【6年高考4年模拟】2013版高考数学 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和精品试题

1、- 1 -【数学精品数学精品】2013】2013 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟第六章第六章 数列数列第一节第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一部分等差数列、等比数列的概念及求和第一部分 六年高考题六年高考题荟萃荟萃 20122012 年高考题年高考题一、选择题1.【2012 高考重庆理 1】在等差数列中，则的前 5 项和=na12a54ana5S A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因为，所以，所以数列的前 5 项和12a54a64251aaaa,选 B.156252)(52)(542515aaaaS2.【2012 高考浙江理 7】设是公差为 d（d0

2、）的无穷等差数列an的前 n 项和，则下nS列命题错误的是A.若 d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则 d0C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有*Nn0nSD. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列*Nn0nS【答案】C【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列S n是递增数列，但是S n0 不成立故选 C。3.【2012 高考新课标理 5】已知na为等比数列，568a a ，则472aa110aa（ ） ( )A7( )B5( )C()D【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以na87465aaaa274 aa或.若，解得，2474aa，4

3、274aa，2474aa，18101aa，- 2 -；若，解得，仍有，综上选7101 aa4274aa，18110aa，7101 aaD.4.【2012 高考上海理 18】设，在中，25sin1nnannnaaaS2110021,SSS正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】当 124 时，0，当 2649 时，0，但其绝对值要小于nnanna124 时相应的值，当 5174 时，0，当 7699 时，0，但其绝对值nnnanna要小于 5174 时相应的值，当 1100 时，均有0。nnnS【点评点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要

4、找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.5.【2012 高考辽宁理 6】在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前 11 项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案答案】B【解析解析】在等差数列中，答案为 B111111481111 ()16,882aaaaaas【点评点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。6.【2012 高考福建理 2】等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为A.

5、1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考点：考点：等差数列的定义。难度：难度：易。分析：分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式dnaan) 1(1。【解析】法 1：由等差中项的性质知，又.故选 B.52513aaa2, 7344aada法 2：273104211ddada7.【2012 高考安徽理 4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则32na31116a a =（ ）162log a- 3 - ( )A4( )B5( )C()D【答案】B 【解析】29311771672161616432log5a aaaaaqa8.【2012 高考全国卷理 5】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，

6、a5=5，S5=15，则数列的前 100 项和为(A) (B) (C) (D) 1001019910199100101100【答案】A【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。【解析】由,得，所以，所以15, 555Sa1, 11dannan) 1(1，又111) 1(111nnnnaann，选 A.1011001011110111001312121111110110021aaaa二、填空题9.【2012 高考浙江理 13】设公比为 q（q0）的等比数列an的前 n 项和为

7、Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则 q=_。 【答案】32【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子2232Sa 4432Sa 1a即，两式作差得：，即：111233111113232aa qa qaa qa qa qa q 2321113(1)a qa qa q q ，解之得：(舍去)2230qq 312qq或 10.【2012 高考新课标理 16】数列满足，则的前项和为 na1( 1)21nnnaan na60【答案】1830【解析】由得，12) 1(1naannn12 12) 1() 1(12) 1(112nnanaannnnnn- 4 -，12) 12() 1(nnan

8、n即，也有，两式相1212) 1(2nnaannn）（3212) 1(13nnaannn）（加得，设为整数，44) 1(2321naaaannnnnk则，10164) 14(4) 1(21444342414kkaaaakkkkk于是1830)1016()(1404434241414060kaaaaSKkkkkK11.【2012 高考辽宁理 14】已知等比数列an为递增数列，且，则数列an的通项公式an =_。251021,2()5nnnaaaaa【答案答案】2n【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.【解析解析】2429510111,(),nnaaa qa qaqaq2

9、22112()5,2(1)5,2(1)5 ,2(22nnnnnnnaaaaqa qqqqqa解得或舍去），【点评点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。12.【2012 高考江西理 12】设数列an,bn都是等差数列，若，711ba2133ba则_。55ba【答案】35【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想【解析】 （解法一）因为数列, nnab都是等差数列，所以数列nnab也是等差数列.故由等差中项的性质，得 5511332ababab，即5572 21ab，解得5535ab.（解法二）设数列, nnab的公差分别为

10、12,d d,因为331112111212(2)(2)()2()72()21abadbdabdddd,所以127dd.所以553312()2()35ababdd.【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前n项和，等差中项的性质等.- 5 -13.【2012 高考北京理 10】已知等差数列为其前 n 项和。若，则nanS211a32aS =_。2a【答案】，12annSn41412【解析】因为，212111132132addadaaaaaaS所以，。112daanndnn

11、naSn4141) 1(2114.【2012 高考广东理 11】已知递增的等差数列an满足 a1=1，则 an=_4223 aa 【答案】12 n【解析】由得到，即，应为an是递增的等差数列，4223 aa4)1 (212dd42d所以，故。2d12 nan三、解答题15【2012 高考江苏 20】 （1616 分）分）已知各项均为正数的两个数列和满足：na nb，221nnnnnbabaa*Nn（1）设，求证：数列是等差数列；nnnabb11*Nn2nnba（2）设，且是等比数列，求和的值nnnabb21*Nnna1a1b【答案答案】解：（1），。nnnabb1111222=1nnnnnnn

12、nabbaabba 。2111nnnnbbaa 。222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa 数列是以 1 为公差的等差数列。2nnba- 6 -（2），。00nna b ，22222nnnnnnabab ab 。 （）12212nnnnnab0q=1q 若则，当时，与（）矛盾。1,q212=2aaa112nnaa q 若则，当时，与（）矛盾。01,qa q11logqna111nnaa q 综上所述，。，。=1q1*naanN112a123b b b 又由即，得。221nnnnnbabaa11221nnabaab22111212=1naaaba 中至少有两项相同，与矛盾。123

13、bbb且且123b b b1= 2a 。 2222222= 221nb 。12= 2ab【考点考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析解析】 （1）根据题设和，求出，从而221nnnnnbabaannnabb112111nnnnbbaa证明而得证。22111nnnnbbaa （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列12212nnnnnab0,即2221rn rnaaa ， （1,2,3,1rn） 。上面不等式对r从 1 到1n求和得，222222()(1) 1n rnaaana由此得222221112nnnaaaa综上，当21a 且20a 时，有1()2nnnSaa

14、，当且仅当1,2n 或21a 时等号成立。20.【2012 高考江西理 16】 （本小题满分 12 分）已知数列an的前 n 项和，,且 Sn的最大值为 8.knnSn221*Nk （1）确定常数 k，求 an；（2）求数列的前 n 项和 Tn。229nna【答案】解: （1）当nkN时，212nSnkn 取最大值，即22211822kkk ，故4k ，从而19(2)2nnnaSSn n，又1172aS，所以92nan（1）因为19222nnnnanb，1222123112222nnnnnnTbbb 所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT 【点评点评】本题考

15、查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意11(1),nnnS naSSnanS不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列1nnnaSS1a1a11aS的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.21.【2012 高考湖南理 19】 （本小题满分 12 分）- 11 -已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1）若a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数A（n

16、） ，B（n） ，C（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2）证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个Nn数A（n） ，B（n） ，C（n）组成公比为q的等比数列.【答案】解（）对任意,三个数是等差数列，所以Nn( ), ( ),( )A n B n C n( )( )( )( ),B nA nC nB n即亦即112,nnaaa21214.nnaaaa故数列是首项为，公差为的等差数列.于是 na1 (1) 443.nann （） （）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 naNn由知，均大于，于是1.nnqaa0na ( ), ( ),( )A

17、 n B n C n12)2311212(.( ),( ).nnnnq aaaaaaB nqA naaaaaa231)342231231(.( ),( ).nnnnq aaaaaaC nqB naaaaaa即，所以三个数组成公比为的等比数列.( )( )B nA n( )( )C nB nq( ), ( ),( )A n B n C nq（）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，Nn( ), ( ),( )A n B n C nq则，( )( ),( )( )B nqA n C nqB n于是得即( )( )( )( ) ,C nB nq B nA n2211(),nnaaq aa2

18、121.nnaqaaa由有即，从而.1n (1)(1),BqA21aqa210nnaqa因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，0na 2211nnaaqaa na1aq综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN，三个数 naq- 12 -组成公比为的等比数列.( ), ( ),( )A n B n C nq【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.22.【2012 高考山东理 20】本小题满分 12 分）在等差数列中，. na345984,73aaa

19、a（）求数列的通项公式； na（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列*mN na2(9 ,9)mmmb的前项和. mbmmS【答案】解：解：（）因为 na是一个等差数列，所以3454384aaaa，即428a 所以，数列 na的公差9473289945aad，所以，*4(4)289(4)98()naandnnnN （）对*mN，若 299mmna，则 298998mmn，因此 121919mmn ，故得 2199mmmb（lb ylfx）于是 123.mmSbbbb35212121(999.9)(1 99.9)9 (1 81 )1 91 811 9910 9180mmmmmm20

20、112011 年高考题年高考题一、选择题1 （天津理 4）已知 na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为 na的前n项和，*nN，则10S的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D2 （四川理 8）数列 na的首项为3， nb为等差数列且1(*)nnnbaa nN若则32b ，1012b ，则8a A0 B3 C8 D11【答案】B- 13 -【解析】由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa 3 （全国大纲理 4）设nS为等差数列 na的前n项和，若11a ，公差2d ，224kkSS，则

21、k A8 B7 C6 D5【答案】D4 （江西理 5） 已知数列na的前 n 项和nS满足：nmn mSSS，且1a=1那么10a=A1 B9 C10 D55【答案】A二、填空题5 （湖南理 12）设nS是等差数列na()nN，的前n项和，且141,7aa，则9S= 【答案】256 （重庆理 11）在等差数列na中，3737aa，则2468aaaa_【答案】747 （北京理 11）在等比数列an中，a1=12，a4=-4，则公比 q=_；12.naaa_。2 【答案】2121n8 （广东理 11）等差数列na前 9 项的和等于前 4 项的和若141,0kaaa，则k=_【答案】109 （江苏

22、13）设7211aaa，其中7531,aaaa成公比为 q 的等比数列，642,aaa成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_【答案】33三、解答题10 （江苏 20）设部分为正整数组成的集合，数列11aan的首项，前 n 项和为nS，已- 14 -知对任意整数 kM，当整数)(2,knknknSSSSkn时都成立 （1）设52, 2,1aaM求的值； （2）设,4 , 3naM求数列的通项公式本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分。解：（1）由题设知，当1112,2()nnnnSSSS时， 即111()()2

23、nnnnSSSSS， 从而112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故当时 所以5a的值为 8。 （2）由题设知，当3,4,22n kn knkkMnkSSS且时, S 11122nknknkSSSS 且， 两式相减得11111112,nknknnknknnkaaaaaaa 即所以当63368,nnnnnnaaaaa 时成等差数列，且6226,nnnnaaaa也成等差数列从而当8n 时，33662.nnnnnaaaaa（*）且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以当时，即223113.9,nnnnnnnnaaaanaaaa于是当时成等差数列，从而3311nn

24、nnaaaa，故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即当9n 时，设1.nndaa当28,68mm时，从而由（*）式知6122mmmaaa故71132.mmmaaa从而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd因此，1nnaad对任意2n 都成立，又由22(3,4)n kn kkkSSSSk可- 15 -知34()()2,92162n knnn kkSSSSSdSdS故且，解得42173,.222dadad a从而因此，数列na为等差数列，由112.ad知所以数列na的通项公式为21.nan11 （北京理 20）若数列12,.,(2)nnAa

25、aa n满足111(1,2,.,1)naakn，数列nA为E数列，记()nS A=12.naaa（）写出一个满足10saa，且()sS A0 的E数列nA；（）若112a ，n=2000，证明：E 数列nA是递增数列的充要条件是na=2011；（）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列nA，使得 nS A=0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列nA；如果不存在，说明理由。 解：（）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以)1999

26、, 2 , 1( 11kaakk.所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于 a2000a10001，a2000a10001a2a11所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999.又因为 a1=12，a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故nnnAkaa即),1999, 2 , 1(011是递增数列.综上，结论得证。（）令. 1),1, 2 , 1(011Akkkcnkaac则因为2111112ccaacaa- 16 -,1211nncccaa所以13211)3()2() 1()(nncc

27、ncncnnaAS).1 ()2)(1 () 1)(1(2) 1(121ncncncnn因为).1, 1(1, 1nkcckk为偶数所以所以)1 ()2)(1 () 1)(1*21ncncnc为偶数,所以要使2) 1(, 0)(nnASn必须使为偶数,即 4 整除*)( 144),1(Nmmnmnnn或亦即.当, 1, 0,*)( 14241414kkknaaaAENmmn的项满足数列时14ka), 2 , 1(mk时，有; 0)(, 01nASa; 0)(, 0,0), 2 , 1( 11144nkkASaamka有时当nAENmmn数列时,*)( 14的项满足，, 1, 0243314kk

28、kaaa当) 1(,)( 3424mnNmmnmn时或不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An，使得. 0)(, 01nASa12 （广东理 20） 设 b0,数列 na满足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，111.2nnnba解： （1）由11111210,0,.22nnnnnnbannabaanabb a知令11,nnnAAab，- 17 -当1122,nnnAAbb时2112111222nnnnAbbbb21211222.nnnnbbbb当2b 时，12(1)2,2(2)1nnnnnbbbAbbb当2,.2nn

29、bA时(2),222,2nnnnnbbbabb （2）当2b 时， （欲证1111(2)21,(1)2222nnnnnnnnnnnnbbbbbanbbb只需证）11111212(2)(2)(22)2nnnnnnnnnbbbbbb112222211122222nnnnnnnnnbbbbb21212222()222nnnnnnnnbbbbbbb12(222)222nnnnnnbnbnb，11(2)1.22nnnnnnnbbbab当112,21.2nnnbba时综上所述111.2nnnba- 18 -13 （湖北理 19）已知数列 na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a ，1nnarS(nN*

30、，,1)rR r （）求数列 na的通项公式；（）若存在kN*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且2m ，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。 （满分 13 分） 解：（I）由已知1,nnarS可得21nnarS，两式相减可得 2111(),nnnnnaar SSra 即21(1),nnara 又21,arara所以 r=0 时， 数列na为：a，0，0，； 当0,1rr 时，由已知0,0naa所以（*nN） ， 于是由21(1),nnara可得211()nnar

31、nNa， 23,na aa成等比数列， 当n2时，2(1).nnar ra 综上，数列na的通项公式为21,(1),2nnnanar ra n （II）对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列，证明如下： 当 r=0 时，由（I）知，,1,0,2ma nan 对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列， 当0r ，1r 时， 21211,.kkkkkkSSaaSa- 19 - 若存在*kN，使得112,kkSS S成等差数列， 则122kkkSSS， 1221222,2,kkkkkkSaaSaa 即 由（I）知，23,ma aa的公比12r ，于是 对于任意的*mN，且1

32、22,2,4,mmmmmaaaa 从而 12122,mmmmmmaaaaaa即成等差数列， 综上，对于任意的*mN，且122,mmmmaaa成等差数列。14 （辽宁理 17） 已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列12nna的前 n 项和解： （I）设等差数列na的公差为 d，由已知条件可得110,21210,adad 解得11,1.ad 故数列na的通项公式为2.nan 5 分 （II）设数列12nnnanS的前项和为，即2111,122nnnaaSaS故，12.2242nnnSaaa所以，当1n 时，1211111222211121()

33、2422121(1)22nnnnnnnnnnSaaaaaann - 20 - .2nn所以 1.2nnnS综上，数列11.22nnnnannS的前项和 12 分15 （全国大纲理 20） 设数列 na满足10a 且1111.11nnaa（）求 na的通项公式；（）设111,1.nnnnknkabbSn记S证明：解： （I）由题设1111,11nnaa 即11na是公差为 1 的等差数列。 又1111,.11nnaa故 所以11.nan （II）由（I）得 11,11111nnabnnnnnnn ，8 分11111()11.11nnnkkkSbkkn 12 分16 （山东理 20） 等比数列 n

34、a中，123,a a a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,a a a中的任何- 21 -两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列 na的通项公式；（）若数列 nb满足：( 1)lnnnnbaa ，求数列 nb的前 n 项和nS解：（I）当13a 时，不合题意；当12a 时，当且仅当236,18aa时，符合题意；当110a 时，不合题意。因此1232,6,18,aaa所以公式 q=3，故12 3.nna （II）因为( 1) lnnnnnbaa 11112 3( 1) (2 3)2 3( 1) ln2(1)ln32 3( 1) (

35、ln2ln3)( 1)ln3,nnnnnnnnnn 所以21222(1 33) 1 1 1( 1) (ln2ln3) 125( 1)ln3,nnnnSn 所以当 n 为偶数时，1 32ln31 32nnnS3ln3 1;2nn当 n 为奇数时，1 312(ln2ln3)()ln31 32nnnSn13ln3ln2 1.2nn综上所述，- 22 -3ln3 1,212nnnnnSn为偶数3 -l n3-l n2-1, n为奇数17 （上海理 22） 已知数列na和 nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN） ，将集合* |, |,nnx xa nNx xb nN中的元素从小到大依次排列

36、，构成数列123,nc c cc。（1）求1234,c c c c；（2）求证：在数列 nc中但不在数列 nb中的项恰为242,na aa；（3）求数列 nc的通项公式。解： 12349,11,12,13cccc； 任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnab 假设26627nkanbk*132knN（矛盾） ， 2 nnab 在数列 nc中但不在数列 nb中的项恰为242,na aa。 32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk 63656667kkkk 当1k 时，依次有111222334,bac bc ac b

37、c， *63(43)65(42),66(41)67(4 )nknkknkckNknkknk。18 （天津理 20） - 23 -已知数列na与 nb满足：1123( 1)0,2nnnnnnnb aabab ， *nN，且122,4aa（）求345,a a a的值；（）设*2121,nnncaanN，证明： nc是等比数列；（III）设*242,kkSaaakN证明：4*17()6nkkkSnNa本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. （I）解：由*3( 1),2nnbnN 可得1,nnb为奇数

38、2, n为偶数又1120,nnnnnb aaba123123234434543;5;4. 当n=1时, a +a +2a =0, 由a =2, a =4, 可得a当n=2时, 2a +a +a =0, 可得a当n=3时, a +a +2a =0, 可得a（II）证明：对任意*,nN2122120,nnnaaa2212220,nnnaaa21222320,nnnaaa，得223.nnaa将代入，可得21232121()nnnnaaaa 即*1()nncc nN 又1131,0,ncaa 故c因此11, nnnccc 所以是等比数列.- 24 -（III）证明：由（II）可得2121( 1)kkk

39、aa ，于是，对任意*2kNk且，()1,1,( 1) ()1.kkkaaaaaaaa 将以上各式相加，得121( 1)(1),kkaak 即121( 1)(1)kkak ，此式当 k=1 时也成立.由式得12( 1)(3).kkak 从而22468424()()(),kkkSaaaaaak 21243.kkkSSak所以，对任意*,2nNn，44342414114342414()nnkmmmmkmkmmmmSSSSSaaaaa12221232()2222123nmmmmmmmmm123()2 (21)(22)(22)nmmmmm22532 32 (21)(22)(2

40、3)nmmmnn21533(21)(21)(22)(23)nmmmnn151111113()()()3235572121(22)(23)nnnn15513362 21(22)(23)7.6nnn- 25 -对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN2121212212nnnnSSSSaaaa32121241234212()()()nnnnSSSSSSaaaaaa22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)nnn22211121()()()41244 (41)44 (41)nnnnn111().4123nn19 （浙江理 19）已知公差不为 0 的等差数列na的首项1a

41、为 a（aR）,设数列的前 n 项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（1）求数列na的通项公式及nS（2）记1231111.nnASSSS，212221111.nnBaaaa，当2n 时，试比较nA与nB的大小本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分 14 分。 （I）解：设等差数列na的公差为 d，由2214111(),aaa得2111()(3 )ada ad因为0d ，所以da所以1(1),.2nnan nana S（II）解：因为12 11()1nSa nn，所以123111121(1)1nnASSSSan- 26 -因为1122n

42、naa，所以21122211 ( )11111212(1).1212nnnnBaaaaaa当0122,21nnnnnnnCCCCn时，即1111,12nn 所以，当0,;nnaAB时当0,.nnaAB时20 （重庆理 21） 设实数数列na的前 n 项和nS，满足)(*11NnSaSnnn （I）若122,2a Sa成等比数列，求2S和3a； （II）求证：对14303kkkaa有 （I）解：由题意2221222221122,2,Sa aSSSa Sa a 得，由 S2 是等比中项知220.2.SS 因此由23332SaSa S解得23222.1213SaS （II）证法一：由题设条件有11,

43、nnnnSaaS故11111,1,11nnnnnnnnSaSaaSSa且从而对3k 有- 27 -112112112111211111.11111kkkkkkkkkkkkkkkkaaSaSaaaaSaSaaaa 因2221111131()0024kkkkaaaa 且，由得0ka 要证43ka ，由只要证212114,31kkkaaa即证222111134(1),(2)0.kkkkaaaa即此式明显成立.因此4(3).3kak最后证1.kkaa若不然212,1kkkkkaaaaa又因220,1,(1)0.1kkkkkaaaaa故即矛盾.因此1(3).kkaak证法二：由题设知111nnnnnSS

44、aaS，故方程21110nnnnxSxSSa 有根和（可能相同）.因此判别式21140.nnSS 又由2212212121.1nnnnnnnnnaSSaaSaSa得且因此22222222240,3401(1)nnnnnnaaaaaa即，解得240.3na因此40(3).3kak- 28 -由110(3)1kkkSakS，得111211122111(1)(1)11110.131()24kkkkkkkkkkkkkkkkkkSSSaaaaaSa SSSaaSSS 因此1(3).kkaak20102010 年高考题年高考题一、选择题1.1.（20102010 浙江理）浙江理） （3）设nS为等比数列

45、na的前n项和，2580aa，则52SS（A）11 （B）5 （C）8 （D）11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，属中档题2.2.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （4）.如果等差数列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa3.3.（2010201

46、0 辽宁文）辽宁文） （3）设nS为等比数列 na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】 B解析：选 B. 两式相减得， 3433aaa，44334,4aaaqa.- 29 -4.4.（20102010 辽宁理）辽宁理） （6）设an是有正数组成的等比数列，nS为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 37S ,则5S （A）152 (B)314 (C)334 (D)172 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由 a2a4=1 可得2411a q ，因此121aq，

47、又因为231(1)7Saqq，联力两式有11(3)(2)0qq，所以 q=12,所以5514(1)3121412S，故选 B。5.5.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【答案】C C【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaaaaa 6.6.（20102010 安徽文）安徽文）(5)设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49

48、（D）64【答案】 A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.7.7.（20102010 浙江文）浙江文）(5)设ns为等比数列na的前n项和，2580aa则52SS(A)-11 (B)-8(C)5(D)11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所- 30 -求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式8.8.（20102010 重庆理）重庆理） （1）在等比数列 na中，201020078aa ，则公比 q 的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答

49、案】A解析：8320072010qaa 2q9.9.（20102010 广东理）广东理）4. 已知na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa， 且4a与27a的等差中项为54，则5S=A35 B.33 C.31 D.29【答案】C解析：设na的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaa aa，即42a 。由4a与 27a的等差中项为54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa 37418aqa，即12q 3411128aa qa，即116a 10.10.（20102010 广东文）广东文）11.11.（20102010 山东理）山东理）- 31 -1

50、2.12.（20102010 重庆文）重庆文） （2）在等差数列 na中，1910aa，则5a的值为（A）5 （B）6（C）8 （D）10【答案】 A解析：由角标性质得1952aaa，所以5a=5二、填空题1.1.（20102010 辽宁文）辽宁文） （14）设nS为等差数列na的前n项和，若36324SS，则9a 。解析：填 15. 31613 23326 56242SadSad,解得112ad ，91815.aad2.2.（20102010 福建理）福建理）11在等比数列 na中,若公比q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式na 【答案】n-14【解析】由题意知111416

51、21aaa，解得11a ，所以通项na n-14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。3.（20102010 江苏卷）江苏卷）8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y 时，解得2kax ，- 32 -所以1135,164 1212kkaaaaa 。三、解答题1.1.（20102010 上海文）上海文）21.(21.(本题满分本题满分 1414 分分) )

52、本题共有本题共有 2 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 个小个小题满分题满分 8 8 分。分。已知数列 na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na 是等比数列；(2)求数列 nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1) 当n1 时，a114；当n2 时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa ，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：151156nna ，得151 156nna ，从而1575906nnSn(nN N*)；由Sn1Sn，得15265n，562l

53、og114.925n ，最小正整数n152.2.（20102010 陕西文）陕西文）16.（本小题满分 12 分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解 （）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得121d1 812dd，解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知2ma=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n=2(1 2 )1 2n=2n+1-2.3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （18） （本小题满分 12 分

54、）已知na是各项均为正数的等比数列，且- 33 -1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列 nb的前n项和nT。【解析解析】本题考查了数列通项、前本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。（1 1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于1a与与d的方程求得的方程求得1a与与d，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。（2 2）由（）由（1 1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BNBN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分的通项公

55、式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。4.4.（20102010 江西理）江西理）22. （本小题满分 14 分）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(b0 由 a2+a716.得12716ad 由3655,aa得11(2 )(5 )55ad ad 由得12167ad将其代入得(163 )(163 )220dd。即22569220d24,0,2,11 (1) 221ndddann 1又代入得a （2）令121121,2nnnnnnnbcaccc accc则有两式相减得111111111,(1)1,22,2(2),2222

56、2,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即当时，又当n=1时，于是3411232222nnnSbbbb=234122222n-4=1222(21)426,262 1nnnnS即27. （2009 福建卷文）等比数列na中，已知142,16aa （I）求数列na的通项公式； （）若35,a a分别为等差数列 nb的第 3 项和第 5 项，试求数列 nb的通项公式及前n项和nS。解：（I）设na的公比为q由已知得3162q，解得2q （）由（I）得28a ，532a ，则38b ，532b 设 nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd 从而1

57、6 12(1)1228nbnn 所以数列 nb的前n项和2( 16 1228)6222nnnSnn- 53 -28（2009 重庆卷文） （本小题满分 12 分， （）问 3 分， （）问 4 分， （）问 5 分）已知112211,4,4,nnnnnnaaaaaa bnNa（）求123,b b b的值； （）设1,nnnncb bS为数列 nc的前n项和，求证：17nSn；（）求证：221164 17nnnbbA解：（）2344,17,72aaa，所以12317724.,417bbb（）由214nnnaaa得2114nnnnaaaa即114nnbb所以当2n时，4nb 于是1121,17,4

58、117(2)nnnncb bcb bbn 所以1217nnScccn （）当1n 时，结论21117464bb成立当2n时，有11111111|44| |17nnnnnnnnnnbbbbbbbbb b12212121111|(2)171764 17nnnnbbbbnA所以 2121221nnnnnnnnbbbbbbbb1122*211()(1)11111111717()()()(17117nnnnnnnNAA 2007200720082008 年高考题年高考题一、选择题1.（2008 天津）若等差数列na的前 5 项和525S ，且23a ，则7a ( )A.12 B

59、.13 C.14 D.15答案 B2.（2008 陕西）已知na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前 10 项和- 54 -10S等于（ ）A64 B100 C110 D120答案 B3.（2008 广东）记等差数列na的前n项和为nS，若112a ，420S ，则6S （ ）A16 B24 C36 D48答案 D 4.（2008 浙江）已知 na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaa=（ ）A.16（n 41） B.6（n 21） C.332（n 41） D.332（n 21）答案 C5.（2008 四川）已知等比数列 na中21a ，则其前 3 项的和3S的取

60、值范围是()A., 1 B. ,01,C.3, D. , 13, 答案 D6.（2008 福建)设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前 7 项的和为( )A.63B.64C.127D.128答案 C7.（2007 重庆）在等比数列an中，a28，a564， ，则公比 q 为（）A2 B3 C4 D8答案 A 8.（2007 安徽）等差数列 na的前n项和为xS若则432, 3, 1Saa（）A12 B10 C8 D6答案 B9.（2007 辽宁）设等差数列na的前n项和为nS，若39S ，636S ，则- 55 -789aaa（）A63 B45 C36 D27答案