探究存在性问题(数学)

1、探究存在性问题“三部曲”（江苏杨大为）存在性开放问题大多数是运用类比的方法，通过类比归纳、猜想、论证，即通过分析类比、提出猜想，再进行必要的论证。具体的思路是，假设结论存在或成立，若推证出矛盾，则结论确实存在或成立； 若推证出矛盾， 则结论不存在或不成立。 说的明白一点就是， 探究“存在性”问题，一般遵循“三部曲” ：假设存在推理论证得出结论（合理或矛盾两种情形）。但任何事情都不是绝对的，有的存在性问题很明显，并不需要严格按照上面的三个步骤进行。现以几道中考压轴大题为例，相信对你的中考复习会有所帮助。例 1（2007 年湖北省荆门市第 28 题）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 O

2、ABC，已知 O(0 ， 0) ， A(4 ， 0) ， C(0 ，3) ，点 P 是 OA边上的动点 ( 与点 O、 A 不重合 ) 现将 PAB沿 PB翻折，得到 PDB；再在 OC边上选取适当的点 E，将 POE沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线 PD、 PF重合(1) 设 P( x， 0) ， E(0 ， y) ，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2) 如图 2，若翻折后点 D落在 BC边上，求过点 P、 B、E 的抛物线的函数关系式；(3) 在 (2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使 PEQ是以 PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点

3、Q的坐标yyCBCDBFDEEFOPA xOPA x图 1图 2分析： 此题将矩形纸片放在平面直角坐标系中操作，利用折叠探究函数关系式，融对称、相似、函数等众多知识点于一体，属常规的存在性问题探究题，难度不是太大，相信同学们能顺利求解。（下面给出详细解答，有的还附上了原分值，以供同学们参考。）解： (1) 由已知 PB 平分 APD， PE平分 OPF，且 PD、 PF重合，则 BPE=90° OPEAPB=90°又 APB ABP=90°， OPE= PBA Rt Rt 2 分POEBPA POBA即x3 y= 1x(4 x)1x24x (0 x 4) y4 x

4、OEAP333且当 x=2 时， y 有最大值 1 4 分3(2) 由已知， PAB、 POE均为等腰三角形，可得P(1 ， 0) ， E(0 ， 1) ，B(4 ， 3) 6分a1 ,c1,23 ,设过此三点的抛物线为y=ax2 bx c，则 abc0, b16a4bc3.2c1.y= 1 x23 x 1822(3) (2)EPB=90° QB9PB y=x 1y(01)PB2E(0 1)y=x 110yx1,x 5, Q(5 6)1yx2 3 x 1,y6.22(4 3) (5 6)12Q例 2（2007 年扬州市第26 题）ABCDAD 3ABaa3M，NBB A BC1MAB

5、ANCDP，QNCMt12a4t1PM_a5t PNB PAD3PMBNPQDAa4PMBNPQDAPQCNaDQCDQCPNPNAMBAMB解：PM1342 t 2 PNB PAD3: 23 Q PM AB，CB AB， AMPABC AMP ABCPMAMPMat ，Q PMt(a t )BNABtaat( a 1)QQM 3a(QPAD )DQ(MP BN ) BMPMBNPQDA223t( at)3 ( a 1)t (a t)t taa6a，22化简得 ta6Q t 3 ，6a 3 ，则 a 6， 3a 6 ，6 a（ 4） Q 3 a 6 时，梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积

6、相等梯形 PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CNPMt (a t) 3 t ，把 t6a 代入，解之得 a2 3 ，所以 a 2 3 a6 a所以，存在 a ，当 a 23 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、 梯形 PQCN 的面积相等例 3（2007 年辽宁省十二市第 26 题）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点 H的坐标为（ 8，0），点 N的坐标为（ 6， 4）（ 1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180°的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C的坐标（点M的对应点为 A， 点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C）；（ 2）求出

7、过 A， B， C三点的抛物线的表达式；（ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分别在线段 CO，OA，AB上，求四边形 BEFG的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（ 4）在（ 3）的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接 写出此时 m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由yH（-8 ，0）OxMN（-6 ，-4 ）分析：此题与例 1类似，但它加入了作图、中心对称、确定最值等知识点，难度要比例1大一点，但由于第（4）小问降低了要求，所以得分应该不是太难。解

8、：（ 1） 利用中心对称性质，画出梯形。1 分OABC A， B， C三点与 M， N，H分别关于点 O中心对称， A（ 0， 4）， B（ 6， 4），C（ 8， 0）· ··················3 分（写错一个点的坐标扣1 分）yADBHF 8OE C xN ( 6， 4)M（ 2）设过 A， B， C三点的抛物线关系式为 y ax2 bx c ，抛物线过点 A（ 0， 4）， c4 则抛物

9、线关系式为yax 2bx4 ·············4 分将 B（6， 4）， C（ 8， 0）两点坐标代入关系式，得36a6b44，···························5分64a

10、8b40a1 ，解得4····························6分b 32所求抛物线关系式为：y1 x23 x4 ···············7分42（

11、 3）=4，=8，=4 ，=8 ···············8分OAOCAFm OEm S四边形 EFGBS梯形ABCOS AGFS EOFSBEC1 OA（ AB+OC）1 AF· AG 1 OE· OF1 CE· OA222214 （68） 1 m( 4 m)1 m(8m)14m2222m28m28（0m ）········

12、3;····10分4 S (m4) 212 当 m4 时， S 的取最小值又 0 m 4，不存在 m值，使 S 的取得最小值············12分（ 4）当 m226时， GB=GF，当 m2时， BE=BG ···········14分例 4（2007 年河池市第 26 题）。如图 12， 四边形 OABC为直角梯形，

13、 A（ 4， 0），B（ 3，4），C（ 0，4） 点 M 从 O 出发以每秒2 个单位长度的速度向A 运动；点 N 从 B 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度向C 运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直 x轴于点P，连结ACNP QMQ交于 ，连结（ 1）点（填或）能到达终点；MN（ 2）求 AQM的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式， 并写出自变量 t 的取值范围， 当 t 为何值时， S的值最大；（ 3）是否存在点 M，使得 AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由yCNBQOMPAx图 12分析：此题与前几例类似，推究的方法自然

14、也一样，就是第（3）小问体现了分类讨论的思想方法，务必不要漏解。解：（ 1）点M 。 1 分（2）经过t 秒时， NBt ， OM2t ，则CN 3t ， AM4 2t BCA= MAQ = 45o QNCN3tPQ 1t··················2分 S AMQ1 AM gPQ1 (42t)(1t)22t 2t2········

15、;······················3分2 St 2t2t19·····················5分24 0 t 21···

16、;··············6分当 t时， S 的值最大2（3）存在·····························7分设经过t秒时，= ，2NB tOM=t

17、则 CN3t， AM42tBCA=MAQ = 45o······················8 分若AQM90o ，则 PQ 是等腰 Rt MQA 底边 MA 上的高 PQ 是底边 MA 的中线PQ AP1 MA2 1t1 (42t)12 t2点 M 的坐标为（ 1， 0）········

18、83;··············10 分若QMA90o ，此时 QM 与 QP 重合 QMQPMA 1t4 2t t1点 M 的坐标为（ 2， 0）。12 分例 5（2007 年沈阳市第 26 题）已知抛物线 y ax2bx c 与 x 轴交于 A、 B 两点，与y轴交于点，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段、的长COB OC（OB<OC）是方程 x2 10x 160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 2（ 1）求 A、 B、C三点的坐标；（ 2）求此抛物线的表达式；（ 3）连接 AC、 BC，若点 E 是线段 AB上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作交于点，连接，设的长为，的面积为，求S与之间的函数关EFACBCFCEAEmCEFSm系式，并写出自变量m的取值范围；（ 4）在（ 3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由第26题图210x 16 0x 2 x811x12B xC yOB OCB20C08y ax2