现代信号处理6_滤波器组基础3_2015

1、现代信号处理 (Modern Signal Processing) 张新峰2015综合楼802室 67391587-802课件： key:2013_bjut_mdsp主要内容 两通道滤波器组各信号之间的关系 标准正交镜像滤波器组 共轭正交镜像滤波器组 共轭正交镜像虑波器的设计 仿酉滤波器组 两通道仿酉滤波器组的Lattice结构(自学） 线性相位准确重建两通道滤波器组H0(z):低通滤波器；G0(z):低通滤波器；H1(z):高通滤波器；G1(z):高通滤波器；注意到：在两通道滤波器组中，每一条支路中的滤波器的基本性能应大体一致，即上支路的滤波器H0(z)若是低通的， G0(z)也应是低通的；

2、因为H0(z)是低通，所以H1(z)是高通， G1(z)也应是高通两通道滤波器组)()()(),()()(1000zHzXzXzHzXzX)()()()( 5 . 0)()()(2/102/12/102/12/102/100zHzXzHzXzXzXzV)()()()( 2/1)()()(2/112/12/112/12/112/110zHzXzHzXzXzXzV)()()()()()(21)()(2/12/12/112/112/102/1010zXzXzHzHzHzHzVzV)()()()()(1100zGzUzGzUzX)()(),()(211200zVzUzVzU)()()()()(2120

3、10zVzVzGzGzX)()()()()()()()()(110010zXzXzHzHzHzHzGzGzX)()()()()(21)()()()()(21)(11001100zXzGzHzGzHzXzGzHzGzHzX)()()()(21)(1100zGzHzGzHzT)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF)()()()()(zXzFzXzTzX)()()(jjezeXeXzXj产生混叠失真的来源强制F(z)=0,去除了混叠失真，但还会存在幅度和相位失真)()()()()(zXzFzXzTzX)()()()(21)(1100zGzHzGzHzT如果T(z)是全通滤波器，则去除了

4、整个滤波器组的幅度失真；如果T(z)具有线性相位，则去除了整个滤波器组的相位失真。)()()(kncxnxczzTkkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF理想重构条件问题是如何选择)(),(),(),(1100zGzHzGzH来保证理想重建条件成立，四个滤波器应满足什么关系kczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF理想重构条件0)()()()()(0110zFzHzGzHzG)( )()()()(21)()()()()(21)()()()(10)(10

5、1100zXzHzHzHzHzXzGzHzGzHzXzTzXzPzP )()( 2/1)(zPzPzTkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF)()()()(,)()()()(10101010zHzHzHzHzGzGzGzGmmHGkkTmzcczm)(0021HG理想重构条件kkTmzcczm)(0021HG)()()()(det2) 1(001201011zHzHzHzHczczmkTmkkmHhG)(2)()()()(det1010zTzHzHzHzHmHG0(z), G1(z)选取的一般原则比前述最直接的形式多了分

6、式项)()()(),()()(0110zHzTzzGzHzTzzGkk)()()(),()()(0110zHzTzzGzHzTzzGkk1.若H0(z)和H1(z) 是FIR的，则T(z)也是FIR的，这样， G0(z)和G1(z) 都将变成IIR的，这是不希望的2.保证G0(z)和G1(z)为FIR的唯一途径是令T(z)为纯延迟。)(1)()(1)()(0)(11)(0zHzczGzHzczGczzTlklklG0(z)和G1(z)选取的一般原则)(1)()(1)(0)(11)(0zHzczGzHzczGlklk1, clkif)()()()(0110zHzGzHzGG0(z)和G1(z)选

7、取的原则是为了去除混叠失真；G0(z)和G1(z)选取可以和H0(z)和H1(z)无关；H0(z)和H1(z)选取的原则是为了保证准确重建。G0(z)和G1(z)选取的一般原则标准正交镜像滤波器组理想重构条件)()(),()(0110zHzGzHzG令最简单的方法，给定低通原型滤波器H(z)()(),()(010zHzHzHzH令)()(),()(0100zHzGzHzG)()()()(2100zHzHzHzP)()(20zHzPkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzFkczzHzHzPzPzT)()(21)()(21)(

8、2020实际中希望四个滤波器都是FIR的；都具有线性相位；都具有较好的幅频特性。注意：PR是整个滤波器组的要求，四个滤波器满足上述要求，并不能保证PR。利用多相结构探讨正交镜像滤波器组)()()(211200zEzzEzHkczzEzEzzHzHzT)()(2)()(21)(212012020101100)(,)(nnzczEzczE)12(12021120010)()()(nnzczczEzzEzH按照给定原则选取的H1(z) 、G0(z)和G1(z)，可以实现PR，但这样的滤波器意义不大，其既无好的通带，也无好的阻带。 1110112020101)(1)(1)(1)(1)(1)(zzGzz

9、GzzHzEzEzzH111002)()()()(21)(zzGzHzGzHzT0)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF完全重构四个滤波器都具有线性相位，但这样的滤波器实用价值并不太大关于滤波器组的三点说明 1. PR不是唯一目的，要求每一个滤波器都有好的性能，这是滤波器组中间对信号处理的需要； 2. 实现PR，包含去混迭、去幅度失真和相位失真。去除了幅度失真，不意味着滤波器有好的幅频响应；去除了相位失真，不意味着滤波器有线性相位； 3. 正交镜像滤波器组，可以实现PR，但此时滤波器变成了纯延迟，无太大意义。即正交镜像滤波器组不可能同时去除幅度失真、相位失真而又具有较大的实际意义

10、。利用多相结构探讨正交镜像滤波器组)()()(211200zEzzEzH)()()()(2112001zEzzEzHzH)()()()(2112000zEzzEzHzG)()()()(2112011zEzzEzHzG)()(1111)()(2112010zEzzEzHzH1111)()()()(2021110zEzEzzGzG两通道QMFB的多相结构形式标准正交滤波器组问题的解决方案1.强调滤波器具有线性相位，去除相位失真，对幅度失真放宽，即近似实现PR -FIR QMF-一种实用的方法2.强调滤波器组具有全通特性，即去除幅度失真，不考虑相位失真，近似PR -IIR QMF,一个值得重视的方法

11、3.放弃H1(z) = H0 (z) ，改用其他关系FIR标准正交镜像滤波器设计原则：保证线性相位，允许幅度失真，但在一定条件下幅度失真尽可能小。nNnznhzH)()(1000)1()(00nNhnh)()(2/ )1(0gNjjHeeH)()(21)(2020zHzHzT2)(0120)1(212)1()() 1()(21)() 1()(21)(jNjNjgNgNjjeHeHeHHeeTFIR标准正交镜像滤波器2)(0120)1()() 1()(21)(jNjNjjeHeHeeTN为奇数时0)(,2TN为偶数时2)(020)1(2)(0120)1()()(21)() 1()(21)(jjN

12、jjNjNjjeHeHeeHeHeeT1)()(2)(020jjeHeH)1(21)(NjjeeT保留了线性相位，幅度不失真FIR标准正交镜像滤波器当N为偶数时，只要做到1)()(2)(020jjeHeH前面已证明， 按照 和H1(z)= H0(-z)确定滤波器组的关系，二者只能取纯延迟的形式，而且每个滤波器只含两项，奇数项和偶数项各取1项的形式。这样的滤波器无太大实用意义。解决办法：放弃去除失真，保留线性相位，近似做到PR。1)()(2)(020jjeHeHFIR标准正交镜像滤波器目标：设计一线性相位滤波器H0(-z) ，使其幅频响应近似满足如上的功率互补关系，从而近似实现PR1)()(2)

13、(020jjeHeH设计方法：首先确定一目标函数，它包含两部分内容，一是反应在阻带的衰减，二是反映通带相加接近于1的程度。注意：N只能取偶数！FIR标准正交镜像滤波器10 ,)1 (21deHsj201)(deHeHjj)()(1 2)(02002目标函数：实现：采用优化算法，求出要设计的滤波器，Johnston算法反映阻带内的能量，越小越好反映全带内滤波器能量和1的偏差，越小越好文献：J. D.Johnston. A filter family designed for use in quadratute mirror filter bank. Proc. IEEE ICASSP, PP29

14、1-294,1980.例题：令N=16设计一线性相位、具有近似功率互补的滤波器。基于Johnston算法，设计结果如下：h(0)= 0.0010501670=h(15) h(1)= 0.0050545260=h (14)h(2) =0.0025897560= (13) h(3) =0.027641400=h (12)h(4)= 0.0096663760 =(11) h(5)= 0.090392230= (10)h(6) 0.097798170=h (9) h(7) =0.48102840= (8)H0，H1的对数幅频响应 H0，H1的对数幅频响应之和IIR标准正交镜像滤波器组目标：去除幅度失真

15、，不考虑线性相位)()(2)()(21)(212012020zEzEzzHzHzT全通)(),(10zEzEIIR全通滤波器)(),(10zHzH如何构造？感兴趣的同学请自学该部分内容，本课程更关注的是FIR滤波器。共轭正交镜像滤波器组 正交镜像滤波器组（QMFB）不可能实现PR； 如果滤波器具有线性相位，则若实现PR，滤波器只能是纯延迟，实用价值不是太大； 若强调滤波器具有线性相位，在为偶数的情况下，可用最优化的方法设计出近似PR的滤波器组。 现考虑设计PR滤波器组。当然，各个滤波器不具有线性相位，但总的相位失真抵消。 Smith and Barnwell: 1984 Mintzer : 1

16、985几乎同时独立给出了一个PR滤波器组的设计方法共轭正交镜像滤波器组)()(10zHzG)()(01zHzHkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF)()(01zHzG)()(10)1(1zHzzHN共轭正交镜像滤波器组给定低通滤波器H0(z)，令)()(10)1(1zHzzHN)1() 1()(011nNhnhnN该式的含义：1.将z变为-z，等效于将H0(ej)将移动，所以得到的H0(-z)是 高通的；2.将Z变为z-1，等效于将h0(n)翻转变为h0(-n)；3.乘以z-(N-1)，目的是将H1(-z)变为因果的。

17、)()(10)1(1zHzzHN33221100)(zbzbzbbzH332211010)(zbzbzbbzH3021123312213010)1(1)()(zbzbzbbbzbzbzbzHzzHN例子：注意：图中的F0，F1分别为前面两通道滤波器组中的G0，G1共轭正交镜像滤波器组)()()(10110zHzzHzGN)()(01zHzG)() 1()()1()(01100nhngnNhngn)()()()(1100jjjjeHeGeHeG)()(10zHzGkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF)()(01zHzG)

18、()(10)1(1zHzzHN)()()()(21)()()()(21)(100100)1(1100zHzHzHzHzzGzHzGzHzTN1)()()()(100100zHzHzHzH)1(21)(NzzT可以实现PR1)()()()(100100zHzHzHzH)()()(100zHzHzP)()()(100zHzHzP1)()(zPzP)()(10)1(1zHzzHN)()()(*)1(10jNjjeHeeH此处的滤波器组称为“共轭正交镜像滤波器组”，即“CQMFB”，通常简称为“正交滤波器组”，或“功率互补滤波器组”定理：按CQMFB定义的P(z)是一个半带滤波器)()()(21120

19、zEzzEzPpp)()()(21120zEzzEzPpp1)()(zPzP5 . 0)(20zEp)(5 . 0)(211zEzzPp所以P(z)是一个半带滤波器推论：如果H0(z)是FIR,则P(z)一定是线性相位的。为了得到一个满足功率互补关系的H0(z) ，就需要首先设计一个半带滤波器P(z) ，并令再做谱分解，即可得到功率互补的H0(z) 。)()()(100zHzHzPh0(n)和h1(n)各自及其相互之间有如下正交性：(1) =k, k是整数(2) =k, k是整数(3) =0, k是整数共轭正交滤波器的设计首先设计一个半带滤波器HLF(z)HLF(z), p, s以/2对称，N

20、=4J-1 ，半带：1= 220*00)()()()(jjjjeHeHeHeP)()(jLFjeHeHLF|为HLF(ej)在阻带内的最大纹波值0,)(0),()(nnHnnHnHLFLFLF恒正保证恒正)(5 . 05 . 0)(zHzPLFP(z)零点分解的原则： 单位圆内， H0(z) 是最小相位系统； 单位圆外， H0(z) 是最大相位系统；混合相位)()()(100zHzHzPN=4J-1,P(z)有4J-2个零点对P(z)做谱分解由于在QMFB中，分解滤波器若具有线性相位，为实现PR，该滤波器只能为纯延迟，因此，要放弃线性相位的要求。这样，应将P(z)单位圆内的零点赋给H0(z)

21、。对P(z)做谱分解，得4J-2个零点：1212121121010)()(JJJrJrrrzPzzKzzK12100)()(JrrzzKzH1210212JrrJzKP2/1121012/JrrJzPK共轭正交滤波器的设计例：试设计一共轭正交镜像滤波器组，并给出相关过程步骤1：令N=22, p=0.45 , 用Chebyshev最佳一致逼近设计单带滤波器；步骤2：得到幅频响应非负的半带滤波器P(z);步骤3：谱分解得到CQMFB。单带及半带滤波器恒正的半带滤波器谱分解 h0(n) h1(n) g0(n) g1(n)信号分解和重建实例例：将一个正弦加白噪声的信号利用上例CQMFB实现对信号 的分

22、解，并利用G0和G1进行信号重建。仿酉滤波器组一个多输入、多输出的转移函数H(z)，其每一个元素为Hi,j(z) 表示第i个输入对第j个输出的转移函数。)()(1jHjeeHH称H (ej) 为酉矩阵。IHH)()(jjHee)()()(1*1zzzTHHHIHH)()(zzH(z)为仿酉矩阵 如果一个系统的转移函数矩阵H(z)是仿酉矩阵，则称该系统为“仿酉系统”。如果仿酉矩阵的每一个元素都是一个稳定的、因果的系统，则所表示的系统称“无损系统（lossless system）” 容易证明，共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）的调制矩阵)()()()(,)()()()(10101010zHzHzH

23、zHzGzGzGzGmmHG为什么要讨论仿酉矩阵 仿酉矩阵可以分解为一系列简单矩阵的乘积，而每一个简单矩阵仍然是仿酉矩阵。这就是说，一个仿酉系统可分解为一系列简单的仿酉子系统的级联，这就为设计仿酉滤波器组提供了新的方法，同时也引出了滤波器组的Lattice结构。 谱分解技术是设计功率互补滤波器组的一个有效方法，但不可避免的要做高阶多项式的分解，有时要高达50100阶，会引入较大的误差。调制矩阵仿酉性的证明)()()()(1010zHzHzHzHmH)()()()()()()(0110)1(1010)1(1zHzGzHzzHzGzHzzHNN)()()()(0)1(00)1(0zHzzHzHzz

24、HNNmH)()()()(0)1(0)1(1010zHzzHzzHzHNNmH)()()()()()()()(0)1(0)1(101010)1(010)1(0zHzzHzzHzHzHzzHzHzzHNNNNmmHH1)()()()(100100zHzHzHzH1001mmHH类似地可证明1001mmGG 共轭正交镜像滤波器组等效于一个仿酉系统，所以仿酉系统也具有功率互补性质。仿酉系统可实现PR，但实现PR的系统不一定是仿酉的，如双正交滤波器组。XXHGX)()()()()()()()(212110)1(10)1(00010)1(010)1(zHzzHzzHzHzHzHzzHzHzNNNNTmm

25、XX100121)1(Nz仿酉系统的多相结构)()()()()()(2111210120112000zEzzEzHzEzzEzH121211210201200101)(1)()()()()()(zzzzEzEzEzEzHzHE)()()()()()(2012001021121011zRzRzzGzRzRzzG)(1)()()()(1)()(21211201210200110zzzRzRzRzRzzGzGR)()()(zzzERPIERPkczzzz)()()(若R(z)、E(z)都是仿酉矩阵)()(zczzkER)()(zczzkRE或kczzzzzz)(det)(det)()(det)(de

26、tERERP21)(det)(detkkzzzzERkkkc21PR的充要条件两通道仿酉滤波器组的lattice结构引入原因：H0(z)是由半带滤波器P(z)作谱分解得到的。若的长度为2J，则P(z)的长度为4J-1，这就需要求解一个阶次为的多项式。当J较大，特别是当P(z)有较多的零点位于单位圆上时，这一分解将会出现较大的误差，从而影响H0(z)和H1(z)的功率互补性质。（自学）以下文献给出了利用最优化方法直接求解CQMFB的Lattice系数来设计的方法，从而避免了谱分解运算。P.P.Vaidyanathan, P.Q. Hoang. Lattice structures for opt

27、imal design and robust implementation of two-channel perfect reconstruction filter banks. IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Proc., 36(1):81-94, 1988.两通道滤波器组中的制约关系kczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzFkczzTzF)(, 0)()()(kncxnx1.基本关系kczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100

28、zGzHzGzHzF)()()()(0110zHzGzHzG2.为消除混叠失真，选择)(1)()(1)(0)(11)(0zHzczGzHzczGlklk或3.标准正交滤波器组（QMFB）)()(01zHzHH0(z)低通， H1(z)高通若要求PR且为FIR滤波器H0(z) ， H1(z)均是只能含有两个系数的纯延迟形式解决的办法：取近似PR，用优化方法设计近似PR的H0(z) ，用的是Johnson方法。同时，设计出的滤波器具有线性相位。4.共轭正交滤波器组（CQMFB）)()(10zHzG)()(01zHzG)()(10)1(1zHzzHN1)()()()(100100zHzHzHzH做到

29、了PR，四个滤波器都是FIR的，但都不是线性相位的相位失真是指总的效果 尽管CQMFB的每一个滤波器都不是线性相位的，但由于其PR性能，最终还是去掉了相位失真。x(n) = cx(n n0 ) 实际工作中，特别是语音、通讯、图像处理中，希望滤波器是线性相位的，从而保证在滤波器组内部各点处的中间信号也不发生相位失真。因此，希望： 它具有PR性能； 四个滤波器都具有好的通带和阻带； 四个滤波器都具有线性相位。CQMFB)()(10zHzG)()(01zHzG)()(10)1(1zHzzHN1)()()()(100100zHzHzHzH1)()()()(111111zHzHzHzH0)()()()(

30、110110zHzHzHzH还可得到1)()()()(100100zHzHzHzH1)()()()(111111zHzHzHzH0)()()()(110110zHzHzHzHkczzGzHzGzHzT)()()()(21)(11000)()()()(21)(1100zGzHzGzHzF)(1)()(1)(0)(11)(0zHzczGzHzczGlklkQMFB、CQMFB的本质： H0(z) ， H1(z)， G0(z) ， G1(z)()(01zHzH)()(10)1(1zHzzHNQMFB： CQMFB： 来自同一低通原型滤波器 H(z) ，四个滤波器具有相同的结构可否在每一个滤波器都具有线性相位的情况下做到PR？1. 放弃 的约束条件2. 放弃H0(z) 和H1(z)的功率互补性质 )()(01zHzH关于放弃功率互补性质的说明 假设 H0(z) ， H1(z)，：FIR，线性相位，长度为N)()()()(1)1(10