材料力学-正应力计算

1、第十七章第十七章弯曲应力及强度刚度计算弯曲应力及强度刚度计算第一节第一节 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力# 纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲# 中性层和中性轴中性层和中性轴# 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律# 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为，称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力，而无剪力Q，称为，称为。 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕转过一个角度，称为弯转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。曲

2、问题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴# 中性层和中性轴中性层和中性轴xyz 中性层中性层 梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。的纵向纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等的点，正应力相等；与中性轴距离相等的点，正应力相等；M

3、yEE 2、静力学关系分析、静力学关系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000 cczcAyAAySAyydA没有轴向力没有轴向力yEE 中性轴必然通过横截面的形心中性轴必然通过横截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗弯刚度抗弯刚度zIMyzIMy横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩 mNqlMmax3000216000222 一受均布载荷的悬臂梁，其长一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度，均布载

4、荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢表查号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩 因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC （2）求最大应力）求最大应力MPa178Pa101780152. 0106 .2

5、53000681maxmax yIMzT 第二节第二节 惯性矩的计算惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 123hbIy矩形截面矩形截面100200200100zzyyP(a)(b)483310128200100121121: )(mmbhIaZ483310122100200121121: )(mmbhIbZzIMy圆形与圆环截面圆形与圆环截面3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222实心圆实心圆6424dIIIPyz空心圆空心圆44642dDIIIPy

6、z441642DIIIPyzDdzIIzAAzIIdAydAyI1222平行移轴公式平行移轴公式 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且 求求T字形截面的中性轴字形截面的中性轴 z，并求，并求截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取与截面底边相重合的两矩形，取与截面底边相重合的z 轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距轴的距离分别为：离分别为：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIII

7、yAyA整个截面的形心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为：cm31212112512IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性轴即中性轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性轴）求各组合部分对中性轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为；其形心轴为z1和和z2，它们距，它们距z轴的距离分别为：轴的距离分别为：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移轴公式，两矩形对中性轴由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：4232242321cm521221226cm841221262

8、IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII（3）求整个截面对中性轴的惯性矩）求整个截面对中性轴的惯性矩3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯曲正应力发生在截某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：面的上下边界上：ZmaxWMWZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW 例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁

9、梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉应力和压应力。最大拉应力和压应力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy5288解解1、计算、计算C截面弯矩截面弯矩RARBKNRKNRBA5 .105 . 205 . 2KNmMCMCC截面Xy例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉应力和压应力。最大拉应力和压应力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析、分析C截面

10、应力分布情况截面应力分布情况MPaIyMZClc8 .28107 .76388105 . 246max下MPaIyMZCyc17107 .76352105 . 246max上例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉应力和压应力。最大拉应力和压应力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、压应力。、求全梁的最大拉、压应力。 MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXyMPaIyMZByBy1 .46107 .76388

11、10446maxmax下MPalB2 .27107 .7635210446max4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzh/2h/2ZZylWMIhMmaxmaxmaxmax22242yhIFZQAFQ5 . 1max第四节第四节 梁的强度计算梁的强度计算# 梁的最大正应力梁的最大正应力# 梁的强度条件梁的强度条件# 举例举例一、梁的最大正应力一、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面 即最大正应力所在截面即最大正应力所在截面对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中

12、部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处轴最远处ZmaxmaxWM对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，且可能对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上。不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ5288危险截面：在最大的正弯矩截面和最大危险截面：在最大的正弯矩截面和最大的负弯矩截面。的负弯矩截面。二、梁的正应力强度条件二、

13、梁的正应力强度条件 ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷例例 图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用，许用应力应力 = 140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM3007003000M 0700

14、300R2700700qMAy由对称性可求得：由对称性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW 1401000100045532d3mm320d 例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3m解：解：1、确定危险截面、确定危险截面ABFAFBFQMKNFKNFBA5 . 35 . 8-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危险截面危险截面：A截面截面 Mmax=3kNm例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.3KN

15、q=3kN/m1m3mABFAFB危险截面危险截面：A截面截面 Mmax=3kNm2、据正应力强度条件确定截面直径。、据正应力强度条件确定截面直径。 ZmaxmaxWM323dWZ 366max31005. 3101033232mmMdmmd145例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷号工字钢，其上受均布载荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁长，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力工字钢的许用应力=100MPa,试求试求q的许可值。的许可值。PqLABZ解：解：1、确定危险截面、确定危险截面PP+qLPL+qL2/2危险截面：固定

16、端危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷号工字钢，其上受均布载荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁长，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力工字钢的许用应力=100MPa,试求试求q的许可值。的许可值。PqLABZ危险截面：固定端危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)2、据强度条件确定、据强度条件确定q ZmaxmaxWM3141cmWZ100101411025 . 25 . 22362qmkNq/3例例 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁

17、截面为，假设梁截面为b h的矩形，的矩形， h = 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？种更好？bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件 ZWM同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置时：梁倒置时：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒置强度倒置强度大一倍。大一倍。注意：注意：Z Z 轴为中性轴轴为中性轴三、梁的弯曲剪应力强度校核三、梁的弯曲剪应力强度校核 通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小或支座附近有

18、较大的载荷时，通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。 强度条件为：强度条件为： max 例：图示简支梁，材料的许用应力例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mc解：解：1、确定危险截面、确定危险截面kNFkNFBA6,54FAFB54KN-6KNFQM10.8KNmkNFkNmMQ548 .10max 例：图示简支梁，材料的许用应力例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFBkNF