x3=fin

32、d(z=3);x=x(x3(:);y=y(x3(:); scatter(x,y,20,'s')hold on; x=A(:,2);y=A(:,3); x4=find(z=4); x=x(x4(:);y=y(x4(:);scatter(x,y,20,'p') hold on; x=A(:,2);y=A(:,3);x5=find(z=5); x=x(x5(:); y=y(x5(:);scatter(x,y,20,'x')title('功能区分布') legend('生活区','工业区','山区&

33、#39;,'交通区','公园绿地区') 1.3八种重金属的分布matlab程序d=xlsread('F:Acumcm2011A¸附件_数据.xls',4,'A2:C320'); （只要改变 A2:C320，就可以得到八种重金属的分布图）x=d(:,1);y=d(:,2);z=d(:,3);nx=linspace(min(x),max(x),100);ny=linspace(min(y),max(y),100);xx,yy=meshgrid(nx,ny);zz=griddata(x,y,z,xx,yy,'v4');surfl(xx,yy,zz);shading interpcolormap(gray);hold on d=datax=d(:,1);y=d(:,2);z=d(:,3);nx=linspace(min(x),max(x),100);ny=linspace(min(y),max(y),100);xx,yy=meshgrid(nx,ny);zz=griddata(x,y,z,xx,yy,'v4');cc,hh=contour(xx,yy,zz,10); p=clabel(cc,hh) for n=p' set(n,'string&#