10.圆锥曲线通径.直通高考试题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明圆锥曲线通径.直通高考试题圆锥曲线通径长公式的应用 过圆锥曲线焦点且垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径,通径是圆锥曲线特殊的焦点弦,利用通径所在直线方程易得圆锥曲线通径长的统一公式,由此直解一类高考试题.母题结构:圆锥曲线的通径长为2ep(e是圆锥曲线的离心率,p为圆锥曲线焦点到相应准线的距离).母题解析:以双曲线C:-=1为例证明:设过右焦点的直线:x=c与双曲线C交于A、B两点,将x=c代入-=1得y=通径长=|AB|=2=2ep.同理可得椭圆与抛物线的通

2、径长. 1.抛物线的通径长 子题类型:(2011年高考课标试题)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析:由|AB|=2p=12p=6ABP的面积=p2=36.故选(C).点评:抛物线的通径长=2p,抛物线C:y2=2px(p>0)的通径端点A(,p),B(,-p). 2.椭圆的通径长 子题类型:(2013年高考课标试题)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2F1F2,PF1F2=300,则C的离心

3、率为( ) (A) (B) (C) (D)解析:由|PF2|=|PF3|=2|PF1|+|PF2|=3=2ae=.故选(D).点评:椭圆、双曲线的通径长具有统一公式=;P是椭圆或双曲线上一点,则PF2F1F2PF1的中点在y轴上. 3.双曲线的通径长 子题类型:(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2是双曲线x2-3y2=3的左、右焦点,A,B两点在右支上,且与F2在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 .解析:由|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a|F1A|+|F1B|=4a+|AB|4a+(通径长)=.点评:通径是圆锥曲线最短的焦点

4、弦.这是通径的最根本的性质,对双曲线该性质只有在弦的两端点在同一支时成立,当弦的两端点在两支时,焦点弦长的最小值为2a,故双曲线的焦点弦长的最小值=min2a,. 4.子题系列:1.(2003年上海春招试题)过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是 .2.(1992年全国高考试题)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A)x2+y2-x-2y-=0 (B)x2+y2+x-2y+1=0 (C)x2+y2-x-2y+1=0 (D)x2+y2-x-2y+=03.(2006年山东高考试题)在给定的椭

5、圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)4.(2013年全国高考试题)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( ) (A)+y2=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=15.(1999年全国高考试题)设椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆离心率是 .6.(2004年安徽春招试题)已知F1、F2为椭圆+=1(a>b>0)的焦点,M为椭圆

6、上一点,MF1垂直于x轴,且F1MF2=600,则椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)7.(2009年江西高考试题)过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若F1PF2=600,则椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)8.(2013年课标高考试题)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2F1F2,PF1F2=300,则C的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)9.(2004年福建高考试题)己知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与长轴垂直的直线交椭圆于A、B两

7、点,若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) (A) (B) (C) (D)10.(2005年全国高考试题)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C)2- (D)-111.(2006年武汉大学保送生考试试题)椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则该椭圆的离心率为 .12.(2011年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设斜率为的直线l与椭圆=1(a>b>0)交于不同的两点P、Q,若点P、Q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点

8、,则该椭圆的离心率是 .13.(2009年浙江高考试题)己知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若,则椭圆的离心率是( ) (A) (B) (C) (D)14.(2013年四川高考试题)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 .15.(2014年江西高考试题)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,若

9、ADF1B,则椭圆C的离心率等于 .16.(2004年全国高考试题)椭圆y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|=( ) (A) (B) (C) (D)417.(1998年全国高考试题)椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( ) (A) (B) (C) (D)18.(1998年全国高考试题)椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( ) (A)7倍 (B)倍 (C)4倍 (D)3倍19.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)椭圆=1的焦

10、点为F1、F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么,|PF1|是|PF2|的( )倍. (A)7 (B)5 (C)4 (D)320.(2012年山东春招试题)已知椭圆+=1的左焦点是F1,右焦点是F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|:|PF2|等于( ) (A)3:2 (B)2:3 (C)9:1 (D)1:921.(2015年高考课标试题)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)1222.(2014年安徽高考试题)设F1、F

11、2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为 .23.(2008年陕西高考试题)双曲线=1的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为300的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)24.(2006年山东高考试题)在给定的双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为( ) (A) (B)2 (C) (D)225.(2011年课标高考试题)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称

12、轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ) (A) (B) (C)2 (D)326.(2005年浙江高考试题)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .27.(2008年陕西高考试题)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为300的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)28.(2012年重庆高考试题)设P为直线y=x与双曲线:-=1(a

13、>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e= .29.(2005年全国高考试题)己知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点M在双曲线上,且MF1x轴,则F1到直线MF2的距离为 .30.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知双曲线=1的焦点F1,F2,点M在双曲线上且MF1x轴,则F1到直线F2M的距离为 .31.(2005年上海高考试题)过抛物线y2=4x的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( ) (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在32.(1997年全国高中数学联赛

14、试题)过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数使得|AB|=的直线恰有3条,则= . 5.子题详解:1.解:由F(1,0),|AB|=4圆:(x-1)2+y2=4.2.解:由圆与准线相切圆的半径=p=1;又由圆与x轴相切圆心在通径端点(,1)圆:(x-)2+(y-1)2=1.故选(D).3.解:由=,=1e=.故选(B). 4.解:由c=1,=32a2-3a-2=0a=2b2=3.故选(C).5.解:由=e=. 6.解:由|MF1|=|MF2|=;又由|MF1|+|MF2|=2a=2ae=.故选(C).7.解:故选(B). 8.解:故选(D). 9.解:故选(A). 10.解:由=

15、2ce2+2e=1e=-1.故选(D).11.解:由2=k=tan=e=-1. 12.解:=e2+e=e=.13.解:由OPBF,|AO|:|OF|=|AP|:|PB|a:c=2:1e=.故选(D).14.解:由ABOPa:b=c:b=ce=.15.解:由A(c,),B(c,-)D(0,-)kAD=,k=-;又由ADF1B=1e=.16.解:由|PF1|=|=.故选(C). 17.解:由PF2x轴yP=yM=.故选(A).18.解:由PF1的中点在y轴上PF2x轴|PF2|=|PF1|=4-=7.故选(A). 19.解:故选(A).20.解:由|PF2|=4|PF1|=10-4=6|PF1|:|PF2|=3:2.故选(A).21.解:设椭圆E:+=1,则c=2,=a=4b2=12|AB|=6.故选(B).22.解:由A(c,b2)(a=1);又由|AF1|=3|F1B|B(-,-),代入E:x2+=1得:25c2+b2=9b2=椭圆E:x2+=1.23.解:由|MF2|=,MF1F2=300|MF1|=2|MF2|=2;由|MF1|-|MF2|=2a=2a=2e=.故选(B).24.解:由2=,=e=.故选(C). 25.解