中考16讲苏科版数学-第11讲-不一样的旋转

1、中考16讲苏科版数学第 11讲不一样的旋转一、填空题（本大题共4小题，共12.0分）1. 如图，在平面直角坐标系中，已知原点O，A（0，4），B（2，0），将OAB绕平面内一点P逆时针旋转90°，使得旋转后的三角形的两个顶点恰好落在反比例函数y=-6x(x<0)的图象上，则旋转中心P的坐标为_。2. 如图，在矩形ABCD中，AB5，BC3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的CD边上的点G处，连接CE，则CE_。3. 如图，在矩形ABCD中，将ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G连接B

2、B'，CC'，若AD7，CG4，AB'B'G，多CC'BB'_。4. 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将BOA绕点A按顺时针方向旋转得CDA，连接OD当DOA=OBA时，直线CD的解析式为_ 二、解答题（本大题共8小题，共64.0分）5. 例题讲解    【操作发现】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上。    （1）请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C&#

3、39;，连接BB'；    （2）在（1）所画图形中，AB'B的度数为_。    【问题解决】如图，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90°，BPC120°，求APC的面积。    小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：    想法一：将APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到AP'B，连接PP'，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；    想法

4、二：将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到AP'C，连接PP'，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；    请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程。（一种方法即可）    【灵活运用】如图，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）6. 例题讲解    在等腰ABC中，ACBC，P为BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA。以点P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与C相等

5、，得到线段PD，连接DB     （1）当C90°时，请你在图中补全图形，并直接写出DBA的度数；    （2）如图，若Ca求DBA的度数（用含a的代数式表示）；    （3）连接AD，若C30°，AC2，APC135°，请写出求AD长的思路。（可以不写出计算结果）7. 在矩形ABCD中，将对角线CA绕点C逆时针旋转得到CE，连接AE，取AE的中点F，连接BF，DF。     （1）若点E在CB的延长线上，    依

6、题意补全图；    判断BF与DF的位置关系并加以证明；    （2）若点E在线段BC的下方，ACE90°，ACB28°，AC6，请写出求BF长的思路。（可以不写出计算结果）8. 已知在ABC中，ABAC，BAC60°。     （1）如图，若点P在ABC内，且APC150°，PA3，PC4，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到ADB，连接DP，    依题意补全图；    直接写出PB的长；

7、    （2）如图，若点P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC的度数。9. 已知有两个以O为顶点且不全等的RtAOB和RtCOD，其中ABODCO30°。 （1）如图，设BODa（0°a60°），E，F，M分别是AC，CD，DB的中点，连接FM，EM。请问：随着a的变化，FMEM的值是否发生变化?若不变，请求出FMEM的值；若变化，请说明理由；（2）如图，若BO3，点N在线段OD上，且NO1，点P是线段AB上的一个动点，将COD固定，AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值为_，最小值为_。10. 在锐角ABC中，AB

8、6，BC11，ACB30°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1。     （1）如图，当点C1在CA延长线上时，则CC1A1_；    （2）如图，连接AA1，CC1若ABA1的面积为24，求CBC1的面积；    （3）如图，E为线段AB的中点，P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差。11. 如图，四边形ABCD中，已知A=C=30°，D=60°，AD=8，CD=10（

9、1）求AB、BC的长；（2）已知，半径为1的P在四边形ABCD的外面沿各边滚动（无滑动）一周，求P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积12. 如图，在ABC中，B90°，A30°，AC2。     （1）将ABC绕点C顺时针旋转120°得A'B'C。    求点B旋转经过的路径长；    求线段BB'的长；    （2）如图，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将ACD绕点C顺时针旋转90°得A'C

10、D'。在图中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积。答案和解析1.【答案】（-32，-12）【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，旋转中的坐标变换.掌握旋转中的坐标变换是解题的关键.设点P的坐标为（m，n），A（0，4），B（2，0），则点A'（m+n-4，n-m），点B'（m+n，n-m+2），根据旋转后的三角形的两个顶点恰好落在双曲线上，列出方程，解得m、n的值，即可得点P的坐标.【解答】解：设点P的坐标为（m，n），A（0，4），B（2，0），点A'（m+n-4，n-m），点B'（m+n，n-m+2），点

11、A'和点B'在双曲线上，解得（不合题意，舍去）或.故答案为（，）.2.【答案】3105【解析】【分析】本题考查的是旋转变换的性质，相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理，矩形的性质，旋转变换的性质是解题的关键连接AG，根据旋转变换的性质得到，ABG=CBE，BA=BG，根据勾股定理求出CG，AD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】解：连接AG，菁优网由旋转变换的性质可知，ABG=CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG=4，DG=DC-CG=1，则AG=，ABG=CBE，ABGCBE，解得CE=.故答案为3.【答案】745【解析】【分析】本题主要考查了

12、旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将转化为，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本题的难点所在先连接AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据ABB'ACC'，可得到=，设AB=AB'=x，则，DG=x-4，RtADG中，根据勾股定理可得方程，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值【解答】解：连接AC，AG，AC'，由旋转可得，AB=AB'，AC=AC&#

13、39;，BAB'=CAC'，=，ABB'ACC'，=，AB'=B'G，AB'G=ABC=90°，AB'G是等腰直角三角形，设AB=AB'=x，则，DG=x-4，RtADG中，AD2+DG2=AG2，解得x1=5，x2=-13（舍去），AB=5，RtABC中，AC=，=，故答案为：4.【答案】y=-724x+4【解析】解：BOA绕点A按顺时针方向旋转得CDA， BOACDA， DOA=OBA，OAM=BAO， AOMABO， AMO=AOB=90°， ODAB， AO=AD， OAM=DAM， 在AOB和

14、ABD中， ， AOBABD（SAS）， OM=DM， ABDACD， ADB=ADC=90°， B，D，C三点共线， 设直线AB解析式为y=kx+b， 把A与B坐标代入得：， 解得：， 直线AB解析式为y=-x+4， 直线OD解析式为y=x， 联立得：， 解得：，即M（，）， M为线段OD的中点， D（，）， 设直线CD解析式为y=mx+n， 把B与D坐标代入得：， 解得：m=-，n=4， 则直线CD解析式为y=-x+4 故答案为：y=-x+4 由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM与三角形AOB相似，确定出OD与AB垂直，再由

15、OA=DA，利用三线合一得到AB为角平分线，M为OD中点，利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，进而确定出B，D，C三点共线，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y=mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，坐标与图形性质，以及旋转的性质，得出B，D，C三点共线是解本题的关键5.【答案】解：【操作发现】（1）如图所示，ABC即为所求；（2）45°；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时

16、针方向旋转60°，得到APC，APP是等边三角形，APC=APB=360°-90°-120°=150°，PP=AP，APP=APP=60°，PPC=90°，PPC=30°，PP=32PC，即AP=32PC，APC=90°，AP2+PC2=AC2，即（32PC）2+PC2=72，PC=27，AP=21，SAPC=12APPC=73；【灵活运用】如图中，AEBC，BE=EC，AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG，则BD=CG，BAD=CAG，BAC=DAG，AB=AC，AD=AG，ABC=

17、ACB=ADG=AGD，ABCADG，AD=kAB，DG=kBC=4k，BAE+ABC=90°，BAE=ADC，ADG+ADC=90°，GDC=90°，CG=DG2+CD2=16k2+25，BD=CG=16k2+25.【解析】【分析】本题考查相似形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题.【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明ABB是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图，将APB绕点A按逆时针方向旋转60

18、6;，得到APC，只要证明PPC=90°，利用勾股定理即可解决问题；【灵活运用】如图中，由AEBC，BE=EC，推出AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG则BD=CG，只要证明GDC=90°，可得CG=，由此即可解决问题.【解答】解：【操作发现】（1）见答案；（2）连接BB，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，AB=AB，BAB=90°，ABB=45°，故答案为45°；【问题解决】见答案；【灵活运用】见答案.6.【答案】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PEAC，PEB=CAB，AB=BC，CBA=CA

19、B，PEB=PBE，PB=PE，BPD+DPE=EPA+DPE=90°，BPD=EPA，PA=PD，PDBPAE，PBA=PEB=12180°-90°=45°，PBD=PEA=180°-PEB=135°，DBA=PBD-PBA=90°；（2）如图2，过点P作PEAC，PEB=CAB，AC=BC，CBA=CAB，PEB=PBE，PB=PE，BPD+DPE=EPA+DPE=，BPD=EPA，PA=PD，PDBPAE，PBA=PEB=12180°-=90°-12，PBD=PEA=180°-PEB=90

20、°+12，DBA=PBD-PBA=；（3）如图3，作AHBC，ACB=30°，AC=2，AH=1，CH=3，BH=2-3，根据勾股定理得，AB=AH2BH2=22-3，APC=135°，APH=45°，AP=2AH=2，APD=ACB=30°，AC=BC，AP=DP，PADCAB，ADAB=APAC=22，AD=22AB=22×22-3=22-6.【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，判断PDBPAE是解本题的关键，也是难点（1）依题意画出图形，如图1所示，先判断出BPD=E

21、PA，从而得出PDBPAE，简单计算即可；（2）先判断出CBA=CAB，BPD=EPA，从而得出PDBPAE，简单代换即可；（3）先求出，再根据勾股定理得，然后判断出PADCAB，从而求出AD7.【答案】解：（1）补全图形，如图1，所示，BFDF证明：延长DF与CE的延长线交于点G，如图2，连接BD，矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，AC=BD，ADF=G，在AFD和EFG中，AFD=EFGADF=GAF=EF，AFDEFG，EG=AD，GF=DF，EG=BC，BG=EC，BG=BD，GF=DF，BFDF；（2）如图3，由（2）有，BFDF，在矩形ABCD中，ACB=28°，BA

22、C=90°-ACB=62°，AOB=2ACB=56°，OA=OC，AF=EF，OFEC，AOF=ACB=28°，BOF=AOB-AOF=28°，在RtBFD中，OB=OD，OF=OD，BDF=12BOF=14°，在RtBFD中，BD=AC=6，sinBDF=BFBD，BF=BD×sinBDF=6sin14°6×0.241921901.452【解析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，推导出BDF是解本题的关键（1）由题意，补全图形，如图1，（2）由矩形的性

23、质，得到AFDEFG，再用等量代换即可；（3）先计算出BAC，AOB，在求出BOF，BDF，最后利用三角函数计算即可8.【答案】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，  由旋转有，AD=AP，BD=PC，DAB=PAC， DAP=BAC=60°， ADP为等边三角形， DP=PA=3，ADP=60°， ADB=APC=150°， BDP=90°，在RtBDP中，BD=4，DP=3，根据勾股定理得，PB=5； （2）如图2，  把APC绕点A顺时针旋转，使点

24、C与点B重合，得到ADB，连接PD， APCADB， AD=AP=3，DB=PC=4，PAC=DAB，APC=2， DAP=BAC， BAC=60°， DAP=60°， DAP是等边三角形， PD=3，1=60°， PD2+DB2=32+42=52=PB2， PDB=90°， 2=30°， APC=30°.（3）根据题意可知：APC=30°.【解析】本题考查的是旋转的性质有关知识.（1）由旋转的性质得到ADP为等边三

25、角形，从而判断出BPD为直角三角形，根据勾股定理计算即可； （2）由旋转的性质得到DAP是等边三角形，根据勾股定理得逆定理判断出BPD为直角三角形，即可； （3）根据题意直接进行解答即可.9.【答案】解：（1）不变；FMEM=32，如图1，连接AD，BC交于一点Q，AD交BO于P，AOB=COD=90°，ABO=DCO=30°，OAOB=ODOC=33，AOD=BOC，AODBOC，OAD=CBO，ADBC=33，APO=BPQ，BQP=AOB=90°，ADBC，点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，EFAD，EF=12AD，MFBC，MF

26、=12BC，在RtEFM中，FMEM=32；（2）4；12.【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质，三角函数的应用注意数形结合思想的应用及旋转前后的对应关系时解决本题的关键（1）连接AD，BC，由AOB=COD=90°，ABO=DCO=30°，得到，AOD=BOC，推出AODBOC，求得OAD=CBO，证得ADBC由于点E、F、M分别是AC，CD，DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EFAD，于是得到MFAD，在RtEFM中，=；（2）过O作OEAB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点

27、的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4【解答】（1）见答案；（2）如图2，过O作OEAB于E，BO=3，ABO=30°，当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，线段PN长度的最小值为，最大值为4故答案为4；10.【答案】解：（1）60°；（2）如图2，ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，BABC=B

28、A1BC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1，SABA1SCBC1=ABAC2=6112=36121,SABA1=24，SCBC1=2423.（3）如图4，过点B作BDAC，D为垂足，ABC为锐角三角形， 点D在线段AC上，在RtBCD中，BD=BC×sin30°=5.5， 以B为圆心，BD为半径画圆交AB于P1，BP1有最小值BP1EP1的最小值为5.5-3=2.5， 以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于P1，BP1有最大值BP1 此时EP1的最大值为11+3=14， 线段EP1的最大值与最小值的差为14-2.5

29、=11.5【解析】【分析】本题是三角形旋转的综合题，考查了三角形旋转的性质：旋转前后的两个图形全等；考查了全等三角形和相似三角形的对应边的关系，本题利用两三角形全等的对应边相等，列比例式证明另外两三角形相似，这一证明思路值得借鉴（1）根据旋转的性质可知：A1C1B=30°，再由等边对等角得BC1C=30°，则CC1A1=60°；（2）由ABCA1BC1得比例式，证明ABA1CBC1，根据面积比等于相似比的平方求出CBC1的面积；（3）作辅助线，当点P在D处时BP最小，则BP1最小，EP1最小；当点P在点C处时，BP最大，则BP1最大，EP1最大，代入计算 

30、;【解答】解：（1）如图1，由旋转得：A1C1B=C=30°，BC=BC1，C=BC1C=30°，CC1A1=60°，故答案为：60°；（2）见答案;（3）见答案.11.【答案】解：（1）延长AB交CD于E，如图1所示：则AED=180°-A-D=180°-30°-60°=90°，CEB=90°，DE=12AD=4，AE=ADsin60°=8×32=43，CE=CD-DE=6，BC=CEcos30=632=43，BE=12BC=23，AB=AE-BE=23；（2）半径为1的P在四边形ABCD的外面沿各边滚动（无滑动）一周，如图2所示：根据题意得：1=120°，2=3=150°，4=5=60°，HF=HG=2，BF=BG=HFtan60=23=233，CF=43-233=1033