解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

1、第三章平面与空间直线§3.1平面的方程1 .求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1,_1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量1,0,2的平面(2)通过点Mi(1,5,1)和M2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面;(3)已知四点A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与AABC平面垂直的平面。解：(1);M1M2=2,2,1,又矢量1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：4x-3y2z-7-0(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即0,0,1

2、与所求的平面平行，又M1M2=2,7,-3,平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x-1)-2(y+5)=0,即7x-2y17=0。(3) (i)设平面n通过直线AB,且平行于直线CD:AB=Y,51,CD=-1,0,2从而n的参数方程为：一般方程为：10x+9y+5z-74=0。(ii)设平面n'通过直线AB,且垂直于AABC所在的平面二AB=Y,5,-1,ABAC=-4,5,-1父0,-1,1=4,4,4=41,1,1均与冗'平行，所以n'的参数式方程为：一般方程为：2xy-3z-2=0.2 .化一般方程为截距式与参数式：二：x2y。z4=0

3、.解：n与三个坐标轴的交点为：(-4,0,0),(02,0),(0,0,4),所以，它的截距式方程为：-=1.-4-24又与所给平面方程平行的矢量为：4,2,0,4,0,4,二所求平面的参数式方程为：3.证明矢量v=X,Y,Z平行与平面Ax+By+Cz+D=0的充要条件为：AXBYCZ=0.证明：不妨设A#0,则平面Ax+By+Cz+D=0的参数式方程为：BC故其方位矢量为：_B,1,0,_C,0,1,AA从而v平行于平面Ax+By+Cz+D=0的充要条件为：.,BC.v,工,1,0,%0,1共面uAA=AXBYCZ=0.4 .已知连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平面

4、7x+4yz1=0,求B点的z坐标.解：AB=-3,2,5z而AB平行于7x+4yz1=0由题3知：(4)父7+2父4(z+5)=0从而z=18.5 .求下列平面的一般方程.通过点M1(2,-1,1)和M2(3,2,1)且分别平行于三坐标轴的三个平面；过点M(3,2,3)且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5x+y-2z+3=0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；已知两点M1(3,-1,2JM2(4,-2,-1)求通过M1且垂直于M1,M2的平面；原点0在所求平面上的正射影为P(2,9,-6);求过点M1(3,5,1)和M2(4,1,2)且垂直于平面x8y+3z1=0的平面.x-2y

5、+1z-1解：平行于x轴的平面方程为110=0.即z1=0.100同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z1=0,x+y-1=0.-2-3 c19设该平面的截距式方程为+-=1,把点M(3,2,-4M弋入得c=-必故一般方程为12x 8y 19z 24 =0 .若所求平面经过 X轴，则(0,0,0)为平面内一个点fc,1, -2 )和a0,0为所求平面的方位矢量,x -0 y -0 z -0.点法式方程为512 =0100一般方程为2 y z = 0.同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为 2x+5z=0,x5y = 0.MiM 2 = 41,3)MiM2垂直于平面 几，.该平面的法向量

6、 ;=1,1，与，平面已通过点M1 (3-1,2),因此平面n的点位式方程为(x 3)(y+1 )3(z2 )=0.化简得 x-y-3z 2=0.(5) op - 29, -6 上cos .: = ,cos :11则该平面的法式方程为96二一 ,cos 二 一 一.1111296:一 x - y - z -11 =0.111111既 2x 9y -6z -121 =0.(6)平面 x-8y+3z-1 = 0 的法向量为 n=11,-8,3,M1M2 =；1,6,1),点从 4,1,2写出平面的点位式方程为x -411y -1-B6z 2c-8 33 = 0 ,则 A = -26,611=2,C

7、 =3=14,D=-26父4+2+28=74,1则一般方程Ax+By+Cz+D=0,即：13x-y-7z-37=0.6.将下列平面的一般方程化为法式方程。解：；D=-3.二将已知的一般方程乘上九=.得法式方程工-2L+4L-=0.,3030<30.30.301，、-，1一，、(2尸D=1.，九=-.a将已知的一般方程乘上九=-.得法式方程、2.2111c一1.2广,2=。.(3)丫D=2.二九=1.二将已知的一般方程乘上人=1.得法式方程x2=0.,f八-1r1.1(4.,D=0.，=.即九=或九=999或O-Z7一9十y4一9114将已知的一般万程乘上九=或九=.得法式方程为一x999

8、447-x_y_z=0.9997.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。1236_解：1Q=352=.化为法式方程为一x+y+z5=0原点指向平面冗的单位法77772362336矢重为U=/一，一,一；,匕的万向余弦为cosa=，cosp=，cosf=一.原点0到平面几J77；777的距离为P=-D=5.1,_1222=21.九=.化为法式方程为-x+yz7=0原点指向平面冗的单位法3333，一.0'1221a22矢重为n=3,一,它的万向余弦为cosa=,cosB=,cos'=.原点。到333333平面n的距离p=九D=7.第20页8.已知三角

9、形顶点A(0,7,0),B(2,1,1),C(2,2,2).求平行于l_ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：设AB=a,AC=b.点A(0,7,0).则a=2,6,1,b=2,9,2写出平面的点位式方程xy+7z261=0设一般方程AxByCzD=0.A=3.B=2,C=6,D=14:二0.nrt1-则1=.p-'D=2.7相距为2个单位。则当p=4时D=28.当p=0时D=0.二所求平面为3x2y+6z-28=0,和3x2y+6z=0.9.求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c=-1:3:2的平面。解：设a=x,b=3x,c=2x

10、,7abc。0.二设平面的截距方程为x+-y+-=1.abc即bcxacyabz=abc.又.原点到此平面的距离d=6,I-abc=6.2222222.bcacabx1，所求方程为x+Y+z=7.3210 .平面x+?+z=1分别与三个坐标轴交于点A,B,C,求LABC的面积。abc解A(a,0,B(0,b,0),C(0,0,c)AB-f-a,b,0?,7C=1-a,0,c),AB黑AC=bc,ca,ab;AB黑AC=Jb2c2+c2a2+a2b2.SLABC=-Jb2c2+c2a2+a2b2211 .设从坐标原点到平面的距离为。求证-11/1-1二1证明：由题知:乜="/匕丁/12

11、.22Yabc从而有1111T=-2'.pabc§3.2平面与点的相关位置1,计算下列点和平面间的离差和距离：(1)M(-2,4,3),冗：2xy+2z+3=0；(2)解:M(1,2,-3),n:5x-3y+z+4=0.将兀的方程法式化，得：212.八x+y-z-1=0,333-2121故离差为:d(M)=(_)父(_2)+_父4_父3_1=_,33331M到冗的距离d=|6(M)=-.(2)类似(1),可求得5634c巩M)=+/+，0r=00，.35.35.35.35M到冗的距离d=|6(M)=0.2.求下列各点的坐标：(1)在y轴上且到平面2+2y2z2=0的距离等于4

12、个单位的点；(2)在z轴上且到点M(1,-2,0)与到平面3x2y+6z9=0距离相等的点；(3)在x轴上且到平面12x16y+15z+1=0和2x+2yz1=0距离相等的点。解：(1)设要求的点为M(0,y0,0)则由题意二y0-1=6=y。=一5或7.即所求的点为(0,-5,0)及(0,7,0)。(2)设所求的点为(0,0,z0)则由题意知：由此，z0=-2或-82/13。13故，要求的点为(0,0,2)及(0,Q82)。(3)设所求的点为(x0,0,0),由题意知：由此解得：x0=2或11/43。所求点即(2,0,0)及(11/43,0,0)。3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),

13、A(3,5,3),B(2,11,5),C(1,1,4),计算从顶点S向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：所以，高h =-6-2 4 54.求中心在C(3,-5,2)且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面兀：2x-y3z+11=0的距离，它为:2 3 5 6 11,1428-=204 ,14所以，要求的球面的方程为:_22_2_(x-3)(y5)(z2)=56.即：x2+y2+z2-6x+10y+4z18=0.5 .求通过x轴其与点M(5,4,13日目距8个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为By+Cz=0.它与点M(5,4,13)相距8个单位，从而

14、4B 13CB2 C2=8.二 48B2 -104BC -105C2 =0.因此(12B -35C 4 4B +3C )=0.从而得12B35C=0或4B+3C=0.于是有B:C=35:12或B:C=3:(-4).，所求平面为35y+12z=0或3y4z=0.6 .求与下列各对平面距离相等的点的轨迹(1) 3x+6y-2z-7=0和4x3y5=0;9x-y2z-14=0和9x-y2z6=0.“，、1八八八一八解：:(3x+6y-2z-1)=0“11.令-3x6y。2z71=g4x-3y-5化简整理可得：13x51y+10z=0与43x+9y10z70=0.对应项系数相同，可求D'=D1

15、 +D22-14 6，-，、=-4，从而直接写出所求的方2程：9x-y2z-4=0.9判别点M(2-11)和N(12-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内,还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？(1) :3x_y+2z_3=0与n2:x_2y_z+4=0(2) 1:2xy+5z1=0与兀2：3x2y+6z1=0解：(1)将 M (2 -1 1), N (1 2 -3)代入，得:612-303- 2-6-3 022-14=70再代入叫，得：i、1_434=40,二MN在n2的同侧,二MN在相邻二面角内(2)将 M (2 -1 1) N (1 2415-1-90-3)代入。，得：2-2-

16、15-1-80则MN在n1的异侧。662-1=130再代入叼，得：«3-4-18-1=20：二0则MN在冗2的异侧二MN在对顶的二面角内10试求由平面g：2xy+2z3=0与冗2：3x+2y6z1=0所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2,-3)解：设p（xyz）为二面角的角平分面上的点，点p到冗1n2的距离相等2x-y 2z - .22 12 223 _|3x 2y-6z-1| ：/32 22 62化简得5x 3y-32z-19 = 0(1) 23x-y-4z-24 = 0(2)把点p代入到n1冗2上,I ：二 0、：2在（1）00）代入''台1 A 0

17、占2 A 0。在（2）上取点（0 0-6)代入兀/2, 6； <06； a 0二（2）为所求，解平面的方程为：3x - y -4z-24 =03.3两平面的相关位置(1) 别下列各对直线的相关位置:(1)xx +2y -4z +1 = 0与 4(2)2x -y 2z5=0与 x+3yz1 = 0;(3)9 _6*+2丫-42-5=0与9乂+3丫-62-3=0。5,、一11,八解：(1) < 1:2:(-4)= : :(1),4 2 : 2:(-1): (-2) #1:3:(1),(3) v 6:2:(=9:3: (6), 二；(1)中的两平面平行(不重合)；(2)中两平面相交；(3

18、)中两平面平行(不重合)。2.分别在下列条件下确定l,m,n的值:(1)使(l3)x+(m+1)y+(n3)z+8=0和(m+3)x+(n9)y+(l3)z16=0表示同一平面；(2)使2x+my+3z_5=0与lx6y6z+2=0表示二平行平面;(3)使lx+丫一32+1=0与7*+2丫一2=0表示二互相垂直的平面。解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：71337从而：1=一，m=一,n=一。999(2)欲使所给的二方程表示二平行平面，则：所以：1=y,m=3。(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：,1所以：1二一1。73 .求下列两平行平面间的距离：(1) 19x4y+8z+

19、21=0,19x4y+8z+42=0；(2) 3x+6y2z7=0,3x+6y2z+14=0。解：(1)将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1。(2)同(1)可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4 .求下列各组平面所成的角：(1) x+y-11=0,3x+8=0；(2) 2x3y+6z12=0,x+2y+2z7=0。解：(1)设/：x+y11=0,2：3x+8=0，、二，、3-./(/，/)=二或二。44%：x +2y +2z7 =0设兀1：2x-3y+6z12=0,8181O21/(n1,n2)=COS或/(。，兀2)=n一COS215 .求下列平面的方程：(1)通过点M1(0

20、,0,1)和M2(3,0,0与坐标面xOy成600角的平面；(2)过z轴且与平面2x+yJ5z7=0成600角的平面解设所求平面的方程为-+1+=1.3b1又xoy面的方程为z=0,所以cos60。=3解得b=±,所求平面的方程为20即x-26y3z-3=0设所求平面的方程为 Ax + By = 0;贝U cos6002A B_ . A2 B2 . 4 1 5222B3A2+8AB-3B2=0,.A=B或A=-3B3，所求平面的方程为*+3丫=0或3*-丫=0.§ 3.4 间直线的方程1 .求下列各直线的方程:(1)通过点A(3,0,1)和点B(2,5,1)的直线;(2)通

21、过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面明：(i=1,2)的直线；(3)通过点M(15,3)且与x,y,z三轴分别成60：45：120。的直线；(4)通过点M(1,0,-2)且与两直线x二='=二二和)=义二1=_z>垂直的直线;11-11-10(5)通过点M(2,3,5)且与平面6x-3y-5z+2=0垂直的直线。解：(1)由本节(3.46)式，得所求的直线方程为：x3yz-1x3yz-1即：=-=,亦即=。5-501-10(2)欲求直线的方向矢量为:所以，直线方程为：x-x0y - yoB1C1B2C2A1A2z -z0A1B1AB2(3)欲求的直线的方向矢量为:os6

22、0 ,cos45 , cos120口 1 版 1J = 3 2,2,2,x 1故直线方程为：人1z -3 o-1(4)欲求直线的方向矢量为:1,1,_1卜1,_1,0=_1,_1,_2,所以，直线方程为:x -1 y(5)欲求的直线的方向矢量为:11(6,-3, -5?所以直线方程为:x -26y -3 z 5=o-3-52 .求以下各点的坐标:x 1(1 )在直线x-2解：(1 )设所求的点为M(x,y,z),则:z8z8上与原点相距25个单位的点;3x-y-4z+12=0-y与点P(2,0-1)对称的点。、2x+y2z+3=0又x2y2z2=252即：(12t)2(8t)2_2_2+(8+

23、3t)=25,解得：t=4或627所以要求的点的坐标为:1176130(9,12,20),(-)o(2)已知直线的方向矢量为：1,一1,一4米2,1,-2=6,-6,3,或为(2,-2,1),过P垂直与已知直线的平面为：2(x-2)2y+(z+1)=0,即2x-2yz-3=0该平面与已知直线的交点为(1,1,3),所以若令P'(x,y,z)为P的对称点，则:1=u2,x=0,y=2,z=7,即P(0,2,7)。3.求下列各平面的方程：(1)通过点p(2,0,1),且又通过直线x1=y-=三二2的平面；2-13(2)通过直线士心=Y13=4上1且与直线1-5-1平行的平面；x-1y2z-

24、2一(3)通过直线=1一=且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面；2-32一.5x+8y3z+9=0-，一(4)通过直线,y向三坐标面所引的三个射影平面。2x-4y+z-1=0解：(1)因为所求的平面过点p(2,0,1)和p'(1,0,2),且它平行于矢量2-1,3,所以要求的平面方程为：即x十5y十z1=0。(2)已知直线的方向矢量为12,1,1卜(1,2,1=-1,3,5,二平面方程为：即11x2yz-15=0(3)要求平面的法矢量为(2,-3,2)x(3,2,-1=-1,8,13),平面的方程为：(x-1)-8(y+2)-13(z-2)=0,即x-8y-13z+9=0。(4)由

25、已知方程5x+8y-3z+9=02x-4y+z-1=036y-11z+23=0,9x-z+7=0,11x-4y+6=0此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：2x+y-z+1=0x+z6=0(1),(2)3x-y-2z-3=0(2x-4y-z+6=0'x+y-z=0x=2解：(1)直线的方向数为:二射影式方程为:32x=-z-551-1-1-1-2-23-1=(-3):1:(-5)标准方程为:52x-5方向余弦为:cos-3z-51z,5y95153二一5,35-135(2)已知直线的方向数为:射影式方程为:即Jiy二-z639=

26、-z-42-2-59-53+,35_535-'44z-'43z-4-24-418，-4标准方程为：立69y一二二z,-'1一二1v135'=4:3:(-4),、，.一、.-1_4方向余弦为：cosot=±=+,.41.414cos =_ 1.414±74T °（3）已知直线的方向数为:,射影式方程为:二2-2-1-1=0：(_1)：(_1) = 0：1：1 , 、一 x-2标准式方程为：fy_2-z一z )1方向余弦为：cos，0,1=±=.2cos5.一线cos2，" cos2 :(1)x -3 y 4(2)-

27、2 x3 一-7=3 与 4x_2y_2z=3； 3y-2=：与 3x -2y +7z =8 ；的角分别为?P：'.证明si沁+s2i年+幼书+cos2y=1,1sin2"+1sin2P+1sin2¥=1，即sin2，"sin2:，sin2=2.§ 3.5 线与平面的相关位置1 .判别下列直线与平面的相关位置：(3)5x3y+2z5=0一与4x-3y+7z-7=0;、2xyz1=0(4)y=2t+9与3x4y+7z10=0。二9t-4解：（1）丁（2）父4+（7）父（2）+3父（2）=0,而43-2(-4)-20-3=17=0所以，直线与平面平行

28、。(2)丫3x32x(2+17x7#0一.一,、一3-27所以，直线与平面相交，且因为3=7,3-27二直线与平面垂直。(3)直线的方向矢量为：fc,-3,2x2,_1,_l=5,9,1),丫4x5-3x9+7x1=0,而点M(_2,_5,0)在直线上，又4x(-2)3父(-5)7=0,所以，直线在平面上。(4)直线的方向矢量为1,-2,9,二直线与平面相交。xy-1z-1.2.试验证直线1：=-=与平面n：2x+y-z-3=0相交，并求出匕的交点-112和交角。解：2(-1)11-12=-3:0二直线与平面相交。x=-t又直线的坐标式参数方程为：4y=1+t=1+2t设交点处对应的参数为t0

29、,二t0二-1,从而交点为(1,0,-1)。又设直线1与平面冗的交角为H,则:2(-1)11-1263 .确定l,m的值，使：xTy2z.(1)直线-一-一-=£与平面lx+3y-5z+1=0平行;4 31x=2t2(2)直线y=Yt-5与平面lx+my+6z7=0垂直。z=3tF解：(1)欲使所给直线与平面平行，则须:即l=1。(2)欲使所给直线与平面垂直，则须：所以：l=4,m=8。fA1x+B1y+C1z=0<,、，、，、八4 .决定直线1 2 21和平面(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)z=0的相、A2x+B2y+C2z=0互位置。解：在直线上任取M1(

30、x1,y1,z1),有：这表明M1在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。5 .设直线与三坐标平面的交角分别为九，巴u.证明cos显见1,2,2是这条直线的方向余弦. 3 3取 t =3,则得 x =2,y =3;取 t = -3,则得 x = 0, y = -1, z = -5.故所求球面有两个：(x2 2 +(y-3f +(z+1f =9,与x2 +(y +1 )2 +(z + 5 f = 9 .九+cos2N+cos2v=2.证明设直线与X,Y,Z轴的交角分别为ot,p,¥.而直线与yoz,zox,xoy面的交角依次为儿N7那么0=土一九P=±_N¥=&#

31、177;_u.而cos2a+cos2P+cos2丁=1.''2'2'22/冗2冗2冗、cos一一九I+cos一一NI+cos-V1=1.<2)<2)<2)从而有cos2cos21-cos2.=2.6 .求下列球面的方程与平面x+2y+3=0相切于点M(1,1,-3)且半径r=3的球面；(2)与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面.x=1+1t3-2解：y=1+=t为过切点M且垂直与已知平面的直线，3z=-3+2t、3x=5+6t,y=13t,z=12t为过点M且垂直

32、于两平面的直线，将其代入第二个平面方程，得t=-2，反代回参数方程，得x=7,y=5,z=3.设球之中心为C,半径为r,则222.2C（1,2,1,r=（5+1）十（12）十（11）=49.故所求球面方程为x12y-22z-12=49.3.7空间直线的相关位置fAx+B1y+C1z+D1=01 .直线方程111的系数满足什么条件才能使：A2x+B2y+C2z+D2=0（1）直线与x轴相交；（2）直线与x轴平行；（3）直线与x轴重合。解：（1）所给直线与x轴相交uxx0使Ax0+D1=0且A2x0+D2=0AD1一一u=0且A1,A2不全为零。a2d22 2);x轴与平面A1x+B1y+C1z+

33、D1=0平行又x轴与平面A2x+B?y+C?z+D2=0平行，所以即A1=A2=0,但直线不与x轴重合,D1,D2不全为零。(3)参照(2)有A1=A2=0,且D1=D2=0。2 .确定九值使下列两直线相交:3x-y+2z-6=0一心(1)(2)与z轴;x+4y+Az-15=0z-1,.=与x+1=y=1=z。解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：从而九=5。（2）若所给二直线相交，则从而：=5。43 .判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。(1)卜2y +2z = 0 与；x + 2y z 11 = 0、3x+2y

34、6=02x + z_14=0(2)x-3丁y 8 z 3 匕 x 3二与-11-3(3)x =t(4) y =2t +1 与z = t 2Jx -1y -417z 2-5解：(1)将所给的直线方程化为标准式，为：(-2):3:4=2:(-3):(-4)二直线平行。一，33又点(一，一,0)与点(7,2,0)在二直线上,24，二矢量11 5 '3 ,0：平行于 .2 4 ,直线所确定的平面，该平面的法矢量为:-2,3,4日115 c,-,02 4= -5,22,-19,从而平面方程为：5(x -7) -22(y -2)+ 19(z0) =0 ,即 5x -22y + 19z +9 = 0

35、。3+3 8+7(2)因为 = 3-1-323-61= -270 丰 0 ,4直线是异面的。直线的距离:d陶-1介-3,2,4：丫62 +152 +321 3(3)因为 = 1 24 70-1=0,5但是：1: 2: (-1) w 4: 7: (-5)所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为,2 -1x 4,7-51= 1-3,1-11,二平面的方程为：3x y + z + 3。x -34.给定两异面直线： 2z -1 x 1 y - 2z，试求它们的公垂线方程。1解：因为：2,1,0)'1,0,1)-；1,2一1),二公垂线方程为:x-2y+5z-8=02x+2y-2z-2=0

36、x2y+5z8=0x+y-z-1=05.求下列各对直线间的角x -1 y 2(1) - =±z 16z-5x与一223x-4y 2z=0 一与2x + y 2z =0Nx+ y-6z-2 = 0Iy-3z + 2=0解(1) cos - _x12x/2yy2zz2y；z； . x；y2z26 54 12=±- -一、9 36 4, 4 81 3672=±一 77e=arccos72或arccosT?7777'3x-4y-2z=02x+y2z=0的对称式方程为:8=三10211(2)126.和d'分别是坐标原点到点M(a,b,c)和M'(a：

37、b：c)的距离，证明bbcc+dd,直线MM'通过原点OM-ta,bc,OM'=a：b：c',OM，OM'=aa'+bb'+cc',而OM-O=MO"McosOOMlOM'')=dd'时，必有co(sMO,；M,)OM/OM',.当aa'+bb'+cc'+dd'时，直线MM'通过原点._一_x-1y-3z7.求通过点P(1,0,2)且与平面3x-y+2z-1=0平行，又与直线=二一4-21交的直线方程.解设过点P(1,0,-2)的所求直线为它与已知平面3x_

38、y+2z_1=0平行,所以有3x_y+2z=0(1)又直线与已知直线相交，那么必共面.又有(2)由(1),(2)得 X :Y :Z =-128-1-12-1=-4:50:31而-4:50:31 =4: -2 :1一 .一x -1所求直线的方程为二-4y508.求通过点P(4,0,-1月与两直线x - y - z = 32x +4y -z = 4都相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为奴，y,z),即7x+|8y-12z=0XYZ直线1i平行于矢量n1Mn2=舟,1,1卜2,1,1=0,3,3=此3,3为直线l1的方向矢量.由于-1丰0因此令y=o解方程组得x=1,z=o点(1,o,o)为直

39、线11上的一点.x-5y直线1i的标准方程为5-1-1-3l与1i,12都相交且1i过点Mi(1,0,0)方向矢量为v1=0,3,-3.m1P,v；vX+3Y+3Z=0.X-13Y-3Z=0.X:Y:Z=30:6:-16又.30:6:-16=0:3:即v不平行v1.30:616:5:1:6,即v不平行v2.所求直线方程为：9.求与直线x2=y二1=4二3平行且和下列两直线相交的直线871,z=5x-6z=2x一4，z=4x+3z=3y+5x=2t-3x=5t10y=3t5,y=4t-7z=tz=t解在两直线上分别取两点M1(9,0,39)M2(0,-3,-4J第一条直线的方向矢量为丁0,1,0

40、,第二条直线的方向矢量为v213,2,6),作两平面：即x-8z303=0;8x-9y-z-31=0,将其联立即为所求直线的方程y-537=0,即2x-3y+5z+21=0-1058=0,即xyz17=0(2)(2)联立:2x-3y+5z+21=0xy_z_170这就是所要求的直线方程.x。5yz25一，10.求过点P(2,1,0)且与直线l:=2=垂直相交的直线万程32-2解设所求直线的方向矢量为v0=x,Y,z则所求直线l0可写为3X+2Y-2Z=0即50X-69Y+6Z=0(2)由(1),(2)得X:Y:Z=120:131:311所求直线lo为:§3.6空间直线与点的相关位置1直线Ax+By+Gz+D=0Ax+By+C2Z+D2=0通过原点的条件是什么?解：已知直线通过原点u故条件为D1=D2=0。2.求点p(2,3,1)到直线2x-2y+z+3=0、3x-2y+2z+17=0的距离。解：直线的标准方程为：所以，p到直线的距离为:所以所求平面方程为：7x+14y+5=0。2-9+2,2212(-2)2,202545“I6IJ033§3.8平面束1 .求通过平面4xy+3z1=0和x