高中所有数学公式、高考数学椭圆与双曲线地经典性质50条、三角函数公式大全

1、实用标准文案高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系 : x A x CU A , x CU A x A . ? A An2 集合 a1,a2,L ,an 的子集个数共有 2n n个；真子集有 2 1个；非空子集有 2 1个；非空的真子集n有2 2个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2f (x) ax bx c(a 0) ;(2) 顶点式2f (x) a(x h) k (a 0) ;（当已知抛物线的顶点坐标 (h, k) 时，设为此式）(3) 零点式 f (x) a( x x1 )(x x2 )(a 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( x1,0),( x2,0)

2、时，设为此式）2f (x) a(x x ) (kx d),(a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的 （4 ）切线式： 0横坐标为 x0 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式 ;原结论 反设词 原结论 反设词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 n 个 至多有（ n 1）个小于 不小于 至多有 n 个 至少有（ n 1）个对所有 x ，成立 存在某 x ，不成立 p 或 q p 且 q对任何 x ，不成立 存在某 x ，成立 p 且 q p 或 q6 四种命题的相互关系 (下图):（ 原命题

3、与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 .）原命题 互逆 逆命题若则 若则互 互互 为 为 互否 否逆 逆否 否否命题 逆否命题若非则非 互逆 若非则非充要条件： (1) 、 p q，则 P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件；（2 ）、 p q，且 q > p ，则 P 是 q 的充分不必要条件；文档实用标准文案(3) 、p > p ，且 q p，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p > p ，且 q > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性 :增函数： (1) 、文字描述是： y 随 x 的增大而增大。（2 ）、数学符

4、号表述是：设 f （x）在 x D 上有定义，若对任意的 x1, x2 D,且x1 x2 ，都有f ( x ) f ( x )1 2成立，则就叫 f（x）在 x D 上是增函数。 D 则就是 f（x）的递增区间。减函数： (1) 、文字描述是： y 随 x 的增大而减小。（2 ）、数学符号表述是：设 f（x）在 x D 上有定义，若对任意的 x1, x2 D,且x1 x2 ，都有f ( x ) f (x )1 2成立，则就叫 f（x）在 x D 上是减函数。 D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质： (1) 、增函数 + 增函数 =增函数；（2）、减函数 +减函数 = 减函数；(3) 、增

5、函数 -减函数 = 增函数； (4) 、减函数 -增函数 = 减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1) 设 x1,x2 a,b ,x1 x2 那么f (x ) f (x ) 1 2 在 上是增函数；(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f ( x) a,b 1 2 1 2x x1 2f (x ) f ( x )1 在 上是减函数 .2(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f ( x) a,b1 2 1 2x x1 2(2) 设函数 y f (

6、x) 在某个区间内可导， 如果 f (x) 0，则 f (x)为增函数； 如果 f (x) 0 ，则 f (x)为减函数 .文档实用标准文案8 函数的奇偶性： （注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义： 在前提条件下，若有 f ( x) f ( x)或f ( x) f ( x) 0 ，则 f （x）就是奇函数。性质 ：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2 ）、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有 相同的单调区间；（3 ）、定义在 R 上的奇函数，有 f（0）=0 .偶函数：定义： 在前提条件下，若有 f ( x) f (x) ，则 f（x）就是偶函数。

7、性质 ：（1）、偶函数的图象关于 y 轴对称；（2 ）、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有 相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1) 、奇函数·偶函数= 奇函数； （2 ）、奇函数·奇函数= 偶函数；(3) 、偶奇函数·偶函数 = 偶函数； (4) 、奇函数±奇函数 =奇函数（也有例外得偶函数的）(5) 、偶函数±偶函数 = 偶函数； (6) 、奇函数±偶函数 = 非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y

8、 轴对称，那么这个函数是偶函数9 函数的周期性：定义： 对函数 f（x），若存在 T 0，使得 f（x+T ）=f （x），则就叫 f（x）是周期函数，其中， T 是 f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1) 、f （x+T ）= - f （x），此时周期为 2T ；（2 ）、 f（x+m ）=f （x+n ），此时周期为 2 m n ；文档实用标准文案(3) 、f ( x m)1f (x)，此时周期为 2m 。10 常见函数的图像：yyyyxy=ak<0 k>0a<0y=log ax0<a<1o x x 0<a<1 a>1 oo

9、x 1 1a>0y=kx+by=ax 2+bx+co xa>111 对于函数 y f (x) ( x R), f (x a) f (b x)恒成立 ,则函数 f (x) 的对称轴是a bx ;两个函2数 y f ( x a)与 y f (b x) 的图象关于直线b ax 对称.212 分数指数幂与根式的性质：m(1)n mna a （ a 0,m, n N ，且 n 1）.（2）amn1 1m n mana（a 0, m, n N ，且 n 1） .nn a a . （3） ( )（4）当 n 为奇数时，n an a；当 n 为偶数时，n n a,a 0 a |a |a,a 0.1

10、3 指数式与对数式的互化式 : logba N b a N (a 0,a 1,N 0) .指数性质：(1) 1、ap1pa； （2）、0 1mn m na （ a 0） ； (3) 、 a (a )mr s r s(4) 、 a a a (a 0,r, s Q) ； (5) 、n mna a ；指数函数：x(1) 、 y a (a 1) 在定义域内是单调递增函数；x（2 ）、 y a (0 a 1)在定义域内是单调递减函数。 注： 指数 函数图象都恒过点（ 0，1）对数性质：(1) 、 log a M log a N log a (MN ) ；（2 ）、 loga M log a N loga

11、MN；nm n(3) 、 log a b m log a b ；(4) 、 log b log bm aam； (5) 、 loga 1 0(6) 、 log a a 1 ； (7) 、loga ba b对数函数：文档实用标准文案(1) 、 y log a x(a 1) 在定义域内是单调递增函数；（2 ）、 y log a x(0 a 1)在定义域内是单调递减函数； 注： 对数 函数图象都恒过点（ 1，0）(3) 、 log a x 0 a, x (0,1)或a, x (1, )(4) 、 loga x 0 a (0,1)则x (1, ) 或 a (1, )则x (0,1)14 对数的换底公式

12、 :log NalogmmlogNa( a 0,且a 1, m 0,且m 1, N 0).对数恒等式：loga Na N ( a 0,且 a 1, N 0).nnmaam( a 0,且a 1, N 0).15 对数的四则运算法则 :若 a 0 ，a1 ，M 0 ，N 0 ，则M(1) log a (MN ) log a M log a N ; (2) loga log a log a NM N;n n nn(3) log a M n log a M (n R) ; (4) log N log N (n, m R)maam。16 平均增长率的问题（负增长时 p 0 ）：x如果原来产值的基础数为

13、N ，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值 y ，有 y N(1 p) .17 等差数列：通项公式： （1） an a1 (n 1)d ，其中 a1为首项， d 为公差， n 为项数， an 为末项。（2）推广： an ak (n k)d（3） an Sn Sn 1(n 2) （注 ： 该公式对任意数列都适用）前 n 项和： （1）n(a a )1 nS ；其中 a1 为首项， n 为项数， an 为末项。n2n(n 1)（2） 1S na dn2（3） Sn Sn 1 an(n 2) （ 注 ： 该公式对任意数列都适用）（4） Sn a1 a2 L an （ 注 ： 该公式对任意数列都

14、适用）常用性质：（1）、若 m+n=p+q ，则有 am an ap aq ；注：若 am是an, ap 的等差中项，则有 2 am an ap n、m 、p 成等差。（2 ）、若 an 、 bn 为等差数列，则 an bn 为等差数列。（3 ）、 an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和，则 Sm ,S2m Sm, S3m S2m 也成等差数列。文档实用标准文案（4 ）、ap q, aq p,则ap q 0 ；（5 ） 1+2+3+ +n=n(n21)等比数列：通项公式：（1）an n1 1 *a a1q q (n N )nq，其中 a1为首项， n 为项数， q 为公比。（2 ）推广：n

15、 ka a qn k（3 ）an Sn Sn 1 (n 2) （ 注 ： 该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1） Sn Sn 1 an (n 2) （ 注 ： 该公式对任意数列都适用）（2 ）Sn a1 a2 L an （ 注 ： 该公式对任意数列都适用）na (q 1)1（3 ）nS a q(1 )n11 q(q 1)常用性质：（1）、若 m+n=p+q ，则有 am an ap aq ；注：若 am是an, ap 的等比中项，则有2a a a n、m 、p 成等比。m n p（2 ）、若 an 、 bn 为等比数列，则 an bn 为等比数列。18 分期付款 (按揭贷款 ) ：每次还

16、款xnab(1 b)n(1 b) 1元( 贷款 a 元, n 次还清 ,每期利率为 b ).19 三角不等式：（1）若 x (0, ) ，则 sin x x tan x .2(2) 若 x (0, ) ，则1 sin x cos x 2 .2(3) | sin x | | cos x| 1.20 同角三角函数的基本关系式 ：2 2sin cos 1， tan =sincos，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos msin sin ;tan( )tan tan1mtan tan.a

17、sin b cos =2 2 sin( )a b文档实用标准文案(辅助角 所在象限由点 (a,b) 的象限决定 , tanba).23 二倍角公式及降幂公式sin 2 sin cos2 tan21 tan.2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin21 tan21 tan.tan 22 tan21 tan.tansin 2 1 cos 21 cos 2 sin 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2sin ,cos2 224 三角函数的周期公式函数 y sin( x ) ，xR 及函数 y cos( x ) ，xR(A, , 为常数，且 A 0) 的周期2T ；函

18、数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A, , 为常数，且 A 0) 的周期| | 2T .| |三角函数的图像：y y=sinxy 1y=cosx1-/23/2o-3/2 - /2-2 2x-2-3/2 - -/2 o /2 3/2 2x-1-1a b c25 正弦定理 ： 2R（R 为 ABC 外接圆的半径） .sin A sin B sin Ca 2R sin A,b 2 Rsin B, c 2R sin C a:b:c sin A :sin B :sin C26 余弦定理：2 2 2 2 cosa b c bc A ;2 2 2 2 cosb c a ca B ;2 2 2

19、 2 cosc a b ab C .27 面积定理：（1）1 1 1S ah bh ch （ ha、hb、hc 分别表示 a、b 、c 边上的高） .a b c2 2 2 1 1 1（2） S ab sin C bc sin A ca sin B . 2 2 2uu ur uuur uuur uuur12 2(3) .S (| OA | |OB |) (OA OB )OAB22Sr ,r内切圆 直角 内切圆a b ca b c斜边228 三角形内角和定理 ：在ABC 中，有 A B C C ( A B)C A B2 2 22C 2 2(A B) .29 实数与向量的积的运算律 :设、为实数，那

20、么：r r(1) 结合律：(a)=( ) a;r r r(2) 第一分配律： (+ ) a= a+ a; r rr r(3) 第二分配律： ( a + b )= a+ b. r r rr r r30 a 与b 的数量积 (或内积 )： a·b =| a | b | cos 。文档实用标准文案31 平面向量的坐标运算：r rr r(1) 设 a= (x1, y1) , b = (x2, y2) ，则 a+ b = (x1 x2, y1 y2) .r rr r(2) 设 a= (x1, y1) , b = (x2, y2) ，则 a = (x1 x2, y1 y2 ) .- bu uur

21、 uuur u uur(3) 设 A (x1, y1 ) ，B (x2, y2 ) ,则 AB OB OA (x x , y y )2 1 2 1r r(4) 设 a= (x, y), R ，则 a= ( x, y) .r rr r(5) 设 a= (x1, y1) , b = (x2, y2) ，则 a = (x1x2 y1 y2 ) .·b.32 两向量的夹角公式： rrra b x x y y1 2 1 2cos r r ( a2 2 2 2| | | |a b x y x y1 1 2 2r= (x1, y1) , b= (x2 , y2 ).33 平面两点间的距离公式：uu

22、ur u uur uu ur2 2d = | AB| AB AB (x x ) ( y y ) (A (x1, y1 ) ，B (x2, y2 ) ).A,B 2 1 2 1r r rr34 向量的平行与垂直 ：设 a= ( x1 , y1) , b = (x2, y2) ，且 b 0，则：r rr ra b x1 y2 x2 y1 0.（交叉相乘差为零）| b = a r r rr r ra ( a 0) a =0 x1 x2 y1y2 0.（对应相乘和为零）b ·buu ur u uur35 线段的定比分公式 ：设 P1( x1, y1) ，P2 (x2, y2 ) ，P(x,

23、y) 是线段 P1P2 的分点 , 是实数，且 P1P PP2，则xyx x1 21y y1 21 uu urOPuu ur uuurOP OP1 21uu ur uuur u uurOP tOP (1 t )OP 1 2（1t ）.136 三角形的重心坐标公式： ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y 1)、 B(x2,y 2 ) 、 C(x3,y 3 ) ,则ABC的重心的坐标是x x x y y y1 2 3 1 2 3G( , ) .3 337 三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为 ABC所在平面上一点，角 A, B,C 所对边长分别为 a,b,c ，则u uur uuur u

24、uur2 2 2（1） O为 ABC的外心 OA OB OC.u uur uuur uuur r （2） O为 ABC的重心 OA OB OC 0.u uur u uur uuur uu ur u uur u uur （3） O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA.uuur u uur uu ur r （4） O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0.uuur uu ur u uur（5） O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC.38 常用不等式：（1） a,b R2 2 2a b ab (当且仅当 ab 时取“ = ”号)（2） a,b Ra b2ab (当且

25、仅当 ab 时取“ = ”号 )（3）3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c（4） a b a b a b .（5） 2 22ab a b a b aba b 2 2(当且仅当 ab 时取“ = ”号)。文档实用标准文案39 极值定理 :已知 x, y都是正数，则有（1）若积 xy是定值 p ，则当 x y 时和 x y有最小值 2 p ；（2）若和 x y是定值 s，则当 x y 时积 xy有最大值（3）已知 a, b, x, y R ，若 ax by 1则有142s .1 1 1 1 by ax2 (ax by)( ) a b a b 2 ab ( a b)x

26、 y x y x y。 a b（4）已知 a, b, x, y R ，若 1 x y则有a b ay bx2x y ( x y)( ) a b a b 2 ab ( a b) x y x y40 一元二次不等式2 0( 0)ax bx c 或2(a 0, b 4ac 0) ，如果 a 与2ax bx c 同号，则其解集在两根之外； 如果 a 与2ax bx c 异号， 则其解集在两根之间 .简言之： 同号两根之外， 异号两根之间 .即：x1 x x2 (x x1 )(x x2) 0( x1 x2 )；x x1,或x x2 (x x1)( x x2 ) 0( x1 x2 ) .41 含有绝对值的

27、不等式 ：当 a> 0 时，有2 2x a x a a x a .2 2x a x a x a 或 x a .42 斜率公式 ：ky y2 1x x2 1（P1( x1 , y1) 、 P2(x2 , y2 ) ）.43 直线的五种方程：（1）点斜式 y y1 k (x x1) (直线 l 过点 P1( x1, y1) ，且斜率为 k )（2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（3）两点式y y x x1 1y y x x2 1 2 1( y1 y2 )( P1( x1, y1) 、 P2(x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ).两点式的推广

28、： (x2 x1)( y y1 ) ( y2 y1)( x x1 ) 0 （无任何限制条件！ ）x y(4) 截距式 1( a、b 分别为直线的横、纵截距， a 0、b 0 )a b（5）一般式 Ax By C 0 ( 其中 A 、B 不同时为 0).r r直线 Ax By C 0 的法向量： l (A, B) ，方向向量： l (B, A)44 夹角公式：(1)k k2 1tan | |1 k k2 1. ( l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2 x b2 , k1k2 1)(2)A B A B1 2 2 1tan | |.( l1: A1x B1y C1 0, l2 : A2

29、x B2 y C2 0, A1A2 B1B2 0 ).A A B B1 2 1 2直线 l1 l2 时，直线 l1 与 l2 的夹角是.245 l1 到 l2 的角公式：文档实用标准文案(1)tank k2 11k k2 1.( l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2 x b2 ,k1k2 1)(2)tanA B A B1 2 2 1A A B B1 2 1 2.( l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 , A1 A2 B1B2 0 ).直线 l1 l2 时，直线 l1 到 l2 的角是.246 点到直线的距离 ：d| Ax By C |0

30、02 2A B(点 P(x0, y0 ) ,直线 l ： Ax By C 0 ).47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程2 2 2(x a) ( y b) r .（2）圆的一般方程2 2 0x y Dx Ey F (2 2 4D E F 0).（3）圆的参数方程x a ry b rcossin.（4）圆的直径式方程 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0(圆的直径的端点是 A( x1,y1)、B(x2,y2).48 点与圆的位置关系：点 P(x0, y0 ) 与圆2 ( )2 2(x a) y b r 的位置关系有三种：若2 2d (a x ) (b y ) ，则 d r 点

31、P 在圆外 ;0 0d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P在圆内 .49 直 线与圆 的位置 关系 ：直 线 Ax By C 0 与圆2 ( ) 22(x a) y b r 的位 置关系 有三种(Aa Bb Cd ):2 B2Ad 0; d r 相切 0; d r 相交 0 .r 相离50 两圆位置关系的判定方法 :设两圆圆心分别为 O1，O2 ，半径分别为 r1 ，r2， O1O2 d ，则：外离 4条公切线d r1 r ;2外切 3条公切线d r1 r ;2r1 r d r r ;相交 2条公切线2 1 2内含 内切 相交外切相离d r1 r 内切 1 ;条公切线20 d r r .内

32、含 无公切线1 2o ddd r2-r1d r1+ r251 椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b的参数方程是x acosy b sin. 离心率e2c b12a a，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离 (焦准距 )p2bc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2b2g . a52 椭圆2 2x y2 2 1( 0)a ba b焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 :2aPF e x a ex c1 ( )，2aPF e x a ex ；2 ( )；cF PF2 1S c | y | b tan 。F PF P1 2253 椭圆的的内外部 :（1 ）点 P( x

33、0 , y0 )在椭圆2 2x y2 2 1( 0)a ba b的内部2 2x y0 02 2 1a b.文档实用标准文案（2 ）点 P(x0 , y0) 在椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b的外部2 2x y0 02 2 1a b.54 椭圆的切线方程 :(1) 椭圆2 2x y2 2 1( 0)a ba b上一点 P( x0 , y0 )处的切线方程是x x y y0 02 2 1.a b（2）过椭圆2 2x y2 2 1外一点 P( x0 , y0) 所引两条切线的切点弦方程是a bx x y y0 02 2 1.a b（3）椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b与直

34、线 Ax By C 0 相切的条件是2 2 2 2 2A a B b c .55 双曲线2 2x y2 2 1( 0, 0) a ba b的离心率e22c b 1a a，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离 (焦准距 )p2bc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2b2g . a焦半径公式2aPF1 | e(x ) | | a ex|，c2aPF2 | e( x) | |a ex|c，两焦半径与焦距构成三角形的面积F PFS b 。2 cot 1F PF1 2256 双曲线的方程与渐近线方程的关系 :2 2x y(1 ）若双曲线方程为 12 2a b渐近线方程：2 2x y2

35、2 0a b by x . ax yb(2) 若渐近线方程为 y x 0a a b双曲线可设为xa222y2b.2 2x y(3) 若双曲线与 1有公共渐近线，可设为2 2a b2x2ayb22（ 0，焦点在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上） .(4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。57 双曲线的切线方程 :(1) 双曲线2 2x y2 2 1( 0, 0) a ba b上一点 P(x0, y0) 处的切线方程是x x y y0 02 2 1.a b(2) 过双曲线2 2x y2 2 1外一点 P(x0, y0) 所引两条切线的切点弦方程是a bx x y y0 02 2 1.a b2 2x

36、 y（3）双曲线 2 2 1与直线 Ax By C 0 相切的条件是a b258 抛物线 y 2px的焦半径公式 :2 2 2 2 2A a B b c .抛物线p2 2 ( 0)y px p 焦半径 CF x0 .2 p p过焦点弦长 CD x1 x2 x1 x2 p 2 2.59 二次函数22 b 2 4ac by ax bx c a(x )2a 4a(a 0) 的图象是抛物线：文档实用标准文案（1）顶点坐标为2b 4ac b( , )2a 4a；（2 ）焦点的坐标为 2 b 4ac b 1( , )2a 4a；（3）准线方程是y24ac b 14a.60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式2

37、2AB (x x ) ( y y )1 2 1 2或2 2 2 2AB (1 k )( x x ) 4x x | x x | 1 tan | y y | 1 cot2 1 2 1 1 2 1 2（弦端点 A (x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由方程ykxy)F(x ,b02 bx c消去 y 得到 ax 00, 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率，2| x x | (x x ) 4x x .1 2 1 2 1 261 证明直线与平面的平行的思考途径 :（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行 .62 证明直线与平面垂直的思考途径 :（1

38、）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算： rr设a (a1,a2, a3 ) ，b (b1,b2,b3 ) 则： rr(1) a (a1 b1, a2 b2 ,a3 b3 ) ； b rr(2) a b (a1 b1, a2 b2 ,a3 b3 ) ； r(3) a( a , a , a ) (R)；1 2 3 rr(4) a

39、·b a b a b a b ；1 1 2 2 3 365 夹角公式：r设 ar (a1,a2, a3 ) ， b(b1,b2,b3 ) ，则rrcos a,bab a b a b1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 2a a a b b b1 2 3 1 2 3.66 异面直线间的距离 ： uu ur uurr| CD n|d r ( l1, l2是两异面直线，其公垂向量为 n|n|， C、D 是l1, l2 上任一点， d 为l1, l2 间的距离 ).67 点 B到平面 的距离：u uur uurr | AB n|d r （ n为平面 的法向量， A ， AB 是 的一条斜

40、线段） .| n|68 球的半径是 R，则其体积43V R ,其表面积32S 4 R 文档实用标准文案69 球的组合体：(1) 球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .(2) 球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 .(3) 球与正四面体的组合体 : 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为612a(正四面体高63a的14),外接球的半径为64a (正四面体高63a的34).70 分类计数原理（ 加法原理）： N m1 m2 L mn .分步计数原理（ 乘法原

41、理 ）：N m m L m .1 2 n71 排列数公式 ：mA = n(n 1) (n m 1)=nn！.( n ，m N * ，且 m n )规定 0! 1.(n m)！72 组合数公式：mC =nmAAnmm=n(n11)2(nmm1)=n！( n N *， m N ，且 m n ).m！(n m)！组合数的两个性质 :(1)mC =nn mC ;(2)nmC +nm 1C =nm 0C1 .规定 C 1.n n73 二项式定理n C a C a b C a 2b C a r b C b0 n 1 n 1 2 n 2 r n r n n(a b) ;n n n n n二项展开式的通项公式

42、r n r rTr 1 C a b (r 0，1，2 ，n) .nn 2 nf (x) (ax b) a a x a x L a x 的展开式的系数关系：0 1 2 nna0 a1 a2 L an f (1)； a0 a1 a2 L ( 1) a f ( 1) ； a0 f (0) 。n74 互斥事件 A ，B 分别发生的概率的和： P(A B)=P(A) P(B) n 个互斥事件分别发生的概率的和： P(A 1 A 2 A n )=P(A 1 )P(A 2 ) P(A n )75 独立事件 A ，B 同时发生的概率： P(A ·B)= P(A) ·P(B).n 个独立事件

43、同时发生的概率： P(A 1·A 2··An )=P(A 1)·P(A 2)··P(A n )k k n k76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率： P (k) C P (1 P) .n n77 数学期望： E x1P1 x2P2 L xnPn L数学期望的性质（1 ） E(a b) aE ( ) b . （2）若 B(n, p) ,则 E np .(3) 若 服从几何分布 ,且k 1P( k) g (k, p) q p，则E1p.78 方差：2 2 2D x E p x E p L x E p L1 1 2 2 n

44、n标准差： = D .方差的性质：(1)2D a b a D ；(2 ）若 B(n, p) ，则 D np (1 p) .(3) 若 服从几何分布 ,且k 1P( k) g (k, p) q p，则Dq2p.方差与期望的关系：22D E E .79 正态分布密度函数：文档2x1226f x e , x , ，2 6实用标准文案式中的实数， （ >0 ）是参数，分别表示个体的平均数与标准差 .对于2N( , ) ，取值小于 x 的概率：xF x .Px1 x x P x x P x x0 2 2 180 f ( x) 在 x0 处的导数（或变化率） ：y f ( x x) f (x )0

45、0f (x ) y lim lim0 x x0x 0 x 0x x.瞬时速度：s s(t t) s(t)s (t) lim limt 0 t 0t t.瞬时加速度：v v(t t) v(t )a v (t) lim limt 0 t 0t t.81 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义：函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率 f (x0 ) ，相应的切线方程是 y y0 f (x0 )(x x0 ) .82 几种常见函数的导数：(1) C 0 （C 为常数） .(2)n n 1(x ) nx (n Q)

46、 .(3) (sin x) cos x .(4) (cos x) sin x . (5) 1(ln x) ； x1(log a x) log a e x.(6)x e x ) lnx x(e ) ; (a a a .83 导数的运算法则：（1 ）' ' '(u v) u v .（2）' ' '(uv) u v uv .（3 ）' 'u u v uv'( ) (v 0)2v v.84 判别 f (x0) 是极大（小）值的方法：当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，（1）如果在 x0附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f

47、( x) 0 ，则 f (x0 ) 是极大值；（2）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f ( x) 0 ，则 f (x0 ) 是极小值 .85 复数的相等： a bi c di a c,b d .（a,b, c, d R ）86 复数 z a bi 的模（或绝对值） | z|= |a bi | =2 2a b .87 复平面上的两点间的距离公式：2 2d |z z | (x x ) (y y ) （ z1 x1 y1i ， z2 x2 y2i ）.1 2 2 1 2 188 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程2 0ax bx c ，若2 4 0b ac ,则x1,22b b

48、 4ac2a;若若2 4 0bb ac ,则 x1 x2;2a2 4 0b ac ，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根2b (b 4ac)i2x (b 4ac 0)2a.文档实用标准文案高中数学公式提升一、集合、简易逻辑、函数1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性 (确定,互异 ,无序 ); 已知集合 A=x,xy,lgxy, 集合 B=0, x,y,且 A=B, 则 x+y=2 研究集合 ,首先必须弄清代表元素 ,才能理解集合的意义。已知集合 M=y y=x 2 ,xR,N=y y=x 2+1,x R,求 M N ；与集合 M= （x,y）y=x 2 ,xR,N=(x,y) y=x 2+1,x R求 M N 的区别。3 集合 A、B，A B 时，你是否注意到 “极端” 情况： A 或 B ；求集合的子集 A B2 a x时是否忘记 . 例如： a 2 x 2 2 1 0 对一切 x R恒成立， 求 a 的取植范围， 你讨论了 a2 的情况了吗？n n4 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、 真子集、 非空子集、 非空真子集的个数依次为 2 ，2 1，n 2n 2. 如满足条件 1 M