第17讲 §5.1-1任意角的三角比(1)

1、第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.基础知识基础知识 一、角的概念的推广一、角的概念的推广 1.1.角的定义：角的定义：2.2.角的分类：角的分类：始边：始边：终边：终边：顶点：顶点：(1)(1)正角：正角：(2)(2)负角：负角：(3)(3)零角：零角： 平面内由一条射线绕着其端点从初始位置旋平面内由一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置所形成的图形转到终止位置所形成的图形. . O ABC 射线的端点射线的端点O O射线的初始位置射线的初始位置OA.OA.射线的终止位置射线的终止位置OB.OB.一条射线绕端点按一条射线绕端点按逆时针逆时针方向

2、旋转所形成的角方向旋转所形成的角. .一条射线绕端点按一条射线绕端点按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角. .一条射线没有旋转时所形成的角一条射线没有旋转时所形成的角. .第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.基础知识基础知识 一、角的概念的推广一、角的概念的推广 终边在坐标轴上：终边在坐标轴上：3.3.同终边的角：同终边的角：4.4.象限角：象限角：5.5.轴线角：轴线角：终边在终边在x x轴正半轴上：轴正半轴上：终边在终边在x x轴负半轴上：轴负半轴上：终边在终边在x x轴上：轴上：终边在终边在y y轴正半轴上：轴正半轴上：终边在终边

3、在y y轴负半轴上：轴负半轴上：终边在终边在y y轴上：轴上：O|360 ()kkZ |2 ()kkZ 把角的顶点置于坐标原点，角的始边与把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x x轴的正轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限象限的角，或者说这个角属于第几象限. .（当角的终边落（当角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角. .O360 ()kkZ 2 ()kkZ OO360 +180 ()kkZ (21) ()

4、kkZ O180 ()kkZ ()kkZ OO360 +90 ()kkZ 2()2kkZ OO360 +270 ()kkZ 2()2kkZ OO18090 ()kkZ ()2kkZ O90 ()kkZ ()2kkZ 第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.基础知识基础知识 (3)(3)角度与弧度的互换：角度与弧度的互换： 二、角的度量二、角的度量1.1.角度制：角度制：2.2.弧度制：弧度制：(1)(1)定义：定义：(2)(2)公式：公式： 把周角分成把周角分成360360等分，每一份叫做等分，每一份叫做1 1度的角度的角. .用用“度度”作为单位来度量

5、角的单位制叫做作为单位来度量角的单位制叫做角度角度制制. . 把弧长等于半径的弧对的圆周角叫做把弧长等于半径的弧对的圆周角叫做1 1弧度弧度的的角角. .用符号用符号radrad表示，读作弧度表示，读作弧度. .用用“弧度弧度”作为单位来度量角的单位制叫做作为单位来度量角的单位制叫做弧度弧度制制. .|lr O3602 弧弧度度O210.01745329360180=(弧=(弧度度) )OOOO360180157.3057 182 弧弧度度= =角度数角度数30O45O60O90O180O270O360O6 4 3 2 32 2 弧度数弧度数第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比

6、（任意角的三角比（1 1）三、任意角的三角比三、任意角的三角比1.1.三角比的定义：三角比的定义： 2.2.三角比的符号：三角比的符号： 锐角的三角比：锐角的三角比：1. sin;ac 2. cos;bc ABCabc3. tan;ab 4. cot.ba 任意角的三角比：任意角的三角比：Oxy ( , )P x yxyrM220OP rxy 1.sin;yr 2.cos;xr 3.tan;yx 4.cot;xy 5.sec;rx 6.csc;ry 正弦正弦余弦余弦正切正切余切余切正割正割余割余割第第1 1象限象限 第第2 2象限象限 第第3 3象限象限 第第4 4象限象限sin cos ta

7、n cot sec csc OxyOxyOxy sin csc cos sec tan cot 4 是第象限角是第象限角. .第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.基本方法基本方法 23n 、 、2.2.已知角已知角的范围，的范围，所在象限的判定：所在象限的判定： 1.1.同终边角的求法：同终边角的求法： 例例1.1.若若角的终边与角的终边与 的终边相同，则在的终边相同，则在0,20,2上终上终 边与的终边相同的角为边与的终边相同的角为 85 4 总结：总结： 先写出同终边的角，然后按条件求出角先写出同终边的角，然后按条件求出角. . 例例2.2.若若

8、是第二象限角，则是第象限角；是第二象限角，则是第象限角；2 3 是第象限角；是第象限角；总结：总结： (1)(1)直接法：直接法：求出求出 的范围，分类讨论的范围，分类讨论. . n 把各象限均分把各象限均分n n等份等份, ,从从x x轴的正向的上方起，轴的正向的上方起，依次将各区域标上依次将各区域标上、，并循环一周，则，并循环一周，则原原来是第几象限的符号所表示的区域即为来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN(nN* *) )的终边的终边所在的区域所在的区域. . n Oxy (2)(2)几何法：几何法：第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.基

9、本方法基本方法 3.3.扇形弧长、弦长、面积的求法：扇形弧长、弦长、面积的求法： 弧长、弦长、面积的求法：弧长、弦长、面积的求法： 画出图形，利用条件和弧长公式、扇形面积公式，解画出图形，利用条件和弧长公式、扇形面积公式，解三角形求解三角形求解. . 4.4.三角比的求法：三角比的求法： 在角的终边上取一点在角的终边上取一点P(x,yP(x,y) )，求出，求出r r，判定角的范围，判定角的范围，再用定义求值再用定义求值. . 例例3 3 一个扇形一个扇形 的面积是的面积是1cm1cm2 2, ,它的周长是它的周长是4cm4cm，则中，则中心角为弧度，弦长心角为弧度，弦长ABAB= =. .

10、AOB总结：总结： 练习：两弧度的圆心角所对弦长为练习：两弧度的圆心角所对弦长为2 2，这个圆心角所夹的，这个圆心角所夹的扇形的面积为扇形的面积为. . 第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.常用公式常用公式 6.6.扇形面积公式：扇形面积公式：1.1.同终边角的公式：同终边角的公式：2.2.三角比公式：三角比公式：3.3.角度与弧度互换公式：角度与弧度互换公式：4.4.圆心角公式：圆心角公式：5.5.弧长公式：弧长公式：O360 ()kkZ 2 ()kkZ 1.sin;yr 2.cos;xr 3.tan;yx 4.cot;xy 5.sec;rx 6.

11、csc;ry O10.01745329180 =(弧=(弧度度) )OOO180157.3057 18 弧弧度度= =|lr |lr 180n rl 211|22Slrr 2360n rS 第第1717讲讲 5.1-15.1-1任意角的三角比（任意角的三角比（1 1）.例题讲解例题讲解 例例4 4已知角已知角=45O，找出，找出 - -720O0O内所有与内所有与同终边的角同终边的角.例例5 5若角若角是第二象限角，则角是第二象限角，则角2的终边落在的终边落在_.例例6 6如图如图, ,、分别为终边落在分别为终边落在OMOM、ONON位置上的两个角，位置上的两个角，且且=30O,= =300O.(1)求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合；求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合；(2)求终边落在阴影部分，且在求终边落在阴影部分，且在0,2内所有角的集合内所有角的集合.例例7 7一扇形的周长为一